Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 35
Текст из файла (страница 35)
А, приняв во внимание,что в ортонормированном базисеdet Γ e = 1 , приходим к за-ключению, что в любом базисе det ΓТеорема доказана.g> 0.365Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствоСледствие Система элементов10.3.1.{ f1 , f 2 ,..., f k } в E n линейно не-зависима тогда и только тогда, когда определительматрицы Грама этой системы положителен.Доказательство.Если элементы{ f1 , f 2 ,..., f k } линейно зависимы, то опреде-литель их матрицы Грама равен нулю. Действительно, пустьсуществуют не равные нулю одновременно числаλ1 , λ 2 ,..., λ k , такие, чтоλ 1 f 1 + λ 2 f 2 + ... + λ k f k = o .Умножив это равенство скалярно слева наf i ∀i = [1, k ] , по-лучимλ 1 ( f i , f 1 ) + λ 2 ( f i , f 2 ) + ...
+ λ k ( f i , f k ) = 0 ∀i = [1, k ] .Тогда, согласно правилам действий с матрицами (см. § 1.1),следует, что нетривиальная линейная комбинация столбцовматрицы Грама, имеющая коэффициентами числаλ1 , λ 2 ,..., λ k ,будет равна нулевому столбцу и, следовательно, будет равеннулю определитель матрицы Грама (см.
лемму 6.5.2 и теорему6.5.2).С другой стороны, если элементы { f 1 , f 2 ,..., f k } линейнонезависимы, то они образуют базис в своей линейной оболочкеи к ним применим результат теоремы 10.3.1.Следствие доказано.Теперь можно доказать необходимость в теореме 9.3.4.Теорема9.3.4Для положительной определенности квадратичного функционала вΛn необходимо и достаточно,366Аналитическая геометрия и линейная алгебра(КритерийСильвестра).чтобы все главные миноры его матрицы, имеющиевидϕ11 ϕ12ϕϕ 22det 21......ϕ k1 ϕ k 2... ϕ1k... ϕ 2 k; k = [1, n] ,...
...... ϕ kkбыли положительными.Доказательство необходимости.1°. В § 10.1 было отмечено, что введение скалярного произведения в линейном пространстве равносильно заданию некоторого симметричного билинейного функционала, порождающего положительно определенный квадратичный функционал. Обратно, по положительно определенному квадратичному функционалу, однозначно восстанавливается породившийего симметричный билинейный функционал, который можнопринять за скалярное произведение.2°.
Покажем, что у положительно определенного квадратичногофункционала все (указанного в условии теоремы вида) главные миноры его матрицы положительны. Действительно, если ввести в Λ скалярное произведение при помощи его порождающего билинейного функционала, то матрица этогоквадратичного функционала в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } естьматрица Грама этого базиса.nРассмотрим последовательно линейные оболочки систем элементов вида {g1 , g 2 ,..., g k } ; k = [1, n] .
Все эти системылинейно независимые (как подмножества базиса), и по теореме 10.3.1 соответствующие им матрицы Грама имеют положительные определители, поэтому367Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствоdetβ11β12... β1kβ 21β 22... β 2 k.........β k1 β k 2... β kk( g 1 , g1 )= det=...( g 1 , g 2 ) ... ( g 1 , g k )( g 2 , g 1 ) ( g 2 , g 2 ) ... ( g 2 , g k )............>0;( g k , g 1 ) ( g k , g 2 ) ...
( g k , g k )k = [1, n].Теорема доказана.Теорема10.3.2.x x евклидова пространства E в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } можетКоординатный столбец любого элементаnбыть представлен в видеxg= Γ−1gbg,( x , g1 )гдеΓg– матрица Грама, аbg=( x, g2 )....( x, gn )Доказательство.nУмножим обе части равенстваx = ∑ ξ i g i скалярно на g k ,i =1k = [1, n] . Тогда получим систему уравненийn∑ ξ (g , gi =1iik) = ( x, g k ) ,k = [1, n] ,368Аналитическая геометрия и линейная алгебраосновная матрица которой есть базисная матрица Грама.
Поскольку в силу теоремы 10.3.1 эта матрица невырожденная,приходим к формулеxg= Γ−1gb g.Теорема доказана.Следствие В ортонормированном базисе10.3.2.nва пространства{e1 , e2 ,..., en } евклидо-E для любого элементаnx = ∑ ξ i ei ∈ E ni =1имеют место равенстваЗамечание: формулаξ i = ( x, ei ) , i = [1, n] .ξ i = ( x, ei ) , i = [1, n] малополезна для ко-нечномерных евклидовых пространств, поскольку элемент x в этом случае однозначно и полностью описывается своими координатами. Однако данная формула может быть использована для обобщения понятия координатного представления на случай евклидовых пространств с неограниченным числом линейно независимых элементов (см. § 12.3).§ 10.4. Ортогональные матрицы в евклидовомпространствеСогласно определению 5.1.4 матрицаотношениюQT= Q−1Q , удовлетворяющая со-, называется ортогональной, причём длялюбой ортогональной матрицы справедливы равенстваQTQ = Q QT= E и det Q = ±1 .Кроме того, в евклидовом пространстве будут справедливы следующие теоремы.369Г л а в а 1 0 .
Евклидово пространствоТеорема10.4.1.nОртогональные матрицы (и только они) в E могутслужить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому.Доказательство.Рассмотримдваразличныхортонормированныхбазиса{e1 , e2 ,..., en } и {e1′ , e′2 ,..., e′n } в E с матрицей перехода Snот первого базиса ко второму. Поскольку в этих базисах матрицаГрама единичная, то из соотношенияΓe′= STΓeSследует равенствоΕ = STΕS , или E = SSПоскольку матрица переходаSтельно имеем−1= STS .невырожденная, то оконча-T.Теорема доказана.E = SВ развернутой форме равенствоnTS принимает видk , l = [1, n] , частный случай которого для n = 3δ kl = ∑ σ Tki σ il ;i =1был получен в § 2.9.Теорема10.4.2.Собственные значения линейного оператора, имеющеnго в E ортогональную матрицу, равны по модулюединице.Доказательство.Из равенстваAˆgffg=λ fTgAˆTggследует, что=λ fTg.370Аналитическая геометрия и линейная алгебраПеремножив почленно эти равенства, получим соотношениеfTgTAˆgAˆВ силу ортогональностипотомуfTgfggAˆ= λ2 fскольку собственные векторыfg= λ2 fимеемgTgfgTgAˆTgfAˆ, и, наконец,g.g= Eˆ , аλ2 = 1 , по-f ненулевые.Теорема доказана.Ортогональные матрицы также играют важную роль в вычислительных методах алгебры, что, например, иллюстрируетТеорема10.4.3.Если матрицавидаA = Qрица, аA невырожденная, то ее разложениеR , где Q – ортогональная мат-R – верхняя треугольная матрица с поло-жительными диагональными элементами, существуети единственно.Доказательство.Предположим, что имеется14 два разложенияA = Q1 R1 = Q2Из невырожденностиR2 .A следует невырожденность R1R2 , поскольку Q1 и Q2иортогональные и, очевидно,невырожденные.
Тогда последнее равенство можно переписать14Обоснование существования такого разложения выходит за рамки данногокурса. Здесь мы ограничимся рассмотрением лишь вопроса о его единственности.371Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствов видеQ2где−1R1TQ1 = R2R1−1,– также верхняя треугольная матрица.R2Заметим, чтоR1−1есть диагональная матрица. Дей-ствительно, с одной стороны, она верхняя треугольная матрицакак произведение верхних треугольных. С другой стороны,R2−1R1должна быть и нижней треугольной, посколькуона ортогональная (как произведение двух ортогональных матрицQ2TQ1−1) и ее обратная матрица совпадает с транс-понированной.Очевидно, что диагональная ортогональная матрица можетиметь на диагонали лишь элементы, равные по модулю едини-R1це. Но диагональные элементыиR2положительныпо условию, поэтому остается возможным лишь случайR2R1−1= E , откуда и следует единственность раз-ложения.Теорема доказана.Отметим, что в силу теоремы 10.4.3 решение неоднородной систе-Aмы линейных уравненийx = b может быть сведено к раз-ложению невырожденной матрицытреугольнойRA – на произведение верхнейи ортогональнойQ , поскольку в этом случаесистема преобразуется к легко решаемому видуRx = QTb .372Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 10.5.
Ортогональные дополнения и ортогональныепроекции в евклидовом пространствеПусть вE задано подпространство E1 . Рассмотрим множествоE 2 ⊂ E элементов x , ортогональных всем элементам из E1 .Определение10.5.1.Теорема10.5.1.E совокупность элементов x , таких, что ( x , y ) = 0 ∀y ∈ E 1 ⊂ E называется ортогональным дополнением множества E1 .В евклидовом пространствеОртогональное дополнениеk -мерного подпростран-E1 ⊂ E является подпространством размерности n − k .стваnДоказательство.E1 ⊂ E n со стандартным скалярным произведениемдан ортонормированный базис и пусть E 2 – ортогональное дополнение к E1 .Выберем некоторый базис в E1 {g1 , g 2 ,..., g k } . Тогда из условия ортогональности произвольного элемента x ∈ E 2 каждому элементу E1 , следует (см.
теорему 7.4.1), чтоПусть в( x , gi ) = 0 ; i = [1, n]или же в координатной форме: ε11ξ1 + ε 21ξ 2 + ... + ε n1ξ n = 0,ε ξ + ε ξ + ... + ε ξ = 0, 12 122 2n2 n ..........................................ε1k ξ1 + ε 2 k ξ 2 + ... + ε nk ξ n = 0,373Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствоε1iε 2iгде g i e =; i = [1, k ] и x...ε niξ1ξ2.e=...ξnЭта однородная система линейных уравнений (неизвестными вкоторой являются компоненты элемента x ), определяющая ор-E 2 , имеет ранг k в силу линейнойнезависимости элементов {g1 , g 2 ,..., g k } . Тогда по теореме6.7.1 у нее есть n − k линейно независимых решений, образующих базис подпространства E 2 .тогональное дополнениеТеорема доказана.Убедимся теперь в справедливости следующего утверждения.Теорема10.5.2.E 2 – ортогональное дополнение подпространства E1 ⊂ E , то E1 является ортогональным дополнением E 2 .ЕслиДоказательство.x ∈ E 2 по условию следствия имеет место равенство ( y , x ) = 0 ; ∀y ∈ E1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
