Лекции Линал Ершов (1188212), страница 20
Текст из файла (страница 20)
K не пусто: действительно, ему принадлежит нулевой вектор. Кроме того, из v1 , v2 ∈ K следует v1 + v2 ∈ K(ϕ(v1 + v2 ) = ϕ(v1 ) + ϕ(v2 ) = 0 + 0 = 0), а из v ∈ K следует λv ∈ K. Таким образом, K является линейным подпространством в V .Определение 5.40. Ядром линейного отображения ϕ : V → U называется линейное подпространство в V , состоящее из векторов, которые ϕ отображает в нулевой вектор. Ядро линейногоотображения ϕ обозначается Ker ϕ.Таким образом,Ker ϕ = {v ∈ V | ϕ(v) = 0} ⊂ V.76Рассмотрим теперь множество I векторов из U , которые являются образами векторов пространства V относительно линейного отображения ϕ (то есть такие u ∈ U , для которых существует (хотя бы один) v ∈ V такой, что ϕ(v) = u).
Читателю предлагается проверить, что I — непросто подмножество, а подпространство в U .Определение 5.41. Образом линейного отображения ϕ : V → U называется линейное подпространство в U , состоящее из векторов, которые является образами векторов пространства Vотносительно ϕ. Образ линейного отображения ϕ обозначается Im ϕ.Таким образом,Im ϕ = {u ∈ U | ∃v ∈ V : ϕ(v) = u} ⊂ U.Заметим, что если ϕ : V → V — линейное преобразование, то Ker ϕ и Im ϕ являются подпространствами одного пространства V .Приведем некоторые примеры (читателю рекомендуется найти ядра и образы для остальныхприведенных выше примеров линейных отображений самостоятельно).Пример 5.42. Ядро преобразования из Примера 5.35 совпадает с подпространством W ⊂ V , аобраз — с U ⊂ V.Пример 5.43.
Ядро преобразования из Примера 5.37 совпадает с подпространством R[x]k−1 ⊂R[x]n , а образ — с подпространством R[x]n−k ⊂ R[x]n . Полезно заметить, что ядро и образ линейного преобразования могут иметь нетривиальное (то есть ненулевое) пересечение!Пример 5.44. Ядро преобразования из Примера 5.39 нулевое (в этом случае говорят “тривиальное”), а образ совпадает со всем пространством Kn .Следующее предложение показывает, что для инъективности линейного отображения достаточно, чтобы прообраз нулевого вектора (то есть ядро) состоял бы только из нуля.Предложение 5.45. (Критерий инъективности и сюръективности). Линейное отображениеϕ : V → U инъективно (соответственно сюръективно) тогда и только тогда, когда Ker ϕ = 0(соответственно Im ϕ = U ).Доказательство.
Докажем ту часть, которая касается ядра (часть про образ непосредственноследует из определений). Если Ker ϕ 6= 0, то существует 0 6= v ∈ Ker ϕ, значит ϕ(v) = ϕ(0) = 0 ипоэтому ϕ не инъективно.Наоборот (это самое интересное), пусть ϕ не инъективно. Тогда существуют v1 , v2 ∈ V, v1 6= v2такие, что ϕ(v1 ) = ϕ(v2 ). Тогда ϕ(v1 −v2 ) = ϕ(v1 )−ϕ(v2 ) = 0, а значит 0 6= v1 −v2 ∈ Ker ϕ, поэтомуKer ϕ 6= 0.То есть для инъективности линейного отображения достаточно, чтобы прообраз нулевоговектора был одноэлементным (состоящим из нулевого вектора), тогда автоматически прообразывсех элементов из образа будут одноэлементными (ср.
Задачу 5.48 ниже).Следствие 5.46. Линейное отображение ϕ : V → U биективно тогда и только тогда, когдаKer ϕ = 0 и Im ϕ = U .77Биективные линейные отображения образуют важный класс линейных отображений и называются изоморфизмами. Мы вернемся к ним немного позже.Задача 5.47. Пусть ϕ : V → U — биективное линейное отображение. Тогда для него существует теоретико-множественное обратное отображение ϕ−1 . Докажите, что ϕ−1 линейно.Пусть ϕ : V → U — произвольное линейное отображение. Определим полный прообраз вектораu ∈ U как множествоϕ−1 (u) := {v ∈ V | ϕ(v) = u} ⊂ V(заметим, что обозначение ϕ−1 (u) не предполагает что ϕ обратимо, то есть биективно).
Нетруднопроверить, что ϕ−1 (u) является линейным подпространством в V тогда и только тогда, когдаu = 0.Посмотрим, как устроены полные прообразы векторов из U . Очевидно, что ϕ−1 (u) 6= ∅ ⇔u ∈ Im ϕ.Задача 5.48. Предположим, что u ∈ Im ϕ и v ∈ V такой, что ϕ(v) = u. Тогдаϕ−1 (u) = v + Ker ϕ := {v + v 0 | v 0 ∈ Ker ϕ}.Решение. Пусть v 0 ∈ ϕ−1 (u), тогда v 0 − v ∈ Ker ϕ, и поэтому v 0 ∈ v + Ker ϕ.
Обратно, пустьv 0 ∈ v + Ker ϕ, то есть v 0 = v + w, w ∈ Ker ϕ. Тогда ϕ(v 0 ) = ϕ(v) = u, поэтому ϕ(v 0 ) ∈ ϕ−1 (u).Решив предыдущую задачу читатель, наверное, почувствовал аналогию между структуроймножества ϕ−1 (u) и общего решения совместной СЛУ. Такая аналогия действительно есть, мыобъясним ее после того, как определим понятие матрицы линейного отображения. Мы увидим,что (при данных ϕ и u) ϕ(v) = u — “бескоординатная” запись СЛУ с соответствующей СЛОУϕ(v) = 0.В заключении данного раздела докажем важную теорему.Теорема 5.49.
Пусть ϕ : V → U — линейное отображение, причем V конечномерно. Тогдаdim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V.Доказательство. Пусть для определенности dim V = n. Тогда Ker ϕ — подпространство в V размерности k ≤ n. Пусть {e1 , . . . , en } — такой базис в V , что последние k его векторов en−k+1 , . . . , enобразуют базис в Ker ϕ (такой базис можно получить, выбирая базис в ядре и дополняя его добазиса во всем V ).Мы утверждаем, что система векторов {ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en−k )} линейно независима и значит составляет базис в Im ϕ (поскольку из Предложения 5.55 следует, что они порождают Im ϕ).
Действительно, пусть λ1 ϕ(e1 ) + . . . + λn−k ϕ(en−k ) = 0 — произвольная линейная зависимость. Тогдаλ1 e1 + . . . + λn−k en−k ∈ Ker ϕ. Из линейной независимости {e1 , . . . , en } теперь легко следует, чтоэта линейная зависимость тривиальна.Замечание 5.50. Может показаться, что если ϕ : V → V — линейное преобразование, то предыдущую Теорему можно усилить так: V = Ker ϕ ⊕ Im ϕ. В общем случае это неверно: контрпримерсм.
в Примере 5.43.78Следствие 5.51. Для конечномерных пространств V и U одинаковой размерности выполнениелюбого из условий 1) Ker ϕ = 0, 2) Im ϕ = U достаточно для того, чтобы линейное отображениеϕ : V → U было биекцией.5.3Задание линейных отображений на базисах. ИзоморфизмыДокажем Лемму, которая показывает, что линейные отображения удобно задавать на базисе.Лемма 5.52.
Если {e1 , . . . , en } — базис в V , то для любого векторного пространства U над темже полем и любой системы векторов {u1 , . . . , un } в U существует и единственно такое линейноеотображение ϕ : V → U , что ϕ(ei ) = ui , i = 1, . . . , n.Доказательство.
Так как {e1 , . . . , en } является базисом в V , то произвольный вектор из V однозначно раскладывается по нему: v = λ1 e1 + . . . + λn en . Если линейное отображение ϕ : V → U ,удовлетворяющее условию леммы, существует, то ϕ(v) = λ1 u1 + . . . + λn un . Таким образом, существует не более одного такого отображения. Теоретико-множественно ϕ указанной формулой корректно определено.
Осталось доказать его линейность. Проверим аддитивность. Пустьw = µ1 e1 + . . . + µn en ∈ V. Тогда имеемϕ(v + w) = (λ1 + µ1 )e1 + . . . + (λn + µn )en = ϕ(v) + ϕ(w).Аналогично проверяется однородность.Из доказанной Леммы можно сделать вывод, что для определения линейного отображенияϕ : V → U достаточно задать его значения на произвольном базисе V , причем с базиса линейноеотображение по линейности продолжается на все пространство V однозначно.Следующие Предложения отвечают на вопрос, когда заданное на базисе линейное отображение является инъективным или сюръективным.Предложение 5.53.
Пусть V — линейное пространство, {e1 , . . . , en } — базис в V . Пусть U —еще одно пространство над тем же полем, {u1 , . . . , un } — система векторов в U . Тогда линейноеотображение ϕ : V → U такое, что ϕ(ei ) = ui , i = 1, . . . , n является инъективным тогда итолько тогда, когда система {u1 , . . . , un } линейно независима.Доказательство. 1) Предположим, что система {u1 , . .
. , un } линейно зависима и λ1 u1 + . . . +λn un = 0 — нетривиальная линейная зависимость. Тогда ядро ϕ содержит ненулевой векторv = λ1 e1 + . . . + λn en , следовательно, ϕ не инъективно.Обратно, пусть ϕ не инъективно; тогда найдется v ∈ V, v 6= 0 такой, что ϕ(v) = 0. Пустьv = λ1 e1 +. . .+λn en — его разложение по выбранному базису в V . Тогда 0 = ϕ(v) = λ1 u1 +. . .+λn un— нетривиальная линейная зависимость между векторами системы {u1 , .
. . , un }.Задача 5.54. Пусть V — конечномерное линейное пространство над полем K. Докажите, чтосистема векторов {e1 , . . . , en } является базисом в V тогда и только тогда, когда для любоговекторного пространства U над тем же полем и любой системы векторов {u1 , . . . , un } в Uсуществует и единственно такое линейное отображение ϕ : V → U , что ϕ(ei ) = ui , i =1, . . . , n.79Предложение 5.55. Пусть ϕ : Vhϕ(e1 ), . .
. , ϕ(en )i.→U и {e1 , . . . , en } — базис в V . Тогда Im ϕДоказательство. u ∈ Im ϕ ⇔ ∃v ∈ V такой, что ϕ(v) = uPu = i λi ϕ(ei ) ⇔ u ∈ hϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )i.⇔=∃λ1 , . . . , λn ∈ K такой, чтоСледствие 5.56. Линейное отображение ϕ : V → U биективно тогда и только тогда, когда длянекоторого (а значит и для любого) базиса {e1 , . . . , en } в V система {ϕ(e1 ), . .
. , ϕ(en )} являетсябазисом в U .Рассмотрим более подробно биективные линейные отображения.Пусть U и V — линейные пространства над полем K.Определение 5.57. Линейное отображение ϕ : U → V называется изоморфизмом, если онобиективно.Из Следствия 5.51 вытекает, что для конечномерных пространств V и U одинаковой размерности выполнение любого из условий 1) Ker ϕ = 0, 2) Im ϕ = U достаточно для того, чтобылинейное отображение ϕ : V → U было изоморфизмом.Определение 5.58.
Мы скажем, что пространство U изоморфно V , если существует изоморфизмϕ: U → V .Линейные пространства, между которыми существует (хотя бы один) изоморфизм, называются изоморфными.Заметим, что линейные пространства могут быть равномощными как множества, но не изоморфными (примеры таких пространств мы скоро получим). Это связано с тем, что между линейными пространствами линейных биекций меньше чем просто биекций.Предложение 5.59.
Отношение изоморфности на множестве всех линейных пространствнад данным полем — отношение эквивалентности.Доказательство. Действительно, оно рефлексивно, так как тождественное отображение — изоморфизм.Далее, оно симметрично. Это следует из того, что обратное отображение к изоморфизму —изоморфизм. Покажем это. Пусть ϕ : U → V — изоморфизм и ϕ−1 : V → U — обратное отображение для ϕ. Оно существует в силу биективности ϕ и определяется так: ϕ−1 (v) = u, еслиv = ϕ(u).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
