Учебник - Аналитическая геометрия и линейная алгебра - Умнов (1188221), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Но это означает, что длякаждого y ∈ E1 справедливо ( x, y ) = 0 ; ∀x ∈ E 2 , то есть E1является ортогональным дополнением к E 2 в E .Для каждого элементаТеорема доказана.Определение10.5.2.В евклидовом пространстве E элемент y называетсяортогональной проекцией элемента x на подпространствоE ∗ , если∗1°. y ∈ E ;2°.( x − y, z ) = 0 ∀z ∈ E ∗ .374Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема10.5.3.∗Если E ⊂ E является k -мерным подпространством, то элемент y – ортогональная проекция x ∈ EнаE ∗ – существует и единственен.Доказательство.Если вE ∗ существует базис {g1 , g 2 ,..., g k } , то элементky ∈ E ∗ может быть представлен в виде y = ∑ ξ i g i .i =1Условиести x −∗( x − y, z ) = 0 ∀z ∈ E равносильно ортогональноy каждому из базисных элементов подпространстваE ∗ , то есть ( x − y, g j ) = 0 ∀j = [1, k ] , и, следовательно,числаξ i , i = [1, k ] могут быть найдены из системы линейныхуравненийk( x − ∑ ξ i g i , g j ) = 0 ∀j = [1, k ]i =1илиk∑ (g , gi =1ij)ξ i = ( x, g j ) ∀j = [1, k ] .Поскольку основная матрица этой системы (как матрица Граманабора линейно независимых элементов g1 , g 2 ,..., g k , см.следствие 10.3.1) невырожденная, то по теореме 6.4.1 (Крамера) решение данной системы существует и единственно.Теорема доказана.Отметим, что если базис{e1 , e2 ,..., ek } в подпространстве E ∗ортонормированный, то ортогональная проекция элементаkесть элемент видаy = ∑ ( x, ei )ei .i =1x на E ∗375Г л а в а 1 0 .
Евклидово пространствоЗадача10.5.1.4В евклидовом пространстве E со стандартным скалярным произведением в некотором ортонормированном базисе система линейных уравнений ξ1 + ξ 2 − ξ 3 − ξ 4 = 0,=02ξ1 + ξ 2∗задает подпространство E . Найти в этом базисе матрицу оператора ортогонального проектирования элементовE 4 на E ∗ .Решение.∗1°. За базис подпространства E можно принять пару элементовg1 и g 2 , координатные представления которых в исходном базисе{e1 , e2 , e3 , e4 } являются линейно независимыми решения-ми однородной системы линейных уравнений, задающейнапример,−1g2°.
Поскольку1 e=2;10E∗,−1g2 e=2.01dim E ∗ = 2, то размерность ортогонального допол∗нения к E согласно теореме 10.5.1 также равна 2. За базис вэтом ортогональном дополнении удобно принять элементы g 3 иg 4 , такие, чтоg3e11;=−1−1g4e21=,00376Аналитическая геометрия и линейная алгебрапоскольку они линейно независимы и ортогональны каждому∗элементу из подпространства E , как образованные из коэффициентов заданной в условии задачи системы линейных уравнений.3°. Элементыg1 , g 2 , g 3 и g 4 линейно независимые по построе44нию и образуют базис в E , и каждый элемент из E можетбыть представлен и притом единственным образом как линейнаякомбинация элементов этого базиса {g1 , g 2 , g 3 , g 4 } .Искомый операторA$ ортогонального проектирования элемен-E 4 на E ∗ должен, очевидно, удовлетворять соотношениямAˆ g 1 = g1 ; Aˆ g 2 = g 2 ; Aˆ g 3 = o; Aˆ g 4 = o,в силу которых его матрица в базисе {g1 , g 2 , g 3 , g 4 } будеттовиметь следующий вид:Aˆg=10000001000000.004°.
С другой стороны, матрица перехода от базисабазису{e1 , e2 , e3 , e4 } к{g1 , g 2 , g 3 , g 4 }S =−1−1122102011−1−1100,377Г л а в а 1 0 . Евклидово пространствоAˆно посколькуAˆ= SeAˆ= Sg−1Sg−1AˆeSи, следовательно,, то, воспользовавшись § 5.1 и§ 6.8, найдем, чтоAˆe===−1−1121000−1−11221201−1100010000021201−11001−10000001−102−4−1−11 −411 − 1−182262−52−56−1=.Замечание: геометрическая интерпретация ортогонального проекти-рования вполне очевидна, однако эта операция используется и в других приложениях. Например, если E естьевклидово пространство непрерывных на [α, β] функций со скалярным произведениемβ( x, y ) = ∫ x(τ) y (τ)dτ ,αаE∗– подпространство алгебраических многочленовnPn (τ) = ∑ α k τ k степени не выше, чем n , то ортогоk =0x(τ) – элемента E – на E ∗ можетрассматриваться как наилучшее на [α, β] приближениеx(τ) линейной комбинацией степенных многочленов.нальная проекцияПодробно эта задача рассмотрена в § 12.3.378Аналитическая геометрия и линейная алгебра§ 10.6.
Сопряженные операторы в евклидовомпространствеПоскольку евклидово пространство является частным случаем линейного пространства, то все изложенные в главе 8 утверждениясправедливы и для линейных операторов, действующих в евклидовомпространстве. Однако операция скалярного произведения позволяетвыделять в евклидовых пространствах специфические классы линейных операторов, обладающих рядом полезных свойств.Определение10.6.1.+$ , заданный в евклидовомЛинейный оператор Aпространстве E , называется сопряженным линейно-A$ , если ∀x , y ∈ E имеет место ра$ , y ) = ( x , A$ + y ) .венство ( Axму операторуПример10.6.1.В евклидовом пространстве, образованном бесконечнодифференцируемыми функциями, равными нулю вне некоторого конечного интервала, со скалярным произведением( x, y ) =+∞∫ x(τ) y(τ)dτдля линейного оператора−∞d(дифференцирования) сопряженным будет опеdτd+ратор  = −.dτ =Действительно, согласно правилу интегрирования несобственных интегралов по частям имеют место равенства( Aˆ x, y ) =+∞dx(τ)y ( τ ) dτ =dτ−∞∫= x ( τ) y ( τ)+∞−∞−+∞∫ x ( τ)−∞dy (τ)dτ =dτ379Г л а в а 1 0 .
Евклидово пространство=+∞∫ x(τ)(−−∞dy (τ))dτ = ( x, Aˆ + y ) .dτnРассмотрим теперь конечномерное евклидово пространство E сбазисом {g1 , g 2 ,..., g n } и выясним связь матриц линейных операто-A$ и A$ + в этом базисе, предположив, что сопряженный оператор$ и A$ + имеют соответстсуществует. Пусть матрицы операторов A$$ + , а координатные представления элементоввенно вид Aи Aggровx и y в базисе {g1 , g 2 ,..., g n } –xxggгдеΓgη1ηy g= 2 ,...ηnи$ , y ) = ( x , A$ + y ) можно записать как( Axтогда равенство( Aˆgξ1ξ= 2...ξn)T Γgyg= xTg– матрица Грама выбранного вВ силу соотношенияΓgAˆ +ygg, (10.6.1)E n базиса.( A B )T = BTATпоследнее равен-ство можно преобразовать к видуxTg( AˆTgΓg− ΓgAˆ + ) ygg= 0,а поскольку это равенство справедливо при любых x и y, то, приняв вовнимание невырожденность матрицы Грама и проведя рассуждения,аналогичные использованным при доказательстве леммы 5.1.2, заключаем, что матрица, стоящая в круглых скобках, – нулевая, а изсоотношения380AˆАналитическая геометрия и линейная алгебраTΓgg− ΓgAˆ +g= O следует Aˆ +g= Γкоторое, в частности, для ортонормированного базисаимеет видgAˆTgΓ{e1 , e2 ,..., en }TAˆ + = Aˆ e .eЕслиЛемма10.6.1.−1( x, Aˆ y ) = 0 ∀x, y ∈ E , то оператор Â нулевой.Доказательство.∀x , y ∈ E справедливо равенство ( x , A$ y ) = 0 .
Тогда$ y . Но из равенстваоно будет верным и для x = A( A$ y , A$ y ) = 0 согласно определению 10.1.1 следует, чтоПустьAˆ y = o. Наконец, в силу произвольности элемента y и опре$ = O$ .деления 8.2.2 приходим к заключению, что AЛемма доказана.Теорема10.6.1.Каждый линейный оператор в евклидовом пространстве Enимеет единственный сопряженный оператор.Доказательство.Существование вE n оператора A$ + , сопряженного операторуA$ , следует из возможности построения матрицы видаT−1ΓAˆ Γ для любого линейного оператора A$ .gggA$ + .
Предположим, что A$$ + и A$ × . Это означает,имеет два сопряженных оператора Aчто ∀x , y ∈ E одновременно выполнены равенстваПокажем теперь единственностьg,381Г л а в а 1 0 . Евклидово пространство$ , y ) = ( x , A$ + y ) и ( Ax$ , y ) = ( x , A$ × y ) .( Ax$ + − A$ × ) y ) = 0 , но тоВычитая их почленно, получим ( x , ( A$ + − A$ × = O$ .гда по лемме 10.6.1 AТеорема доказана.Теорема10.6.2.Для любых линейных операторовщих в E , имеет место равенствоA$ и B$ , действую-$ $ ) + = B$ + A$ + .( ABДоказательство.Имеет место∀x , y ∈ E$ $ ) + x , y ) = ( x , ABy$ $ ) = ( A$ + x , By$ ) = ( B$ + A$ + x , y ) .(( AB((( Aˆ Bˆ ) + − Bˆ + Aˆ + ) x, y ) = 0 ∀x , y ∈ E и в$ $ ) + − B$ + A$ + = O$ .силу леммы 10.6.1 ( ABЭто означает, чтоТеорема доказана.Теорема10.6.3.Имеет место равенство( A$ + ) + = A$ .Доказательство.∀x , y ∈ E справедливы равенства$ , y) .(( A$ + ) + x , y ) = ( x , A$ + y ) = ( Ax(( A$ − ( A$ + ) + ) x , y ) = 0 ∀x , y ∈ E и то$ − ( A$ + ) + = O$ .гда по лемме 10.6.1 AОткуда следует, чтоТеорема доказана.382Аналитическая геометрия и линейная алгебраТеорема10.6.4.Ортогональное дополнение области значений оператораA$ в E n является ядром оператора A$ + .Доказательство.A$ + , обозначаемое че$ + , содержится во множестве Π – ортогональномрез ker A$.дополнении области значений оператора A$ + , то есть такой,Действительно, любой элемент y ∈ ker A1°.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
