Лекции Линал Ершов (1188212), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Пока же мы займемся изучениемпервого из определенных отношений эквивалентности (для отображений).Во-первых, докажем следующее Предложение.Предложение 5.67. Если A — матрица линейного отображения ϕ : V → U (относительнопроизвольной пары базисов), то rk A = dim Im ϕ.Доказательство. Согласно Предложению 5.55, для любого базиса {e1 , . . . , en } Im ϕ =hϕ(e1 ), . . .

, ϕ(en )i. По определению матрицы отображения A, ее столбцы — координатные столбцы образов базисных векторов ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en ) (относительно выбранного базиса в U ). Из этихдвух фактов следует, что при отождествлении U с координатным пространством Km (задаваемым выбранным базисом в U ) подпространство Im ϕ ⊂ U отождествляется с линейной оболочкойстолбцов матрицы A в Km , размерность которой равна рангу матрицы A.Приведем модификацию предыдущего доказательства.

Координатные столбцы векторов изIm ϕ — в точности те столбцы b, для которых система Ax = b разрешима, то есть выбор базиса вU отождествляет Im ϕ с линейной оболочкой столбцов матрицы A, размерность которой, как мызнаем, равна rk A.Замечание 5.68. Заметим, кстати, что так как при элементарных преобразованиях столбцов матрицы A их линейная оболочка не меняется, то из формулы (26) следует, что она не зависит отбазиса в V , как и должно быть, поскольку Im ϕ — подпространство в U , зависящее только от ϕ.Та же формула показывает, что линейная оболочка столбцов зависит от базиса в U , посколькуего выбор задает отождествление U с Km .Следствие 5.69. Ранг матрицы линейного отображения не зависит от выбора базисов, в которых она записана.84Доказательство.

Действительно, ранг равен размерности образа линейного отображения, а онани от каких базисов не зависит.Замечание 5.70. Другое доказательство предыдущего Следствия можно получить, используя Задачу 4.28.Таким образом, если две матрицы данного размера являются матрицами одного и того желинейного отображения, то их ранги равны15 . Оказывается, верно и обратное, то есть ранг является единственным инвариантом для матриц линейных отображений. Это вытекает из следующегоПредложения.Предложение 5.71. Если для линейного отображения ϕ : V → U r := dim Im ϕ, то существуетпара базисов, относительно которых матрица ϕ имеет блочно-диагональный вид!Er 0.0 0Доказательство. 1-й способ. Построим базис {e1 , .

. . , en } в V такой, что его последние n − rвекторов образуют базис в Ker ϕ ⊂ V. Аналогичный базис (при r = n − k) уже строился вдоказательстве Теоремы 5.49, где было доказано, что система векторов {ϕ(e1 ), . . . , ϕ(er )} из Uлинейно независима. Положим f1 := ϕ(e1 ), . . .

, fr := ϕ(er ) и продолжим данную систему до базиса{f1 , . . . , fm } в U . Теперь легко проверяется, что в паре базисов {e1 , . . . , en } в V и {f1 , . . . , fm } вU матрица линейного отображения ϕ имеет требуемый вид.2-й способ. Напомним, что любая невырожденная матрица является произведением элементарных, и обратно, произведение конечного числа элементарных матриц невырождено. ФормулаA0 = D−1 AC показывает, что замена базиса в V отвечает композиции элементарных преобразований столбцов матрицы A, в то время как замена базиса в U отвечает композиции элементарныхпреобразований строк матрицы A. С помощью элементарных преобразований строк и столбцовлюбую прямоугольную матрицу ранга r можно привести к виду из условия Предложения.Таким образом, для матриц размера m × n получается min(m, n) + 1 классов указанной эквивалентности, что отвечает возможным значениям ранга таких матриц.Задача 5.72.

Докажите, что1) ранг матрицы сюръективного линейного отображения равен числу ее строк;2) ранг матрицы инъективного линейного отображения равен числу ее столбцов.Решение. Пусть A — матрица ϕ : V → U, dim V = n, dim U = m. Тогда размер A равен m × n.Сюръективность ϕ равносильна тому, что Im ϕ = U , откуда dim Im ϕ = m, а по Предложению5.67 dim Im = rk A, откуда следует пункт 1).Инъективность ϕ равносильна тому, что ker ϕ = 0, что в свою очередь равносильно тому, чтоСЛОУ Ax = 0 имеет только тривиальное решение, что равносильно тому, что столбцы матрицыA линейно независимы, то есть rk A равен их числу, то есть n.15Это позволяет определить понятие ранга линейного отображения как ранга любой его матрицы. В силу доказанного выше это — просто другое название для размерности его образа.85В оставшейся части этого параграфа применим полученные результаты о линейных отображениях к системам линейных уравнений.Пусть ϕ : V → U — линейное отображение.

Выбирая базисы {e1 , . . . , en } в V и {f1 , . . . , fm }в U мы отождествляем V и U с пространствами столбцов Kn и Km соответственно, при этомприменение линейного отображения ϕ к вектору v ∈ V сводится к умножению координатногостолбца ξ этого вектора (в базисе {e1 , . . . , en }) на матрицу A отображения ϕ относительно указанных базисов (см. Предложение 5.65). Теперь легко видеть, что ядро отображения ϕ — то естьподпространство векторов v ∈ V таких, что ϕ(v) = 0 — то же, что подпространство столбцовx ∈ Kn таких, что Ax = 0, то есть пространство решений СЛОУ с матрицей коэффициентов A.

Вто же время образ ϕ — подпространство таких столбцов b ∈ Km , для которых система Ax = b разрешима. Кроме того, любая СЛОУ получается из некоторого линейного отображения переходомк координатам.Заметим, что Теорема 5.49 теперь дает еще одно, независимое доказательство Теоремы 4.37о размерности пространства решений СЛОУ. Действительно, число неизвестных n = dim V , r =rk A = dim Im ϕ, а размерность пространства решений dim Ker ϕ по Теореме 5.49 равна n − r.Также легко видеть, что пункт 2) Теоремы 4.36 следует из Задачи 5.48 (в то время как пункт1) следует из того, что ядро линейного отображения — подпространство).Задача 5.73.

Докажите, используя линейные отображения и их матрицы, следующее утверждение. Для данной матрицы A системы линейных уравнений Ax = b совместны при любомстолбце b тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен числу ее строк.Решение. Любая матрица A размера m×n является матрицей некоторого линейного отображенияϕ : V → U , где dim V = n, dim U = m, относительно выбранных базисов. Напомним, что rk A =dim Im ϕ.

Условие совместности систем Ax = b при любом столбце b равносильно сюръективностиϕ, что, в свою очередь, равносильно Im ϕ = U, то есть rk ϕ = dim U = m.5.5Операции с линейными отображениямиКак мы увидим, на линейных отображениях определены по-существу те же самые операции ис аналогичными свойствами, что и с матрицами, но так как операции на отображениях болеефундаментальны, мы их определим независимо.Пусть ϕ, ψ : V → U — пара линейных отображений между одними и теми же пространствами.Тогда можно определить их сумму как такое отображение ϕ + ψ : V → U , что (ϕ + ψ)(v) =ϕ(v) + ψ(v) ∀ v ∈ V .

Читателю предлагается провести несложную проверку линейности ϕ + ψ,а также следующего утверждения: если A и B — матрицы ϕ и ψ соответственно относительнобазисов {e1 , . . . , en } в V и {f1 , . . . , fm } в U , то матрица ϕ + ψ относительно той же пары базисовравна A + B.Кроме того, линейные отображения можно умножать на скаляры: (λϕ)(v) = λϕ(v) ∀ v ∈ V ,эта операция отвечает умножению матрицы на тот же скаляр.Далее непосредственно проверяется, что множество L(V, U ) (см. абзац перед Предложением 5.62) всех линейных отображений ϕ : V → U относительно определенных операций сложения и умножения на скаляры является векторным пространством.

Более того, установленная в86Предложении 5.62 биекция µ : L(V, U ) → Matm×n (K) является линейным отображением, то естьизоморфизмом линейных пространств.Пусть у нас есть два линейных отображения ϕ : V → U и ψ : U → W. Тогда определенаих композиция ψ ◦ ϕ : V → W , которая (как было проверено в доказательстве Предложения5.59) также является линейным отображением. Пусть {e1 , .

. . , en }, {f1 , . . . , fm }, {g1 , . . . , gk } —выбранные базисы соответственно в пространствах V, U и W , а A и B — матрицы ϕ и ψ в них.Найдем матрицу D композиции ψ ◦ ϕ относительно пары базисов {e1 , . . . , en } и {g1 , . . . , gk }.Имеем(ϕ(e1 ), . .

. , ϕ(en )) = (f1 , . . . , fm )A,то есть ϕ(ek ) = a1k f1 + . . . + amk fm при 1 ≤ k ≤ n. Из линейности ψ следует, что ψ(ϕ(ek )) =a1k ψ(f1 ) + . . . + amk ψ(fm ) при 1 ≤ k ≤ n, то есть(ψ(ϕ(e1 )), . . . , ψ(ϕ(en ))) = (ψ(f1 ), . . . , ψ(fm ))A,откуда, используя равенство(ψ(f1 ), . . . , ψ(fm )) = (g1 , . . .

, gk )B,получаем(ψ(ϕ(e1 )), . . . , ψ(ϕ(en ))) = (g1 , . . . , gk )BA,значит D = BA.Полученная формула служит основной мотивацией определения произведения матриц, данного в начале этого курса.Заметим, что эта формула верна и для матрицы композиции линейных преобразований пространства V (в этом случае все матрицы записываются в фиксированном базисе {e1 , . .

. , en }пространства V ).Задача 5.74. Из того, что композиция поворотов евклидовой плоскости на углы α и β естьповорот на угол α + β, получите “формулы сложения” для тригонометрических функций. (Указание: перемножьте матрицы поворотов на указанные углы, записанные в ортонормированномбазисе).Задача 5.75. Пусть V = U ⊕W и ϕ : V → V — проектор на подпространство U параллельно егопрямому дополнению W .

Характеристики

Список файлов лекций