Лекции Линал Ершов (1188212), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Каждому k-мерному подпространству U ⊂ V можно сопоставить n − k-мерноеподпространство U 0 ⊂ V ∗ следующим образом:U 0 := {f ∈ V ∗ | f (u) = 0 ∀u ∈ U }.Можно показать, что (U 0 )0 = U и сопоставление подпространству его аннулятора определяетобращающую включение19 биекцию между множествами подпространств в V и в V ∗ .Понятие аннулятора позволяет дать бескоординатное описание связи между подпространствами в Kn и системами линейных уравнений, которые их определяют (выбор базиса в V отождествляет аннулятор U 0 с пространством всех линейных уравнений, которым удовлетворяют всевекторы из U ). Мы, однако, не будем останавливаться на этой теме, отсылая заинтересованногочитателя к более подробным курсам, например [6].6Линейные операторы6.1Определение и простейшие свойстваДля удобства напомним определение линейного оператора (=линейного преобразования) и егоматрицы, а также перечислим доказанные ранее их свойства.Определение 6.1. Линейным оператором на линейном пространстве V называется линейноеотображение ϕ : V → V.Аналогично общему случаю линейных отображений, определяются ядро ker ϕ и образ Im ϕлинейного оператора ϕ : V → V.

Они являются подпространствами V , причем если V конечномерно, тоdim ker ϕ + dim Im ϕ = dim V.(29)Оператор ϕ : V → V биективен (то есть изоморфизм) тогда и только тогда, когда ker ϕ = 0 иIm ϕ = V , причем если V конечномерно, то два последних условия эквивалентны (ввиду формулы(29)).19Действительно, чем меньше подпространство, тем больше линейных функций, которые на нем обращаются внуль.95Если {e1 , . .

. , en } — базис в V , то матрицей ϕ в нем называется такая единственная матрицаA порядка n, что(ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )) = (e1 , . . . , en )A.−Если →v — координатный столбец вектора v ∈ V в базисе {e1 , . . . , en }, а A — матрица оператора−ϕ в том же базисе, то координатный столбец вектора ϕ(v) в том же базисе равен A→v.00Если {e1 , . . . , en } — новый базис в V , причем C — матрица перехода к нему от старого базиса,то A0 = C −1 AC, где A0 — матрица ϕ в новом базисе.Замечание 6.2.

Сразу отметим важную особенность матрицы линейного оператора: ее определитель зависит только от самого оператора, но не от базиса, в котором она написана. Действительно,det A0 = det (C −1 AC) = (det C)−1 (det A)(det C) = det A.Это говорит о том, что у линейных операторов больше инвариантов, чем у общих линейныхотображений, что приводит к их более сложной теории.Выбор базиса задает изоморфизм алгебр L(V ) → Matn (K). В частности, матрица (в данномбазисе) композиции операторов равна произведению их матриц, матрица тождественного оператора является единичной матрицей (в любом базисе). Оператор ϕ — изоморфизм тогда и толькотогда, когда его матрица A (в произвольном базисе) невырождена, при этом матрицей ϕ−1 в томже базисе является A−1 .Из доказанного ранее также следует, что если A — матрица ϕ, то rk A = dim Im ϕ (и, такимобразом, rk A не зависит от базиса, в котором написана A).Рассмотрим несколько примеров линейных операторов.Пример 6.3.

Нулевой оператор, тождественный оператор.Пример 6.4. Пусть V = U ⊕W и ϕ : V → V — проектор на U параллельно W . Ранее мы проверилиего линейность. Легко проверяется, что он удовлетворяет тождеству ϕ2 = ϕ.Докажем обратное, что любой линейный оператор ϕ : V → V , удовлетворяющий тождествуϕ2 = ϕ, является проектором на U := Im ϕ ⊂ V параллельно W := ker ϕ ⊂ V. Действительно,любой вектор v ∈ V представляется в виде v = ϕ(v) + (v − ϕ(v)), где первое слагаемое лежитв U , второе — в W , откуда V = U + W.

Дальше можно либо сослаться на формулу (29), либодоказать что U ∩ W = 0 следующим образом. Пусть напротив, 0 6= z ∈ U ∩ W, тогда z = ϕ(v) длянекоторого v ∈ V и ϕ(z) = 0, откуда ϕ2 (v) = ϕ(v) = z = 0 — противоречие с z 6= 0.Пример 6.5. Рассмотрим оператор ϕ : V → V , удовлетворяющий тождеству ϕ2 = idV . ПоложимU := {v ∈ V | ϕ(v) = v},W := {v ∈ V | ϕ(v) = −v}(заметим, что U = ker (ϕ − idV ), W = ker (ϕ + idV )). Покажем что тогда V = U ⊕ W . В самомделе, для всякого v ∈ V имеемv + ϕ(v) v − ϕ(v)+,v=22где первое слагаемое лежит в U , а второе — в W , откуда V = U + W. Пересечение U и W состоитиз векторов, удовлетворяющих равенству v = −v, откуда U ∩ W = 0.96Легко видеть, что если v = u + w — разложение произвольного вектора v ∈ V в соответствии с прямой суммой V = U ⊕ W , то действие ϕ на v задается формулой ϕ(v) = u − w.

Такойоператор ϕ естественно назвать “отражением относительно U параллельно W ” (читателю предлагается нарисовать картинку). Легко видеть, что наоборот, любое такое отражение (связанноес разложением V в прямую сумму U ⊕ W подпространств) удовлетворяет тождеству ϕ2 = idV .Примером такого линейного оператора является оператор транспонирования на пространствеквадратных матриц Matn (K) (какие в этом случае подпространства U и W ?). Кстати, заодномы дали описание множества решений матричного уравнения X 2 = E (в квадратных матрицахданного порядка n).Пример 6.6.

Оператор поворота на плоскости (в трехмерном пространстве) на данный угол (вокруг данной оси на данный угол).dна пространстве V = R[x]n многочленовПример 6.7. Оператор дифференцирования ϕ = dxстепени не выше n. У этого оператора одномерное ядро (состоящее из констант) и n − 1-мерныйобраз Imϕ = R[x]n−1 ⊂ R[x]n . Заметим, что в этом случае ker ϕ содержится в Im ϕ.Пример 6.8. Свойства оператора дифференцирования сильно зависят от того, на каком проdна линейнойстранстве функций мы его рассматриваем. Рассмотрим, например, оператор ϕ = dxоболочке функцийV := hsin x, cos xi = {α sin x + β cos x | α, β ∈ R}над R (указанную линейную оболочку мы рассматриваем как подпространство пространства дифференцируемых функций на действительной прямой).

Легко видеть, что функции sin x, cos x линейно независимы, поэтому dim V = 2. Тогда ϕ является изоморфизмом пространства V на себя.Любопытно отметить, что матрица ϕ в базисе {sin x, cos x} совпадает с матрицей поворота плоскости на угол π/2 в ортонормированнном базисе.6.2Инвариантные подпространстваПусть ϕ : V → V — линейный оператор на V .Определение 6.9. Подпространство U ⊂ V называется ϕ-инвариантным, если ∀u ∈ U ϕ(u) ∈ U(коротко: ϕ(U ) ⊂ U ).Ясно, что нулевое подпространство и все V ϕ-инвариантны (для любого оператора ϕ).

Такжелегко показать, что любое подпространство, содержащееся в ker ϕ, а также любое подпространство, содержащее Im ϕ, ϕ-инвариантны.Задача 6.10. Постарайтесь найти все инвариантные подпространства операторов из предыдущего параграфа.Говорят, что два оператора ϕ и ψ на V коммутируют, если ψϕ = ϕψ. Очевидно, это равносильно тому, что их матрицы (в произвольном базисе) коммутируют: AB = BA.Предложение 6.11. Если операторы ϕ и ψ коммутируют, то ker ϕ инвариантно относительно ψ, и наоборот. То же верно и для образов.97Доказательство.

Докажем Предложение для ядер. Пусть U := ker ϕ. Тогда для любого u ∈ Uимеемϕ(ψ(u)) = ψ(ϕ(u)) = ψ(0) = 0,откуда ψ(u) ∈ U.Вот пример такой пары операторов: ϕ и ψ = ϕ − λidV .Если U ⊂ V — ϕ-инвариантное подпространство, то определен линейный операторϕ|U : U → U,ϕ|U (u) = ϕ(u) ∈ Uна U , называемый ограничением оператора ϕ на (инвариантное) подпространство U .Наличие инвариантного подпространства позволяет предъявить базис, в котором матрица ϕимеет специальный вид.А именно, выберем базис {e1 , .

. . , ek } в подпространстве U и продолжим его до базиса {e1 , . . . , ek , ek+1 , . . . , en } во всем пространстве V . Тогда матрица A оператора ϕ в базисе{e1 , . . . , en } будет иметь вид!B C(30)A=0 Dс квадратными матрицами B и D порядков k и n − k. Легко видеть, что матрица B являетсяматрицей ограничения ϕ|U в базисе {e1 , . . . , ek }.Обратно, если матрица имеет указанный выше вид, то линейная оболочка первых k базисныхвекторов является ϕ-инвариантным подпространством.Замечание 6.12. Матрица D тоже является матрицей некоторого оператора, который строится поϕ и инвариантному подпространству U , а именно фактороператора, но его определение выходитза рамки нашего курса.Еще лучше сложится ситуация, если удастся найти такой базис в V , в котором A будет иметьблочно-диагональный вид!B 0A=.(31)0 DА именно, рассмотрим оператор ϕ : V → V , для которого V является прямой суммой ϕинвариантных подпространств U и W , V = U ⊕ W .

Тогда матрица ϕ в базисе в V , полученномобъединением базисов в U и W , будет иметь требуемый вид, причем B и D будут матрицами ϕ|Uи ϕ|W в соответствующих базисах подпространств.Обратно, если матрица A оператора ϕ в базисе {e1 , . . . , en } в V имеет блочно-диагональныйвид (31) с блоками порядков k и n − k соответственно, то линейные оболочки U := he1 , . . . , ek i иW := hek+1 , . . . , en } будут инвариантными подпространствами V такими, что V = U ⊕ W .Пример 6.13. Пусть {e1 , e2 , e3 } — ортонормированный базис в трехмерном евклидовом пространстве. В нем матрица оператора поворота ϕ на угол α вокруг оси e3 имеет видcos α ∓ sin α 0± sin α cos α 0 ,001поэтому линейные оболочки he1 , e2 i и he3 i ϕ-инвариантны.98Пример 6.14. Матрица A проектора на U параллельно W в объединении базисов U и W имеетвид!Ek 0,0 0где k = dim U.Пример 6.15.

Характеристики

Список файлов лекций