Лекции Линал Ершов (1188212), страница 19
Текст из файла (страница 19)
. , 1)T ∈ U и (w1 , . . . , wn )T ∈ W . Если(v1 , . . . , vn )T = λ(1, . . . , 1)T + (w1 , . . . , wn )T , то приравнивая суммы координат слева и справа,PPполучаем i vi = nλ, откуда λ однозначно определяется: λ = n1 i vi . Теперь вычитая из столбPца (v1 , . . . , vn )T столбец λ(1, . . .
, 1)T , получаем столбец (w1 , . . . , wn ) такой, что i wi = 0. Такимобразом, Rn = U ⊕ W.2-й способ. Легко видеть, что U ∩ W = 0, а также что dim U = 1 и dim W = n − 1 (W —пространство решений СЛОУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов (1 . . . 1) ранга 1).Теперь работает Предложение 5.12.Проекции читателю предлагается найти самостоятельно.Пример 5.17.
Докажем, что (бесконечномерное!) пространство F (R) вещественнозначных функций на действительной прямой является прямой суммой подпространства F (R)+ четных функций и подпространства F (R)− нечетных функций. Для этого докажем, что любая функцияf ∈ F (R) единственным образом представляется в виде суммы четной и нечетной функции.(−x)(−x)Действительно, легко проверить, что f (x) = f (x)+f+ f (x)−f— такое представление. Если22+−f (x) = f (x) + f (x) — произвольное такое представление, то f (−x) = f + (x) − f − (x), откуда(−x)(−x), f − (x) = f (x)−f.f + (x) = f (x)+f22Например, для функции exp(x) данное представление имеет вид exp(x) = ch(x) + sh(x).Заметим, что в этом примере соображения, связанные с размерностью пространств не работают — все пространства бесконечномерные!Задача 5.18.
Докажите, что пространство Mn (R) матриц порядка n является прямой суммой подпространств симметрических Mn (R)+ и кососимметрических Mn (R)− матриц. Найдите проекции матричных единиц Eij на Mn (R)+ параллельно Mn (R)− и на Mn (R)− параллельноMn (R)+ . (Указание: попробуйте найти формулы для проекций по аналогии с предыдущим примером).Задача 5.19. Докажите, что пространство Tn (R) верхнетреугольных матриц порядка n является еще одним (помимо симметрических матриц) прямым дополнением к подпространствукососимметрических матриц Mn (R)− в Mn (R) и найдите соответствующие проекции матричных единиц Eij .Перейдем теперь к определению и изучению сумм и прямых сумм произвольного конечногочисла подпространств данного пространства.Определение 5.20.
Подпространства U1 , . . . , Uk линейного пространства V называются линейнонезависимыми, если из u1 + . . . + uk = 0 (ui ∈ Ui , i = 1, . . . , k) следует ui = 0 ∀i, 1 ≤ i ≤ k.Определение 5.21. Суммой U1 + . . . + Uk подпространств Ui ⊂ V называется подпространствов V , состоящее из всех сумм вида u1 + . . . + uk ∈ V (ui ∈ Ui ). Это — наименьшее линейноеподпространство в V , содержащее все Ui , i = 1, .
. . , k.Заметим, что подпространства U1 , . . . , Uk линейно независимы тогда и только тогда, когда длялюбого вектора v ∈ U1 + . . . + Uk его представление вида v = u1 + . . . + uk (ui ∈ Ui ) единственно(ср. Определение 5.10).73Определение 5.22. Сумма линейно независимой системы подпространств U1 , . .
. , Uk линейногопространства V называется прямой суммой и обозначается U1 ⊕ . . . ⊕ Uk .Предложение 5.23. Следующие свойства системы подпространств U1 , . . . , Uk ⊂ V равносильны:1) подпространства U1 , . . . , Uk линейно независимы;2) объединение базисов подпространств U1 , .
. . , Uk линейно независимо;3) dim (U1 + . . . + Uk ) = dim U1 + . . . + dim Uk .Доказательство. 1) ⇒ 2): Пусть {ei1 , . . . , eini } — базис в Ui , i = 1, . . . , k. Пустьnik XXλij eij = 0i=1 j=1P iP— нетривиальная линейная зависимость. Обозначим ui := nj=1λij eij ∈ Ui . Тогда i ui = 0, ноне все ui равны нулю. Поэтому подпространства U1 , . .
. , Uk линейно зависимы.2) ⇒ 1): Если подпространства U1 , . . . , Uk линейно зависимы, то существует система векторовPu1 , . . . , uk (ui ∈ Ui ), среди которых не все равны нулю, такая, что i ui = 0. Раскладывая этивекторы по базисам в Ui , получаем нетривиальную линейную зависимость между объединениембазисов подпространств U1 , . .
. , Uk .2) ⇒ 3): Если объединение базисов подпространств U1 , . . . , Uk линейно независимо, то оноявляется базисом в их сумме U1 + . . . + Uk , поскольку оно порождает ее.3) ⇒ 2): Предположим, что объединение базисов подпространств U1 , . . . , Uk линейно зависимо.Поскольку оно порождает сумму U1 + .
. . + Uk , оно содержит некоторый ее базис, а значит ееразмерность меньше чем сумма размерностей подпространств Ui .Определение 5.24. Линейное пространство V раскладывается в прямую сумму своих подпространств U1 , . . . , Uk , V = U1 ⊕ . . . ⊕ Uk , если выполнены следующие два условия:1) V = U1 + . . . + Uk ;2) подпространства U1 , . . . , Uk линейно независимы.Заметим, что предыдущее Предложение позволяет заменить условие 2) из Определения, например, условием dim V = dim U1 + . .
. + dim Uk .Заметим, что для трех и большего числа подпространств аналог Теоремы 5.7 неверен. Например, выбирая базисы в трех попарно различных одномерных подпространствах в двумерномпространстве мы получаем линейно зависимую систему.Задача 5.25. Пусть U, V, W — подпространства конечномерного линейного пространства.a) Верна ли формулаdim (U + V + W ) = dim U + dim V + dim W − dim (U ∩ V )−−dim (V ∩ W ) − dim (W ∩ U ) + dim (U ∩ V ∩ W ) ?74b) Следует ли из условий U ∩ V = V ∩ W = W ∩ U = 0 что сумма U + V + W прямая? Еслинет, то как нужно изменить приведенные условия, чтобы это было верно?Если V = U1 ⊕ .
. . ⊕ Uk , то для любого v ∈ V существует и единствен такой набор векторовu1 , . . . , uk (ui ∈ Ui ), что v = u1 +. . .+uk . Следующий пример показывает, что проекции ui зависятне только от Ui , но и от остальных слагаемых прямого разложения14 .Пример 5.26. Пусть {e1 , . . . , en } — базис векторного пространства V . ТогдаV = he1 i ⊕ . . . ⊕ hen i.Проекция вектора v ∈ V на hei i равна vi ei , где vi — i-я координата вектора v в базисе {e1 , . . .
, en }.5.2Линейные отображения и преобразованияВ современной математике (особенно в алгебре) математические объекты какого-то типа рассматриваются вместе с отображениями определенного типа. Если объекты представляют собоймножества с некоторой операцией (или набором операций), то естественное требование на такие отображения — согласованность с этой операцией (операциями). Так в алгебре возникаютгомоморфизмы групп (колец и т.п.), а в случае линейных пространств — линейные отображения.Определение 5.27. Отображение ϕ : V → U между линейными пространствами (над фиксированным полем K) называется линейным, если1) ϕ(v1 + v2 ) = ϕ(v1 ) + ϕ(v2 ) для любых v1 , v2 ∈ V (“аддитивность”);2) ϕ(λv) = λϕ(v) для любых v ∈ V и λ ∈ K (“однородность”).В качестве следствия получаем, что линейное отображение ϕ переводит конечную линейнуюPPкомбинацию λi vi векторов vi ∈ V в линейную комбинацию λi ϕ(vi ) векторов ϕ(vi ) ∈ U с темиже коэффициентами.Задача 5.28.
Для линейного ϕ : V → U докажите, что ϕ(0) = 0, ϕ(−v) = −ϕ(v), ϕ(v1 − v2 ) =ϕ(v1 ) − ϕ(v2 ).Важнейшим частным случаем линейного отображения является линейное преобразование.Определение 5.29. Линейным преобразованием линейного пространства V или, что то же, линейным оператором на V , называется линейное отображение V в себя.Приведем некоторые примеры линейных отображений и преобразований. Читателю предлагается проверить их линейность там, где это не сделано.Пример 5.30. Нулевое отображение ϕ : V → U, ϕ(v) = 0 ∀ v ∈ V .Пример 5.31.
Нулевое преобразование ϕ : V → V, ϕ(v) = 0 ∀ v ∈ V .Пример 5.32. Тождественное преобразование ϕ : V → V, ϕ(v) = v ∀ v ∈ V . Тождественное преобразование пространства V обозначается idV .14точнее, ui зависит не от остальных слагаемых по отдельности, а от их прямой суммы ⊕j6=i Uj .75Пример 5.33. Зафиксируем некоторый скаляр λ ∈ K. Определим линейное преобразование (“гомотетию”) ϕ = λ idV : V → V, ϕ(v) = λv ∀ v ∈ V .
При λ = 0 получаем нулевое преобразование,при λ = 1 — тождественное.kWПример 5.34. Пусть V = U ⊕W. Определим линейное отображение ϕ = PrU : V → U — проекторна U параллельно W следующим образом. По определению прямой суммы для любого v ∈ Vоднозначно определены u ∈ U и w ∈ W такие, что v = u + w. Тогда ϕ(v) := u ∈ U. Проверим,что так определенное отображение ϕ линейно. Пусть vi = ui + wi , i = 1, 2. Тогда v1 + v2 =(u1 + u2 ) + (w1 + w2 ), откуда ϕ(v1 + v2 ) = u1 + u2 = ϕ(v1 ) + ϕ(v2 ). Аналогично, если v = u + w,то λv = λu + λw, и тогда ϕ(λv) = λu = λϕ(v).kWПример 5.35. Пусть снова V = U ⊕ W. Определим линейное преобразование ϕ = PrU : V → V ,которое как и отображение из предыдущего примера называется проектором на U параллельноW следующим образом.
Для любого v ∈ V однозначно определены u ∈ U и w ∈ W такие,что v = u + w. Тогда ϕ(v) := u, но в данном случае u рассматривается как элемент самогопространства V (так как U ⊂ V ), поэтому ϕ на этот раз действует из V в V и является линейнымпреобразованием.Пример 5.36. Обозначим через R[x]n линейное пространство многочленов с вещественными коэффициентами степени не выше n. Пусть k ≥ 0 — некоторое натуральное число. ОбозначимV := R[x]n , U := R[x]n−k .
Определим отображение ϕ : V → U, ϕ(p) = p(k) ∀ p ∈ V (k-кратноедифференцирование). Читателю предлагается проверить его линейность.Пример 5.37. Любой многочлен степени не выше n − k (при k ≥ 0) можно рассматривать и какмногочлен не степени не выше n, поэтому k-кратное дифференцирование определяет линейноепреобразование R[x]n → R[x]n .Пример 5.38. Поворот евклидовой плоскости на данный угол вокруг фиксированной точки определяет линейное преобразование свободных векторов плоскости. Чтобы убедиться в его линейности, читателю предлагается нарисовать соответствующую картинку.Пример 5.39.
Пусть V — n-мерное линейное пространство. Тогда выбор базиса в V определяетлинейное отображение V → Kn (при этом вектору сопоставляется его координатный столбец ввыбранном базисе), см. раздел 4.4.С каждым линейным отображением ϕ : V → U связаны два важных линейных подпространства — его ядро и образ (первое является подпространством в V , второе — в U ).Рассмотрим множество K векторов из V , которые ϕ отображает в 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
