Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Принимая во внимание, что операции с линейными функционалами в координатном представлении в Λ совпадают с аналогичными операциями для n-компонентных строк, можно прийти к заклюnчению об изоморфности линейных пространствбудет справедливаТеорема8.7.4.Размерность пространстваравна n .Λn и Λn+ . ПоэтомуΛn+ , двойственного Λn ,Как и во всяком n-мерном линейном пространстве, всуществоватьбазис.Пустьонсостоитизn+{r1 , r2 ,..., rn }; ri ∈ ΛΛn+ долженэлементов∀i = [1, n] . Тогда каждый элемент f ∈ Λn+может быть однозначно представлен в виде линейной комбинациибазисных элементов, то есть f =n∑ ρ r , а стандартное дляi =1i iΛnстолбцовое координатное представление элемента f , будет иметьвидfrρ1ρ= 2 .LρnСвязь между координатными представлениями линейного функционала f в базисах{g1 , g 2 ,..., g n } ⊂ Λn и {r1 , r2 ,..., rn } ⊂ Λn +задается квадратной, порядкарой являются числалаn , матрицей Γγ ij = ri ( g j ) ; i, j = [1, n]ri на элементах g j .rg, элементами кото-– значения функциона-Г л а в а 8 .

Линейные зависимости в линейном пространствеЗадача8.7.3.Доказать, что если323{r1 , r2 ,..., rn } – базис в Λn+ , а{g1 , g 2 ,..., g n } – базис в Λn , тоfОпределение8.7.4.r=( ΓTrg) −1 fЕсли матрица ΓrgTgfилиg= fTrΓrg.= E , то есть 1, i = j ,γ ij = δ ij = ∀i, j = [1, n] ,0, i ≠ jто базисы {g1 , g 2 ,..., g n } и {r1 , r2 ,..., rn } называются взаимными (биортогональными).Отметим, что если базисдля базиса{r1 , r2 ,..., rn } в Λn+ является взаимным{g1 , g 2 ,..., g n } в Λn , то для любого линейного функ-ционала f ( x) его координатные представления вны очевидным соотношениемfr=fTgΛn и в Λn+ связа-.Вторичное двойственное (вторичное сопряженное)пространствоΛn+ является n -мерным линейным пространством, тоnв нем так же, как и в Λ , возможно определять линейные функционаПосколькулы и рассматривать их множество как новое линейное пространствоΛn+ + , двойственное к Λn+ .

Будем называть пространство Λn+ + втоnричным двойственным для линейного пространства Λ .nn+n+ +Вполне очевидно, что линейные пространства Λ , Λ и Λnмерные и, следовательно, изоморфны друг другу. Однако для проn+ +существует особый изоморфизм, позволяющийстранств Λ и Λне делать различия между ними и который может быть построен следующим образом.n324Аналитическая геометрия и линейная алгебраx – некоторый элемент из Λn , а X ( f ) – действующий вΛn+ функционал, такой, что X ( f ) = f ( x) ∀f ∈ Λn + . Убедимсяn+вначале, что X ( f ) линейный на Λ , то есть он будет некоторымn+ +элементом в Λ .

Действительно,ПустьX (λ 1 f 1 + λ 2 f 2 ) = λ 1 f 1 ( x ) + λ 2 f 2 ( x ) == λ 1 X ( f1 ) + λ 2 X ( f 2 ) ∀λ 1 , λ 2 ∈ ℜ ;Это означает, чтоf1 , f 2 ∈ Λn + .X ( f ) ∈ Ω ∀f ∈ Λn + , где, согласно теореме8.4.1, Ω – подпространство линейного пространстваΛn+ + .X ( x) : Λn → Ω , которое можноnзаписать и как y = X ( f ( x )) ∀x ∈ Λ ; y ∈ Ω . Оно будет линейным,как произведение (композиция) линейных отображений X ( f ) иf ( x) , и, кроме того, очевидно, взаимно однозначным. Следовательно, y = X ( f ( x )) – отображение, устанавливающее изоморфизм лиТеперь рассмотрим отображениеΛn и множества Ω , а тогда в силу теоремыn7.5.1 dim(Ω) = dim ( Λ ) = n .нейного пространстваНаконец, отметим, что сочетание условийdim (Λn++ ) = n = dim(Ω) и Ω ⊂ Λn+ +n++означает совпадение множества Ω и линейного пространства Λ .Таким образом, мы приходим к заключению, что отображениеy = X ( f ( x)) ∀x ∈ Λn ; y ∈ Λn + +устанавливает тождественноевзаимно однозначное соответствие между элементами линейных про-Λn и Λn+ + , позволяющее считать их одним и тем же проnстранством Λ и записывать связь между значениями линейныхnn+функционалов, действующих в Λ и Λ , в симметричной форместранстввидаx( f ) = f ( x) ; ∀x ∈ Λn ; ∀f ∈ Λn + .Г л а в а 9 .

Нелинейные зависимости в линейном пространстве 325Глава 9НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАВИСИМОСТИВ ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ§ 9.1. Билинейные функционалыОпределение9.1.1.Пусть в линейном пространстве Λ каждой упорядоченной паре элементов x и y поставлено в соответ-B ( x, y ) так, что1) B(α x1 + β x 2 , y ) = α B( x1 , y ) + βB( x 2 , y )ствие число∀x1 , x 2 , y ∈ Λ ; ∀α, β ,2) B( x, α y1 + β y 2 ) = α B( x, y1 ) + β B( x, y 2 )∀x, y1 , y 2 ∈ Λ ; ∀α, β ,тогда говорят, что в Λ задан билинейный функционал(или билинейная форма).Пример9.1.1.1°. Произведение двух линейных функционаловиF (x )G ( y ) , определенных в Λ ,B ( x, y ) = F ( x )G ( y )есть билинейный функционал.2°.

Двойной интегралB( x, y ) = ∫∫ K (τ, σ) x(τ) y (σ)dσdτ =Ωβαβ(∫ K (τ, σ) y(σ)dσ)dτ,= ∫ x ( τ)αгде функция двух переменныхK (τ, σ) непрерывна326Аналитическая геометрия и линейная алгебрана множествеα ≤ τ ≤ βΩ: , есть билинейныйα ≤ σ ≤ βфункционал в линейном пространстве непрерывныхна [α, β] функций.Билинейным функционалом является скалярноепроизведение векторов на плоскости или в пространстве.3°.Билинейные функционалы в Λn .Λn заданы базис {g1 , g 2 ,..., g n } и билинейный функционал B ( x , y ) . Найдем формулу для выражения его значения черезПусть вкоординаты аргументов.nПредположим, что в рассматриваемом базисеx = ∑ ξ i gi иi =1ny = ∑ η j g j , тогда, согласно определению 9.1.1, справедливы раj =1венстваnnni =1j =1i =1nB ( x, y ) = B ( ∑ ξ i g i , ∑ η j g j ) = ∑ ξ i B ( g i , ∑ η j g j ) =nnnj =1n= ∑∑ ξ i η j B( g i , g j ) = ∑∑ β ij ξ i η j .i =1 j =1Определение9.1.2.i =1 j =1β ij = B ( g i , g j ) называются компонентамибилинейного функционала B ( x , y ) в базисеЧисла{g1 , g 2 ,..., g n } , а матрица Bg= βij – матрицейбилинейного функционала в этом базисе.Г л а в а 9 .

Нелинейные зависимости в линейном пространстве 327ВΛn с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } билинейный функционал можетбыть представлен в видеnnnnnnk =1i =1Β ( x, y ) = ∑∑ β ki ξ k ηi = ∑∑ ξ k1β ki ηi1 =∑ ξ 1Tk ∑ β ki ηi1 =k =1 i =1= ξ1= xгде столбцыxk =1 i =1ξ2TBggиβ11 β12β 21 β 22... ...β n1 β n 2... ξ ngyygg... β1n η1... β 2 n η 2=... ...

...... β nn η n,– координатные представления элементовx и y в данном базисе.Матрица билинейного функционала зависит от выбора базиса.Правило изменения матрицы билинейного функционала при заменебазиса даетТеорема9.1.1.S– матрица перехода от базиса{g1, g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } , тогдаПустьBg′= STBgS .Доказательство.По определению матрицы перехода от одного базиса к другому вΛn (см. § 7.3) имеют место соотношенияng k′ = ∑ σ ik g i , k = [1, n] ,i =1328Аналитическая геометрия и линейная алгебрано тогдаnni =1j =1β′kl = B( g k′ , g l′ ) = B(∑ σ ik g i , ∑ σ jl g j ) =nn= ∑∑ σ ik σ jl B ( g i , g j ) =i =1 j =1nnnni =1j =1= ∑∑ σ ik σ jl β ij = ∑ σ Tki ∑ β ij σ jli =1 j =1для всехk , l = [1, n] .Теорема доказана.Следствиеdet9.1.1.Доказательство.Bg′= det Bgdet 2 S .Следует из теоремы 9.1.1, а также свойств детерминанта (теоремы 6.2.1 и 6.2.4).Отметим, что в силу невырожденности матрицы перехода знак определителя матрицы билинейного функционала не зависит от выборабазиса.Следствие9.1.2.Ранг матрицы билинейного функционала независит от выбора базиса.Доказательство.Следует из теоремы 8.4.3 и невырожденности матрицы переходаОпределение9.1.3.S .Билинейный функционал B ( x , y ) называется симметричным, если для любой упорядоченной парыэлементов x и y линейного пространства Λ имеетместо равенствоB( x, y ) = B( y, x ) .Г л а в а 9 .

Нелинейные зависимости в линейном пространстве 329Теорема9.1.2.Для симметричности билинейного функционалав Λn необходимо и достаточно, чтобы его матрица была симметрической.Доказательство.Необходимость следует из соотношенийβ ij = B( g i , g j ) = B( g j , g i ) = β ji∀i, j = [1, n].Докажем достаточность. Действительно, еслиβ ij = β ji∀i, j = [1, n] , тоnnnnB( y, x) = ∑∑ β ji η j ξ i = ∑∑ β ji ξ i η j =j =1 i =1nj =1 i =1n= ∑∑ β ij ξ i η j = B( x, y ).i =1 j =1Теорема доказана.§ 9.2. Квадратичные функционалыОпределение9.2.1.Пусть в линейном пространстве Λ каждому элементуx поставлено в соответствие числоФ( x) = B( x, x) , где B( x, y ) – некоторый билинейный функционал в Λ , тогда говорят, что в Λзадан квадратичный функционал (или квадратичнаяформа).В общем случае в вещественном линейном пространстве по заданному квадратичному функционалу нельзя восстановить порождающийего билинейный функционал, однако это можно сделать в случае симметричного билинейного функционала.330Аналитическая геометрия и линейная алгебраДействительно, пусть квадратичный функционал Φ(x) порожденсимметричным билинейным функционалом B ( x, y ), тогда для любых x и y имеет место равенствоΦ( x + y ) = B( x + y, x + y ) == B ( x, x ) + B ( x, y ) + B ( y , x ) + B ( y , y ) == Φ( x) + 2 B( x, y ) + Φ( y ) ,откудаΦ( x + y ) − Φ( x) − Φ( y ).2B ( x, y ) =Λn симметрическая матрица билинейного функ1ционала( Φ( x + y ) − Φ( x) − Φ( y )) называется2ВОпределение9.2.2.матрицей квадратичного функционала Φ(x).Если вΛ задан базис {g1, g 2 ,..., g n } , то квадратичный функnционал может быть представлен в видеnnФ( x) = ∑∑ ϕ ki ξ k ξ i =k =1 i =1= ξ1= xξ2TgФ...

ξ ngxgϕ11ϕ 21...ϕ n1ϕ12ϕ 22...ϕn2... ϕ1n ξ1... ϕ 2 n ξ 2=... ... ...... ϕ nn ξ n,nгдеxg– координатный столбец элементаx = ∑ ξ i g i в данномi =1базисе. Замена базиса, естественно, приводит к изменению матрицыквадратичного функционала по формулеределяемой теоремой 9.1.1.Φg′= STΦgS , оп-Г л а в а 9 . Нелинейные зависимости в линейном пространстве 331Отметим, что иногда целесообразно строить квадратичный функционал Ф(x ) по порождающему билинейному функционалу, просимметрировав предварительно последний.

Действительно, для любого B ( x , y ) можно указать симметричный билинейный функционал1( B( x , y ) + B( y , x )) , который будет порождать тот же са2мый квадратичный функционал Ф(x ) , что и B ( x , y ) .. В этом случаевидаочевидно, чтоϕ ij =β ij + β ji2=β ji + β ij= ϕ ji ∀i, j = [1, n] ,2– элементы симметрической матрицы.Пример9.2.1.Пусть вΛ3 задан билинейный функционалB1 ( x, y ) = ξ1η1 + 3ξ 2 η 2 − ξ 2 η1 −− 3ξ1η 2 + 2ξ 3 η1 − ξ 2 η3 − ξ 3 η 2 == ξ1имеющий матрицуξ2ξ3−33−11−121−30−123−1−100−10η1η2 ,η3и в силу теоремы9.1.2 не являющийся симметрическим.

Порождаемый им вΛ3 квадратичный функционал будет иметь видФ1 ( x) = ξ12 + 3ξ 22 − 4ξ1ξ 2 + 2ξ1ξ 3 − 2ξ 2 ξ 3 .В то же время симметричный билинейный функционал332Аналитическая геометрия и линейная алгебраB2 ( x, y ) = ξ1η1 + 3ξ 2 η 2 − 2ξ1η 2 − 2ξ 2 η1 ++ ξ1η3 + ξ 3 η1 − ξ 2 η3 − ξ 3 η 2 == ξ1ξ2имеющий матрицувξ31−211−2−213−1−23−11−10η1η2 ,η31− 1 , будет порождать0Λ3 квадратичный функционал видаФ 2 ( x) = ξ12 + 3ξ 22 − 4ξ1ξ 2 + 2ξ1ξ 3 − 2ξ 2 ξ 3 ,который совпадает сФ1 ( x) и имеет матрицу1 −21−21−1 .03−1В ряде важных прикладных задач оказывается необходимым отыскание базисов, в которых квадратичный функционал имеет наиболеепростой и удобный для исследования вид.Определение9.2.3.Квадратичный функционалный вид в базисеФ(x) имеет диагональ-{g1 , g 2 , ..., g n } ⊂ Λn , если он вэтом базисе представим какnФ( x) = ∑ λ i ξ i2 ,i =1гдеλ i ∀i = [1, n] – некоторые числа.Г л а в а 9 .

Характеристики

Список файлов книги