Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Значит, для A$ каждый образ имеетхотя бы один прообраз и2º. ПустьÂматрицу= m . Тогда система линейных уравнений видаимеет решениематрицыимеетrg AˆfgA$ − сюръективно.= n . Тогда, по теореме 6.4.1 (Крамера), сис-тема линейных уравнений видаAˆfgxg= ofимеетединственное решение, которое очевидно тривиальное. ПоэтомуA$ − инъективно.Теорема доказана.Наконец, отображение, являющееся одновременно и инъективными сюръективным, будет взаимно однозначным, или биекцией (см.

определение 5.2.4).В общем случае, исследование свойств оператора, у которого область значений не содержится в области его определения, может оказаться достаточно сложной задачей. Если же область значений принадлежит конечномерному линейному пространству, то пользуясь292Аналитическая геометрия и линейная алгебратеоремой 7.5.1 (об изоморфизме), можно попытаться свести исследование отображения к исследованию преобразования, установив изоморфизм между областью значений отображения и некоторым подпространством области его определения.ΛПример8.4.1.1°.

Оператор Pr , ставящий в соответствие каждой точкетрехмерного геометрического пространства ее ортогональную проекцию на некоторую фиксированную прямую, проходящую через начало координат, очевидно,есть отображение Λ → Λ , которое, однако, можнорассматривать и как преобразование трехмерного пространства в одномерное подпространство.31Отметим, что, хотя в данном случае и отображение ипреобразование реализуют геометрически одну и ту жефункцию, вид задающих их матриц может быть различным.Например, пусть в ортонормированной системе коор→ → →динат {O, e1 , e2 , e3 } прямая, на которую выполняется ортогональное проектирование, задана направляю→щим векторомe1∗= 1 1 1 .Te→Несложно убедиться, что радиус-векторx→rнальной проекции точки сe→∗r =→ →( r , e∗ )→ 2∗er ∗ ортого-= y равенz→e∗ ,Г л а в а 8 .

Линейные зависимости в линейном пространстве293x+ y+z3xx + y + z , то есть матрица преобразо∗y =3z∗x+ y+z3∗илиΛΛванияPr имеет вид Pre1 1 11= 1 1 1 .31 1 1→Но, с другой стороны, приняв векторвe1∗ за базисныйΛ1 , получим, согласно определению 8.4.5, матрицуΛотображенияPr в видеΛ=Pre ∗e11 1 1 .32°.

Пусть линейный оператор ставит в соответствиекаждой матрице второго порядкамерный столбец видаα 11α 21α12двуα 22α11 + α12.α 21 + α 22Исследование свойств данного отображения можносвести к исследованию свойств преобразования, ставящего в соответствие квадратным матрицам квадратные матрицы видаα11 + α12α 21 + α 220.0294Задача8.4.1.Аналитическая геометрия и линейная алгебраЛинейное отображениезадано матрицей : Λ3 → Λ3 в некотором базисе1 2 3Aˆ = 2 3 4 .

Найти его ядро и3 5 7множество значений. Выяснить, является ли данное отображение инъективным или сюръективным.ξ1Решение. 1°. Пустьη1x = ξ 2 и y = η 2 – координатные предξ3η3ставления соответственно прообраза и образа оператораy = Aˆ x . Тогда ядро – множество элементов x , таких,ˆ x = o , задается в координатном представлениичто Aсистемой линейных уравненийAˆ x = o ξ1 + 2ξ 2 + 3ξ 3 = 0,или 2ξ1 + 3ξ 2 + 4ξ 3 = 0,3ξ + 5ξ + 7ξ = 0,23 1общее решение которой естьξ11ξ2 = λ − 2 .ξ31Отсюда заключаем, что ядро линейного отображенияÂ1есть линейная оболочка элемента− 2 , и поскольку1оно не состоит только из нулевого элемента, то данноеотображение неинъективное.Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространстве295К этому же заключению можно прийти, приняв во внимание, что1 2 31 2 3rg 2 3 4 = rg 0 1 2 = 2 < 33 5 70 0 0– числа столбцов матрицы отображения.2°. состоит изˆэлементов y ∈ Θ, таких, что y = Ax ∀x ∈ Ω .

В координатной форме принадлежность элемента y ко множеОбласть значений линейного отображенияству значений означает совместность системы линейныхуравнений1 2 3ξ1η12 3 43 5 7ξ 2 = η2 ,ξ3η3следовательно, нам необходимо выяснить, при какихзначениях η1 , η 2 , η 3 данная система линейных уравнений совместна. Это можно сделать, например, при помощи теоремы 6.6.1 (Кронекера–Капелли), сравнив ранги основной и расширенной матриц данной системы. Затем из условия1 2 3 η1rg 2 3 4 η 2 =3 5 7 η31 2 3= rg 0 1 2η12η1 − η 20 0 0 − η1 − η 2 + η31 2 3= rg 2 3 4 = 23 5 7296Аналитическая геометрия и линейная алгебранайдем, что для совместности необходимо и достаточно,чтобы η1 + η 2 − η3 = 0 , что, в свою очередь, означает,что множество значений отображенияментов видаη1−1A$ состоит из эле-1η2 = λ1 1 + λ 2 0η301являющихся решениями уравнения∀λ 1 , λ 2 ,η1 + η 2 − η3 = 0 .Заметим, наконец, что поскольку не каждый элементy ∈ Θ = Λ3 имеет прообраз в Ω = Λ3 , то данное отображение не является и сюръективным.§ 8.5.

Инвариантные подпространстваи собственные векторыОпределение8.5.1.∗Подпространство Λ линейного пространства Λназывается инвариантным подпространствомA$ , если∀ x ∈ Λ∗ : Aˆ x ∈ Λ∗ .линейного оператораПример8.5.1.1°. Множество радиусов-векторов точекнекоторой прямой наплоскостиOxy ,проходящейчерезначало координат,является инвариантным подпространством оператораРис. 8.5.1Г л а в а 8 .

Линейные зависимости в линейном пространстве297поворота на угол π этих радиусов-векторов вокругоси Oz (см. рис. 8.5.1).2°.Для оператора дифференцирования в линейном пространстве функций f (τ) , имеющих на(α, β) производную любого порядка, n -мерным инвариантным подпространством является линейнаяоболочка совокупности элементов вида{eгдеλ 1τ,eλ 2τ, ...

, eλ nτ},λ 1 , λ 2 ,..., λ n – некоторые, попарно различныеконстанты.Теорема8.5.1.Матрица линейного операторанейном пространствеA$ , заданного в ли-Λn с базисом {g1 , g 2 ,..., g n } ,тогда и только тогда имеет видα 11...α r10...0... α1r... ...... α rr... 0... ...α1,r +1...α r ,r +1α r +1,r +1......

α1n......... α rn,... α r +1,n.........α n,r +1...0α nnкогда линейная оболочка подмножества базисныхэлементов {g1 , g 2 ,..., g r } есть инвариантное подпространство оператораA$ .298Аналитическая геометрия и линейная алгебраДоказательство.$ имеетДокажем достаточность. Пусть матрица оператора Aуказанный в формулировке теоремы вид. Тогда образ любойлинейной комбинации элементов {g1, g 2 ,..., g r } будет принадлежать их линейной оболочке, поскольку в силу определения 8.3.1 каждый столбец матрицы линейного оператора составлен из компонентов образа соответствующего базисногоэлемента.rИначе говоря, если∑λk =1kg k ∈ Λ∗ , то иrAˆ (∑ λ k g k ) =k =1rrr= ∑ λ k ( Aˆ g k ) = ∑ λ k ∑ α ik g i =k =1k =1rri =1k =1i =1r= ∑ (∑ α ik λ k ) g i = ∑ β i g i ∈ Λ∗ .i =1∗Λ – подпространство.

Доста-Из теоремы 7.4.1 следует, чтоточность доказана.Λ∗ есть инвариантное подпро$ , являющееся линейной обостранство линейного оператора Aлочкой подмножества базисных векторов {g1, g 2 ,..., g r } . ТоДокажем необходимость. Пустьгда образ любого, в том числе и базисного, элемента, принад∗лежащего Λ , также будет принадлежатьредь означает, чтоrni =1i = r +1Aˆ g k = ∑ α ik g i +∑ 0giΛ∗ .

Это в свою оче-; k = [1, r ]и в сочетании с определением 8.4.5 доказывает необходимость.Теорема доказана.Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространствеЗадача8.5.1.299Показать, что всякое инвариантное подпространство$ являетсяневырожденного линейного оператора Aтакже инвариантным подпространством оператораA$ −1 .Решение.x ∈ Λ∗ , где – Λ∗ инвариантное подпространство$ , тогда по условию задачи y = Aˆ x ∈ Λ∗ .оператора AПустьA$ невырожденный, то для него сущест$ −1 и связь элементов x, y ∈ Λ∗ можновует обратный A$ −1 y , что и означает инвариантзаписать в виде x = AЕсли операторность подпространстваA$ −1 .Λ∗ относительно оператораВ приложениях важную роль играют так называемые задачи "поиска собственных вектором и собственных значений", основой которых служит понятие одномерного инвариантного подпространства.Определение8.5.2.f ∈ Λ называется собственным$ , если существуетвектором линейного оператора Aˆ f = λ f .

Число λ называетсячисло λ , такое, что A$ , соответстсобственным значением оператора AНенулевой элементвующим собственному вектору f.f является ненуˆ − λ Eˆ , то естьлевым элементом ядра линейного оператора Af ∈ ker( Aˆ − λ Eˆ ) .Заметим, что, согласно данному определению,300Аналитическая геометрия и линейная алгебраЗамечание о важности собственных векторовДопустим, что для некоторого линейного оператораA$ , заданногоΛn , удалось найти n линейно независимых собственных векторов{g1 , g 2 ,..., g n } , для которых выполнены равенствавAˆ g1 = λ 1 g1 ;Aˆ g 2 = λ 2 g 2 ; ... ;Aˆ g n = λ n g n .Приняв набор этих элементов за базис, данные соотношения можно рассматривать как координатные разложения по базису образовбазисных элементов:Aˆ g k = 0 ⋅g1 + 0 ⋅g 2 + K + λ k g k + K + 0 ⋅g n ; ∀k = [1, n] .Поскольку, согласно теореме 7.2.1, эти разложения единственны, то,исходя из определения 8.3.1, можно утверждать, что матрица линейного оператораA$ в этом базисе будет иметь диагональный вид:Aˆf=λ100...0λ2...0...0...

0,... ...... λ nдля которого исследование свойств этого оператора существенно упрощается.Задача8.5.2.Показать, что если линейный операторA$ имеет соб-f с соответствующим ему собственным значением λ , то элемент f будет также являтьсяственный векторсобственным вектором линейного оператора$$A$ 2 = AAс собственным значениемλ2 .Г л а в а 8 . Линейные зависимости в линейном пространствеПо условиюРешение.ратора301Aˆ f = λ f , но тогда в силу линейности опе-ÂAˆ 2 f = Aˆ ( Aˆ f ) = Aˆ (λf ) = λ2 f .Вычисление собственных векторови собственных значений линейного оператора в ΛnВыберем вΛn некоторый базис {g1, g 2 ,..., g n }, в котором разnложение элементаf ∈ Λn будет f = ∑ ξ i g i , а линейный операторi =1A$ имеет в этом базисе матрицу AˆРавенствоAˆgfgg= αk j .Aˆ f = λ f в координатной форме в Λn имеет вид=λ fg, то есть α11ξ1 + α12 ξ 2 + ... + α 1n ξ n = λξ1 ,α ξ + α ξ + ...

+ α ξ = λξ , 21 122 22n n2...................................................α n1ξ1 + α n 2 ξ 2 + ... + α nn ξ n = λξ n ,или (α11 − λ )ξ1 + α 12 ξ 2 + ... + α1n ξ n = 0,α ξ + (α − λ)ξ + ... + α ξ = 0, 21 12222n n ........................................................α n1ξ1 + α n 2 ξ 2 + ... + (α nn − λ)ξ n = 0.(8.5.1)302Аналитическая геометрия и линейная алгебраПоскольку собственный вектор должен быть ненулевым по определению, то нас интересуют только нетривиальные решения системы(8.5.1), необходимым условием существования которых, согласноследствию 6.7.2, является равенство нулю определителя основнойматрицы системы (8.5.1). Таким образом, мы приходим к условию,которому должны удовлетворять собственные значения λ данноголинейного оператора:det α kj − λδ kj = 0α11 − λα12α 21α 22 − λили же det......α n1α n2Определение8.5.3.Уравнениеdet Aˆ − λ Eˆристическимdet Aˆ − λ EˆоператораТеорема8.5.2....α1n...α 2n= 0..........

Характеристики

Список файлов книги