Лекции Линал Ершов (1188212), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

. + (−1)n det A).(33)Задача 6.29. Убедитесь, что выписанные коэффициенты многочлена именно такие как в приведенной формуле. (Указание: для нахождения свободного члена положите t = 0 в χA (t)).Из доказанного выше следует, что λ ∈ K является собственным значением оператора ϕ тогдаи только тогда, когда λ — корень многочлена χA (t) (для матрицы A оператора ϕ в произвольномбазисе).Выше мы уже видели, что некоторые характеристики матриц линейных операторов не зависятот выбора базиса, в котором записывается матрица, и, таким образом, являются инвариантамисамого́ оператора. Таковы например rk A (являющийся инвариантом даже для линейных отображений) и det A.

Поэтому можно говорить про ранг линейного отображения rk ϕ (в частности,линейного оператора) и определитель линейного оператора, det ϕ.Оказывается, для всех матриц A одного оператора ϕ многочлены χA (t) совпадают. Действительно, A0 — матрица того же оператора в новом базисе, связанном с исходным матрицей переходаC, то A0 = C −1 AC и мы имеемχA0 (t) = det (A0 − tE) = det (C −1 AC − C −1 (tE)C) = det (C −1 (A − tE)C) == (det C)−1 (det(A − tE))det C = det (A − tE) = χA (t).Поэтому многочлен χA (t) (и все его коэффициенты, в частности, след tr A) являются инвариантами линейного оператора.

Многочлен χA (t) называется характеристическим многочленомоператора ϕ и обозначается χϕ (t). То, что этот многочлен является инвариантом оператора ϕ (тоесть не зависит от базиса, в котором рассматривается его матрица), называется инвариантностью характеристического многочлена.102Задача 6.30. Найдите характеристические многочлены для рассмотренных выше примеровлинейных операторов.Задача 6.31. Верно ли, что если характеристические многочлены матриц A и B совпадают,то указанные матрицы являются матрицами одного оператора в разных базисах?Задача 6.32. Пусть ϕ — оператор поворота в трехмерном евклидовом пространстве на уголα. Пусть A — матрица этого оператора в некотором (не обязательно ортонормированном)базисе.

Выразите угол поворота α через элементы матрицы A. (Указание: воспользуйтесь инвариантностью следа).Задача 6.33. Пусть ϕ — проектор, то есть ϕ2 = ϕ. Докажите, что rk ϕ = tr ϕ.Выше мы фактически доказали следующую Теорему.Теорема 6.34. Элемент λ ∈ K является собственным значением оператора ϕ тогда и толькотогда, когда он является корнем его характеристического многочлена χϕ (t), лежащем в полеK.Напомним, что у многочлена p(t) ∈ K[t] степени n не более n корней в K с учетом кратности(в частности, не более n различных корней), причем если поле K алгебраически замкнуто20 , тоих в точности n с учетом кратности. Таким образом, у оператора в n-мерном пространстве неболее n различных собственных значений, но может быть и меньше: корни характеристическогомногочлена могут быть кратными, а могут не принадлежать полю K, если последнее не алгебраически замкнуто.

Если поле K алгебраически замкнуто, то собственных значений в точности n сучетом кратности.Причину последней оговорки (про поле) в формулировке предыдущей Теоремы проясняетследующий пример.Пример 6.35. Пусть ϕ — оператор поворота на угол π/2 на евклидовой плоскости (это векторноепространство над полем R). Мы знаем, что у него нет собственных векторов, а значит нет !и0 −1собственных значений. В то же время в ортонормированном базисе он имеем матрицу1 02и его характеристической многочлен равен χϕ (t) = t +1. Этот многочлен не имеет вещественныхкорней, в то же время имеет два комплексных корня ±i.Чтобы отличить собственные значения оператора от общих корней его характеристическогомногочлена (которые не обязаны лежать в поле K), последние мы будем называть характеристическими числами оператора. Таким образом, собственные значения — в точности характеристические числа, которые лежат в поле K (над которым опеределено наше векторное пространство).Следствие 6.36.

Всякий оператор в пространстве положительной размерности над полем Cимеет собственный вектор.20Алгебраическая замкнутость поля K означает, что любой многочлен p(t) ∈ K[t] положительной степени имееткорень в K, отсюда по теореме Безу следует формулируемый далее результат.103Доказательство.

Пусть ϕ : V → V — такой оператор и χϕ (t) ∈ C[t] — его характеристическиймногочлен. Из алгебраической замкнутости поля C21 следует, что χϕ (t) имеет комплексный корень λ ∈ C. Согласно предыдущей Теореме, он будет собственным значением оператора ϕ.Задача 6.37. Пусть V — нечетномерное векторное пространство над полем R, тогда любойлинейный оператор ϕ : V → V имеет собственный вектор.Замечание 6.38. Мы знаем, что в четномерном вещественном векторном пространстве не любойоператор имеет одномерное инвариантное подпространство (которое обязательно порождаетсясобственным вектором).

Однако любой линейный оператор на конечномерном вещественном пространстве положительной размерности имеет одно- или двумерное инвариантное подпространство. Мы этот факт здесь не доказываем, читатель может попробовать доказать его самостоятельно. Отметим лишь, что этот результат связан с тем, что любой неприводимый многочлен надR имеет степень 1 или 2.Теперь мы знаем как искать собственные значения оператора ϕ, осталось выяснить как искать соответствующие собственные подпространства Vλ . Так как Vλ = ker (ϕ − λ idV ), то в базисе,в котором ϕ имеет матрицу A нахождение Vλ ⊂ V сводится к решению СЛОУ с матрицей коэффициентов A − λE.

То есть ФСР указанной системы даст базис в Vλ . Заметим, что так как λ —корень характеристического многочлена, то det (A − λE) = 0, поэтому указанная система имеетнетривиальное решение, причем dim Vλ = dim V − rk (ϕ − λ idV ) (см. формулу (29)).Таким образом, алгоритм решения задачи на нахождение собственных векторов оператораϕ в конечномерном пространстве V над полем K следующий. Выбираем в V какой-то базис{e1 , . .

. , en }, находим матрицу A оператора ϕ в этом базисе. Находим его характеристическиймногочлен χϕ (t) = det (A − tE). Находим корни χϕ (t), лежащие в поле K, они — в точностивсе собственные значения ϕ. Пусть {λ1 , . . . , λk } — все собственные значения ϕ. Для каждогоλi решаем СЛОУ с матрицей A − λi E, тем самым находим собственное подпространство Vλi .(Точнее, выбрав базис {e1 , . . .

, en }, мы отождествили V с пространством столбцов Kn , при этомизоморфизме Vλi отождествляется с пространством решений указанной системы).6.4ДиагонализируемостьИз Задачи 6.16 (или непосредственно из определения диагонализируемости и собственного вектора) легко следует, что оператор ϕ : V → V диагонализируем тогда и только тогда, когда в Vсуществует базис, состоящий из его собственных векторов. В таком базисе (если он существует)матрица ϕ будет диагональной с собственными значениями на главной диагонали.

Главная цельданного параграфа — получить удобный критерий существования для оператора ϕ базиса изсобственных векторов.Вот первый важный результат в этом направлении.Теорема 6.39. Собственные подпространства оператора ϕ, отвечающие разным собственнымзначениям, линейно независимы.21В этом курсе мы этот факт принимаем без доказательства.104Доказательство. Пусть λ1 , . . . , λk — все различные собственные значения оператора ϕ (мы знаем, что k ≤ dim V , причем неравенство может быть строгим, так как корни характеристическогомногочлена могут быть кратными, а также могут не лежать в поле K, если последнее не алгебраически замкнуто), а V1 , . .

. , Vk ⊂ V — соответствующие им собственные подпространства.Теорему будем доказывать индукцией по числу k. При k = 1 результат очевиден. Пусть k > 1.Пустьv1 + . . . + vk−1 + vk = 0,(34)где vi ∈ Vi . Применяя к обеим частям данного равенства оператор ϕ, получаемλ1 v1 + . . . + λk−1 vk−1 + λk vk = 0.(35)Вычитая теперь из (35) умноженное на λk (34), получаем(λ1 − λk )v1 + . . .

+ (λk−1 − λk )vk−1 = 0,откуда с учетом индуктивного предположения имеем (λi − λk )vi = 0 при i = 1, . . . , k − 1, но таккак λi − λk 6= 0, то v1 = . . . = vk−1 = 0, откуда с учетом (34) также и vk = 0, что и требовалосьдоказать.Таким образом, V1 ⊕ . . . ⊕ Vk ⊂ V , и в V существует базис, состоящий из собственных векторовоператора ϕ тогда и только тогда, когда V1 ⊕ . . . ⊕ Vk = V .

Мы знаем, что последнее равносильноPтому, что ki=1 dim Vi = dim V (см. Предложение 5.23).Из предыдущей Теоремы следует следующее достаточное условие диагонализируемости.Следствие 6.40. Если характеристический многочлен χϕ (t) имеет n = dim V различных корней, принадлежащих полю K, то оператор ϕ диагонализируем.Доказательство.

Характеристики

Список файлов лекций