Лекции Линал Ершов (1188212), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Кроме того, столбцы фундаментальной матрицы образуют базис в пространстве решений, откуда следует, что они линейнонезависимы и их n − r штук (см. Теорему 4.37), то есть rk Φ = n − r.Обратно, если Φ — матрица размера n × (n − r) такая, что AΦ = 0, то ее столбцы являютсярешениями системы Ax = 0, а если при этом ее ранг равен числу ее столбцов n − r, то они линейно независимы и, значит, образуют базис в пространстве решений системы Ax = 0, поскольку,согласно Теореме 4.37, размерность указанного пространства равна n − r.Задача 4.41.
Найдите ФСР однородной системы с матрицей коэффициентов (C Er ).Задача 4.42. Пусть A — матрица ранга r, состоящая из n столбцов. Известно, что дляматрицы B определено произведение AB = 0. Оцените сверху rk B.Решение. Столбцы матрицы B являются решениями СЛОУ Ax = 0, поэтому среди них не болееn − r линейно независимых.
Если B — ФСР указанной системы, то AB = 0 rk B = n − r, то естьоценка является точной.Задача 4.43. Зная фундаментальную матрицу Φ СЛОУ Ax = 0, найти общий вид произвольной фундаментальной матрицы той же системы уравнений.65Теорема 4.44. Пусть Φ — фундаментальная матрица СЛОУ Ax = 0. Тогда система ΦT y = 0задает линейную оболочку строк матрицы A.Доказательство. Пусть A0 — подматрица A, состоящая из какой-либо системы базисных строкA.
Используя Предложение 4.40 покажем, что A0T является фундаментальной матрицей СЛОУΦT y = 0, откуда, очевидно, и будет следовать доказываемая теорема.Из AΦ = 0, очевидно, следует A0 Φ = 0. Транспонируя последнее равенство, получаем ΦT A0T =0, то есть столбцы матрицы A0T (или, что то же самое, строки A0 ) являются решениями СЛОУΦT y = 0. С другой стороны, если у матрицы A n столбцов и ранг r, то матрица ΦT имеет nстолбцов и ранг n − r, а матрица A0T имеет размер n × r и ранг r(= n − (n − r)) и по Предложению4.40 является фундаментальной матрицей системы ΦT y = 0.Задача 4.45.
Используя предыдущую Теорему, придумайте алгоритм, как по подпространствупространства Kn , заданному как линейная оболочка некоторой конечной системы векторов,построить СЛОУ, для которой данное подпространство является пространством решений.(Отсюда легко следует, что любое подпространство в Kn является пространством решенийнекоторой СЛОУ).Наряду с теоремой Кронекера-Капелли есть еще удобный критерий разрешимости системылинейных уравнений, причем легко обобщающийся на бесконечномерный случай — теорема Фредгольма.Для СЛУ Ax = b СЛОУ AT y = 0 называется сопряженной однородной системой.
Заметим,что последняя может быть переписана в виде y T A = 0.Теорема 4.46. (Теорема Фредгольма). Система Ax = b разрешима тогда и только тогда, когдадля любого решения y0 сопряженной однородной системы AT y = 0 выполнено равенство y0T b = 0.Заметим, что условие y0T b = 0 можно интерпретировать как условие ортогональности (относительно “стандартного” скалярного произведения столбцов, а именно такого, для которогостолбцы ei образуют ортонормированный базис) столбца b произвольному столбцу, являющемуся решением сопряженной однородной системы.Доказательство.
Пусть система Ax = b разрешима и x0 — ее решение. Тогда для произвольногорешения y0 сопряженной однородной системыy0T Ax0 = (y0T A)x0 = 0x0 = 0,с другой стороны,y0T Ax0 = y0T (Ax0 ) = y0T b,откуда y0T b = 0.Предположим теперь, что система Ax = b несовместна. Это равносильно тому, что в упрощенном виде ее расширенной матрицы (A | b) есть строка (0 . .
. 01) (последняя ненулевая строкасверху). Так как упрощенный вид получается из исходной матрицы элементарными преобразованиями строк, строка (0 . . . 01) является линейной комбинацией строк матрицы (A | b). То есть66существует такой столбец y0 , что y0T (A | b) = (0 . . . 01). Последнее равенство равносильно системе y0T A = 0, y0T b = 1. То есть предположив несовместность системы Ax = b, мы нашли такоерешение y0 сопряженной однородной системы, что y0T b 6= 0.Задача 4.47. Системы вида Ax = b над полем R совместны для любого столбца правых частей b тогда и только тогда, когда строки матрицы A линейно независимы. Докажите это,используя a) теорему Кронекера-Капелли, b) теорему Фредгольма.4.4Координаты вектора в базисеПусть в n-мерном пространстве V над полем K зафиксирован базис {e1 , . .
. , en }. Тогда любойвектор v ∈ V единственным образом по нему раскладывается:v = v1 e1 + v2 e2 + . . . + vn en .(20)Согласно Лемме 4.3 из линейной независимости базисных векторов следует, что набор скаляров(v1 , v2 , . . . , vn ) ∈ Kn определен однозначно, и vi называется i-й координатой вектора v в базисе {e1 , . . . , en }. Согласно стандартному соглашению, набор (v1 , v2 , . . . , vn ) записывается в видестолбца и называется столбцом координат вектора v в базисе {e1 , . . . , en }. Равенство (20) частозаписывают в “матричной форме”v = (e1 , e2 , . .
. , en )(v1 , v2 , . . . , vn )T(21)(произведение строки из базисных векторов на столбец координат).Предложение 4.48. Сопоставление каждому вектору n-мерного линейного пространства Vего координатного столбца в фиксированном базисе e := {e1 , . . . , en } задает биекциюϕe : V → Kn ,ϕe (v) = (v1 , . . . , vn )Tпространства V с пространством столбцов Kn высоты n. Кроме того, данная биекция сохраняет операции: ϕe (u + v) = ϕe (u) + ϕe (v) (координатный столбец суммы векторов равен суммекоординатных столбцов слагаемых) и ϕe (λv) = λϕe (v) (координатный столбец произведениявектора на скаляр равен произведению координатного столбца вектора на тот же скаляр).Доказательство.
Как уже отмечалось, тот факт, что ϕe корректно определено, следует из существования и единственности разложения вектора по базису. Если двум векторам отвечает один итот же столбец, то они совпадают, поскольку имеют одинаковые разложения по выбранному базису. Значит, ϕe инъективно. Произвольный столбец (v1 , . . . , vn )T является координатным столбцомвектора v = v1 e1 + . . . + vn en , который существует в силу аксиом векторного пространства.Вторая часть предложения следует из свойств операций над векторами, вытекающих из акPPPсиом линейного пространства: если u =ui ei , v =vi ei , то u + v =(ui + vi )ei , λv =P(λvi )ei .Следствие 4.49. При любом выборе базиса в пространстве V линейные зависимости междувекторами V — то же, что линейные зависимости между их координатными столбцами.67Доказательство. Заметим, что при биекции ϕe нулевой вектор пространства V соответствуетPнулевому столбцу в Kn .
Пусть i λi vi = 0 — линейная зависимость. Тогда!XXTλi ϕe (vi ).(0, . . . , 0) = ϕe (0) = ϕeλi vi =iiОбратно, еслиPi λi ϕe (vi )= (0, . . . 0)T — линейная зависимость между столбцами, то!XXT(0, . . . 0) =λi ϕe (vi ) = ϕeλ i vi ,iа значит в силу замечания вышеPi λ i vii= 0.В частности, ранг системы векторов равен рангу их координатных столбцов в произвольномбазисе, координатные столбцы максимальной линейно независимой подсистемы системы векторовобразуют максимальную линейно независимую подсистему их системы столбцов и т.д.Зафиксировав базис и заменяя векторы их координатными столбцами мы сводим геометриюлинейного пространства к алгебре столбцов, что полезно для конкретных вычислений.
Можетпоказаться, что про геометрию после этого можно забыть, но это далеко не так. Как правило,смысл теорем и их доказательства намного прозрачнее, если их излагать на геометрическомязыке.Заметим, что построенная выше биекция зависит от базиса — каждому базису e в V отвечаетсвоя биекция ϕe : V → Kn .
(Вообще, до тех пор, пока мы не зафиксировали какой-то базис,все базисы в пространстве V равноправны). Пространство Kn с этой точки зрения не просто nмерное пространство над полем K, а n-мерное пространство с выбранным “стандартным” базисомиз столбцов ei = (0, . .
. , 1, . . . 0)T (1 на i-м месте), в который переходит при биекции выбранныйбазис в V .Вообще говоря, в линейном пространстве много базисов, все что мы пока знаем — что онисодержат одинаковое число векторов. Сейчас мы построим биекцию между множеством базисов в n-мерном пространстве над полем K и множеством невырожденных матриц порядка n сэлементами из K.Пусть в n-мерном пространстве V выбран базис {e1 , . .
. , en } и система векторов {e01 , . . . , e0n }.Запишем разложения векторов системы по базису:e01 = c11 e1 + c21 e2 + . . . + cn1 ene02 = c12 e1 + c22 e2 + . . . + cn2 en...............................e0n = c1n e1 + c2n e2 + . . . + cnn enи составим матрицу C = (cij ). Подчеркнем, что матрица C получается выписыванием координатвекторов системы относительно базиса в столбцы.
Приведенное определение равносильно тому,что C удовлетворяет равенству(e01 , e02 , . . . , e0n ) = (e1 , e2 , . . . , en )C(22)(единственность матрицы C, удовлетворяющей приведенному равенству, следует из линейнойнезависимости системы {e1 , . . . , en }).68Предложение 4.50. Пусть {e1 , . . . , en } — базис в V . Система векторов {e01 , .
. . , e0n }, задаваемая(22), линейно независима (является базисом в V ) тогда и только тогда, когда матрица Cневырождена.Доказательство. Если матрица C вырождена, то существует такой столбец x0 6= 0 высоты n,что Cx0 = 0. Тогда, умножая обе части (22) справа на x0 , получаем нетривиальную линейнуюзависимость между векторами e01 , . . . , e0n .Наоборот, если система {e01 , . . . , e0n } линейно зависима, то существует ненулевой столбец x0высоты n такой, что (e01 , e02 , . .
. , e0n )x0 = 0. Тогда из (22) и линейной независимости системы{e1 , . . . , en } получаем, что Cx0 = 0, то есть столбцы матрицы C линейно зависимы, а значит этаматрица вырождена.Определение 4.51. Матрицей перехода от базиса {e1 , . . . , en } к базису {e01 , . . . , e0n } называетсяматрица C, определенная равенством (22).Зафиксируем некоторый базис {e1 , . . . , en } пространства V . Из предыдущего Предложенияследует, что сопоставляя базису {e01 , . . . , e0n } матрицу перехода к нему от фиксированного базисамы получаем биекцию между множеством базисов в n-мерном пространстве V и множествомневырожденных матриц порядка n над данным полем (над которым определено векторное пространство V ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
