Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Линейное пространствоно, с другой стороны, этот же элементmlkp =1i =1j =1∑ λ′p′ g ′p′ = − ( ∑ λ ′i g i′ + ∑ λ j g j ) ∈ Ω1 .x ∈Ω 1 ∩ Ω 2 и, следовательно, в равенстЭто означает, что ~ве (7.3.1) всеλ′i = 0 , i = [1, l ] ; λ ′′p = 0 , p = [1, m] .{g1, g 2 ,..., g k } – базис в Ω1 ∩ Ω 2 , то и всеλ j = 0, j = [1, k ] , и линейная комбинация, стоящая в левойА посколькучасти равенства (7.3.1), тривиальная. Следовательно,{g1, g 2 ,..., g k , g1′ , g ′2 ,..., g l′ , g1′′, g ′2′ ,..., g ′m′ }– линейно независимая система элементов.3°. Из пункта 2° следует, что набор элементов{g1, g 2 ,..., g k , g1′ , g ′2 ,..., g l′ , g1′′, g ′2′ ,..., g ′m′ }является базисом вΩ1 + Ω 2 . Размерность подпространстваΩ1 + Ω 2 при этом равнаdim(Ω1 + Ω 2 ) = l + k + m = (k + l ) + (k + m) − k == dim(Ω1 ) + dim(Ω 2 ) − dim(Ω1 ∩ Ω 2 ).Теорема доказана.Следствие7.3.1.В случае прямой суммы подпространствdim(Ω1 ⊕ Ω 2 ) = dim(Ω1 ) + dim(Ω 2 )x ∈ (Ω1 ⊕ Ω 2 ) представим в видеx1 + x2 так, что x1 ∈ Ω1 и x 2 ∈ Ω 2 , единственными каждый элементобразом, поскольку набор элементов{g1′ , g 2′ ,..., g l′ , g1′′, g ′2′,..., g m′′ }является базисом в Ω1 ⊕ Ω 2 .248Аналитическая геометрия и линейная алгебраЛинейная оболочка системы элементовОпределение7.3.3.Совокупность всевозможных линейных комбинацийнекоторого множества элементов { x1, x 2 ,..., xk } линейного пространства Λ называется линейной оболочкойэтогомножестваиобозначаетсяL {x1 , x 2 ,..., x k } .Множество многочленов степени не выше, чем n, является линейной оболочкой набора одночленовПример7.3.2.{1, τ, τ 2 ,..., τ n } в линейном пространстве непрерывных функций C[α, β] .Пусть задан набор элементов {x1 , x 2 ,..., x k } ∈ Λ , порождающихлинейную оболочкуL{x1, x2 ,..., xk } , тогда любой элемент этой лиkнейной оболочки имеет видx = ∑ λ i xi и справедливаi =1Теорема7.3.3.Множество всех элементов, принадлежащих линейнойоболочке L{x1, x 2 ,..., xk } , является в Λ подпространством размерности m , где m – максимальное числолинейно независимых элементов во множестве{x1, x2 ,..., xk } .Доказательство.1°.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что для совокупkности элементов видаλix = ∑ λ i xi (в предположении, чтоi =1− произвольные числа) справедливы все аксиомы из249Г л а в а 7 . Линейное пространствоопределения 7.1.1, то есть рассматриваемая линейная оболочка является линейным пространством.2°.Пусть максимальное число линейно независимых элементовв наборе {x1 , x2 ,..., xk } равно m ≤ k . Без ограниченияобщностиможносчитать,чтоэтиэлементысутьx1, x2 ,..., xm .
В этом случаеmx j = ∑ α ji xi ;j = [m + 1, k ]i =1и любой элемент линейной оболочки может быть представлен в виде линейной комбинации элементов x1 , x 2 ,..., x m .3°. Покажем теперь, что любой набор из l ( l > m ) элементовданной линейной оболочки будет линейно зависимым. Дляэтого выберем l элементов y1 , y 2 ,..., y l , принадлежащихлинейной оболочке, и выразимты x1 , x 2 ,..., x m , получимmy j = ∑ β ji xi ;ихчерезэлемен-j = [1, l ].i =1Приравняем нулевому элементу произвольную линейнуюкомбинацию выбранного набора y1 , y 2 ,..., y l :llmmlj =1j =1i =1i =1j =1∑ µ j y j = ∑ µ j ∑ β ji xi = ∑ (∑ β ji µ j ) xi = o .x1 , x2 ,..., xm линейно независимы, тоПоскольку элементыкоэффициентыµ i должны удовлетворять следующей од-нородной системе линейных уравненийl∑βj =1jiµ j = 0 , i = [1, m].Пусть ранг ее основной матрицы равенr.250Аналитическая геометрия и линейная алгебраЭта система имеет (по теореме 6.7.1)l−r ≥l−m >0линейно независимых, и следовательно, ненулевых решений, поскольку r ≤ m .
Принимая во внимание, что l и m− не равные друг другу натуральные числа, получаемl − m ≥ 1,то есть существует нетривиальная линейная комбинацияэлементов y1 , y 2 , ..., y l , равная o.Теорема доказана.ГиперплоскостьОпределение7.3.4.Γ , образованное из элементов видаx0 есть произвольный фиксированныйэлемент линейного пространства Λ , а x – любойэлемент некоторого подпространства Ω ⊂ Λ , назыМножествоx + x0 , гдевается гиперплоскостью (или линейным многообразием) в линейном пространстве Λ .Замечания.1°.2°.Задача7.3.1.В общем случае гиперплоскость не являетсяподпространством.Если dim(Ω)перплоскости.= k , то говорят о k -мерной ги-Показать, что если элементынекоторой гиперплоскостилежать и элементx и y принадлежатΓ , то ей будет принад-z = αx + (1 − α ) y ,гдеα – любое число.251Г л а в а 7 . Линейное пространство§ 7.4.
Операции с элементами линейногопространства в координатном представленииОпределение7.4.1.Коэффициентыξ1 , ξ 2 ,..., ξ n разложения по базисуnx = ∑ ξ i gii =1называются координатами (или компонентами) элементаx линейного пространства Λn в базисе{g1 , g 2 ,..., g n } .Заметим, что в силу теоремы 7.2.1 элементx линейного про-Λ в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } однозначно представляетсяnстранстваn -компонентным столбцом, называемым координатным представлением элемента x в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } :ξ1ξx g= 2 ....ξnВ Λ базис может быть выбран не единственным способом и потому необходимо установить правило изменения координат элементаnлинейного пространстваму.Λn при переходе от одного базиса к друго-Λn даны два базиса: “старый” {g1 , g 2 ,..., g n } и “новый”{g1′ , g ′2 ,..., g n′ } с соответствующими координатными разложениямиПусть вэлементаnni =1i =1x : x = ∑ ξ i g i и x = ∑ ξ′i g i′ .252Аналитическая геометрия и линейная алгебраПусть, кроме того, известны разложения элементов “нового” базиса по элементам “старого”:ng ′j = ∑ σ ij g i ; j = [1, n].(7.4.1)i =1Определение7.4.2.S , j -й (∀j = [1, n]) столбец которойМатрицасостоит из коэффициентовσ ij координатных разло-жений элементов “нового” базиса по элементам “старого”, называется матрицей перехода от базиса{g1, g 2 ,..., g n } к базису {g1′ , g ′2 ,..., g n′ } .Отметим, что это определение является обобщением определения1.8.2 и что справедливаТеорема7.4.1.ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n и ξ1′ , ξ′2 ,..., ξ′n связаны со-Координатыnотношениямиξ i = ∑ σ ij ξ′j ∀i = [1, n] , называеj =1мыми формулами перехода, где коэффициентыэлементы матрицы переходаσ ij –S .Доказательство.В силу соотношений (7.4.1) будут справедливы равенстваnnnnnnj =1j =1i =1i =1j =1∑ ξ i g i = x = ∑ ξ′j g ′j = ∑ ξ′j ∑ σ ij g i = ∑ (∑ σ ij ξ′j ) g ii =1nилиn∑ (ξ − ∑ σi =1ij =1ijξ′j ) g i = o .253Г л а в а 7 .
Линейное пространствоНо если линейная комбинация линейно независимых (в данномслучае базисных) элементов равна нулевому элементу, то онатривиальная. Откуда получаем, чтоnξ i = ∑ σ ij ξ′j∀i = [1, n] .j =1Теорема доказана.Заметим, что если столбец элементов “нового” базиса выражаетсячерез столбец элементов “старого” при помощи умножения слева натранспонированную матрицу переходаST, то координатный стол-бец в “старом” базисе равен произведению матрицы перехода на координатный столбец в “новом” базисе.xДействительно, рассматривая столбцыgиxg′в форму-лах перехода как двухиндексные матрицы, получаемnξ i1 = ∑ σ ij ξ′j1∀i = [1, n] ,j =1что равносильно равенствуxg= Sxg′(см. § 5.1).Используя аналогичный прием, также и соотношения (7.4.1) можно записать в матричном видеg1′g 2′...g1= STg n′илиg1′g 2′...
g n′ = g1g2...gng2... g n S .В заключение выясним, как операции с элементами линейногопространства выполняются в координатной форме.254Аналитическая геометрия и линейная алгебраnni =1i =1x = ∑ ξ i g i и y = ∑ η i g i , тогда вПусть в конкретном базисесилу определения базиса и аксиом линейного пространства будутсправедливы следующие соотношения:1°. Для операции сравнения: два элемента вnтогда, когда∑ξi =1Λn равны тогда и толькоnigi = x = y = ∑ ηi gi ,i =1или в координатной формеx= y⇔xg= yg.n2°. Для операции сложения:x + y = ∑ (ξ i + η i ) g i ,i =1или в координатной формеx+ yg= xg+ y g.3°.
Для операции умножения на число:nnλ x = λ ∑ ξ i g i = ∑ ( λξ i ) g i ,i =1или в координатной формеi =1λxg=λ xg.Откуда следует, что элементы конечномерного линейного пространства не только могут представляться матрицами (столбцами), но и правила выполнения операций с этими элементами совпадают с определением соответствующих матричных операций.§ 7.5. Изоморфизм линейных пространствРассмотрим два линейных пространства: множество многочленовP2 (τ) степени не выше, чем 2, и множество векторов трехмерногогеометрического пространства.255Г л а в а 7 .
Линейное пространствоОперации сложения многочленов и их умножения на число выглядят следующим образом:(ξ1 + η1τ + κ1τ 2 ) + (ξ 2 + η 2 τ + κ 2 τ 2 ) == (ξ1 + ξ 2 ) + (η1 + η 2 )τ + ( κ1 + κ 2 )τ 2 ,λ (ξ + ητ + κτ 2 ) = (λ ξ) + (λη)τ + (λκ)τ 2 .Те же операции с трехмерными векторами в координатной форме всвою очередь записываются так:ξ1ξ2ξ1 + ξ2η1 + η 2 = η1 + η 2 ;κ1κ2κ1 + κ 2ξλξλ η = λη .κλκСопоставляя эти записи, можно заключить, что природа данныхмножеств не играет роли, когда исследуются их характеристики, связанные только с операциями сравнения, сложения и умножения начисло.Отмеченное свойство линейных пространств носит название изоморфизма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
