Лекции Линал Ершов (1188212), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Собирая все вместе, с учетом того, что fD,C (E) = gD (C) и gD (E) = 1,получаем требуемое.Пусть A — произвольная (не обязательно квадратная) матрица. Всякая матрица, составленнаяиз элементов матрицы A, находящихся на пересечении каких-то выбранных строк и каких-товыбранных столбцов, называется подматрицей матрицы A. Подчеркнем, что выбираемые строкии столбцы не обязаны идти подряд.Определитель квадратной подматрицы порядка k называется минором порядка k матрицыA. Иногда, допуская вольность речи, саму квадратную подматрицу также называют минором.В частности, если A — квадратная матрица порядка n, то минор порядка n − 1, получаемыйвычеркиванием i-й строки и j-го столбца, называется дополнительным минором элемента aij иобозначается через Mij .

ЧислоAij := (−1)i+j Mijназывается алгебраическим дополнением элемента aij . Смысл алгебраического дополнения ясениз следующей леммы.Лемма 3.35. a11 . . . a1j . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 . . . aij . . . 0 = aij Aij .. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 . . . anj . . . ann (В левой части стоит определитель матрицы, полученной из матрицы A = (aij ) заменой нулямивсех элементов i-й строки, кроме aij .)Доказательство. Поменяем местами i-ю строку со всеми предыдущими строками и j-й столбецсо всеми предыдущими столбцами. При этом мы будем i − 1 раз менять местами строки и j − 1раз столбцы, так что определитель умножится на (−1)i−1+j−1 = (−1)i+j . В результате получитсяопределитель видаa0 . . . 0 ij a1j a11 .

. . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,anj an1 . . . ann где в правом нижнем углу стоит дополнительный минор элемента aij . По теореме об определителематрицы с углом нулей этот определитель равен aij Mij . С учетом предыдущего знака отсюда иполучается доказываемое равенство.Теорема 3.36.

Для любой квадратной матрицы Adet A =Xaij Aij =jXi49aij Aij .Первая из этих формул называется формулой разложения определителя по i-й стоке, вторая— формулой разложения определителя по j-му столбцу.Доказательство. Представим i-ю строку (ai1 , ai2 , . . . , ain ) матрицы A в виде суммы строк(ai1 , 0, 0, .

. . , 0, 0) + (0, ai2 , 0, . . . , 0, 0) + . . . + (0, 0, 0, . . . , 0, ain )и воспользуемся линейностью определителя по строкам и предыдущей Леммой. Аналогично длястолбца.Теорема 3.37. Для любых квадратных матриц A и B одного порядка det (AB) = det A · det B.Доказательство. При фиксированной матрице B ∈ Matn (K) определим функциюfB : Matn (K) → K,fB (A) = det (AB).Мы утверждаем, что она полилинейна и кососимметрична как функция строк матрицы A ∈Matn (K). Для этого заметим, что строки c1 , . . .

, cn матрицы C := AB получаются из строкa1 , . . . , an матрицы A умножением на B:ci = ai B(i = 1, . . . , n).Пусть например a1 = a01 + a001 , где a01 , a001 — какие-то строки; тогда, рассматривая матрицу A каксовокупность ее строк, имеемdet (AB) = fB (A) = fB (a01 + a001 , a2 , . . .

, an ) = det ((a01 + a001 )B, a2 B, . . . , an B) == det (a01 B + a001 B, a2 B, . . . , an B) = det (a01 B, a2 B, . . . , an B) + det (a001 B, a2 B, . . . , an B) == fB (a01 , a2 , . . . , an ) + fB (a001 , a2 , . . . , an ).Остальные свойства проверяются аналогично. Тогда fB (A) = det A · fB (E), что равносильнотребуемому. .Дадим также другое доказательство предыдущей Теоремы, использующее свойства элементарных матриц.

Во-первых, предположим что матрица A вырождена. Последнее равносильносуществованию ненулевой строки c такой, что cA = 0. Тогда и 0 = (cA)B = c(AB), значит, произведение AB тоже вырождено. Так как определитель вырожденной матрицы равен нулю, тоТеорема в этом случае верна.Пусть теперь A невырождена. Тогда она представляется в виде произведения элементарныхматриц. Теперь требуемое легко вывести из Предложения 3.27.Задача 3.38. Докажите, что следующие условия равносильны:1) det A = 1;2) матрицу A можно привести к единичной матрице используя только преобразования типаI;3) матрица A является произведением элементарных матриц типа I.503.3Некоторые приложения определителейРассмотрим квадратную систему линейных уравненийa11 x1 + a12 x2 + .

. . + a1n xn = b1 a x + a x + ... + a x21 122 22n n = b2 .................................... a x + a x + ... + a x = b .n1 1n2 2nn nn(15)Обозначим через A ее матрицу коэффициентов и через Ai (i = 1, 2, . . . , n) матрицу, полученнуюиз A заменой ее i-го столбца столбцом свободных членов.Теорема 3.39. Если det A 6= 0, то система (15) имеет единственное решение (α1 , α2 , . . . , αn ),которое может быть найдено по формуламαi =det Aidet A(i = 1, 2, .

. . , n).(16)Эти формулы называются формулами Крамера.Доказательство. Будем производить элементарные преобразования строк расширенной матрицысистемы (15) с целью привести ее матрицу коэффициентов к единичной матрице (это возможно, поскольку по условию A невырождена). При этом система будет заменяться эквивалентной.Кроме того, правая часть (16) также не меняется при элементарных преобразованиях (при элементарных преобразованиях типа I числитель и знаменатель не меняются, при преобразованияхтипа II числитель и знаменатель меняют знак, при преобразованиях типа III умножаются на однои то же ненулевое число).Таким образом, формулы Крамера достаточно проверить для системы с единичной матрицейкоэффициентов, то есть видаx1= b1x2= b2 ......................xn = bn .Она, очевидно, имеет единственное решение αi = bi (i = 1, .

. . , n). С1 0 . . . 0 b1 00 1 . . . 0 b2 0det A = det E = 1,det Ai = . ... .. .. .. ... . .0 0 . . . 0 bn 0другой стороны,. . . 0. . . 0.. = bi ,.. . . 1так что формулы Крамера в этом случае действительно верны.Применим теперь формулы Крамера для явного нахождения обратной матрицы.Теорема 3.40. Пусть A = (aij ) — невырожденная матрица. ТогдаA11 A21 .

. . An1A12 A22 . . . An2 1 −1A =det A ....................A1n A2n . . . Ann51(напомним, что Aij обозначает алгебраическое дополнение элемента aij ).Доказательство. Матрица A−1 является решением матричного уравнения AX = E. Это уравнение распадается на n уравнений относительно столбцов X1 , X2 , . . . , Xn матрицы X:AXj = Ej ,(17)где Ej — j-й столбец матрицы E.В координатной записи уравнение (17) представляет собой систему n линейных уравненийотносительно элементов x1j , x2j , .

. . , xnj столбца Xj . Матрицей коэффициентов этой системы служит матрица A, а столбцом свободных членов — столбец Ej . По формулам Крамера i-я компонента решения равна a11 . . . 0 . . . a1n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .det Ai1 = Ajixij ==a...1...aj1jn det Adet Adet A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 .

. . 0 . . . ann (в определителе 1 стоит в i-м столбце), что и требовалось доказать44.1.Начала линейной алгебрыБазисы и размерность конечномерных линейных пространствЛемма 4.1. Система векторов {v1 , . . . , vm } линейного пространства V линейно зависима тогдаи только тогда, когда (хотя бы) один из ее векторов представляется в виде линейной комбинацииостальных.Доказательство. Пусть система линейно зависима и λ1 v1 + . . .

+ λm vm = 0 — равная нулю еенетривиальная линейная комбинация. Пусть λk 6= 0, тогдаvk = −λ−1k (λ1 v1 + . . . + λk−1 vk−1 + λk+1 vk+1 + . . . + λm vm ).Обратно, если vk = λ1 v1 + . . . + λk−1 vk−1 + λk+1 vk+1 + . . . + λm vm , то собирая все в одной части,получаем равную нулю нетривиальную линейную комбинацию векторов {v1 , . . . , vm }.Заметим, что в предыдущей лемме не утверждается, что из линейной зависимости системыследует, что любой ее вектор представляется как линейная комбинация остальных (читателюпредлагается привести контрпример).Лемма 4.2. Пусть система векторов {v1 , .

. . , vm } линейного пространства V линейно независима.PТогда для u ∈ V существует представление u = mi=1 λi vi тогда и только тогда, когда система{v1 , . . . , vm , u} линейно зависима.Доказательство. Доказательство в одну сторону следует из предыдущей леммы.52Обратно, предположим что {v1 , . . . , vm , u} линейно зависима и λ1 c1 + . . . + λm vm + µu = 0— нетривиальная линейная зависимость.

Тогда µ 6= 0, иначе мы получили бы нетривиальнуюлинейную зависимость между векторами системы {v1 , . . . , vm }, что противоречит условию. Такимобразом, u = −µ−1 (λ1 v1 + . . . + λm vm ).PmЛемма 4.3. Пусть u =i=1 λi vi ; тогда такое разложение единственно тогда и только тогда,когда система {v1 , . . . , vm } линейно независима.PmДоказательство. Если система {v1 , . . .

, vm } линейно зависима и 0 =i=1 µi vi — нетривиальное разложение по ней нулевого вектора, то прибавляя его к данному разложению вектора u,получаем новое разложение вектора u.Обратно, если существует два разных разложения вектора u по системе {v1 , . . . , vm }, то, вычитая одно из другого, получаем нетривиальное разложение нулевого вектора по указанной системе,то есть нетривиальную линейную зависимость.Предложение 4.4. (Основная лемма о линейной зависимости). Если векторы u1 , . .

. , un линейного пространства V линейно выражаются через векторы v1 , . . . , vm того же пространства,причем n > m, то (какова бы ни была система {v1 , . . . , vm }) система векторов {u1 , . . . , un }линейно зависима.Доказательство. По условию имеемu1 = a11 v1 + a21 v2 + . . . + am1 vm ,u2 = a12 v1 + a22 v2 + . . . + am2 vm ,..................................un = a1n v1 + a2n v2 + . . . + amn vm .Подставляя эти выражения в условие линейной зависимостиλ1 u1 + λ2 u2 + . . . + λn un = 0,(18)получимλ1 (a11 v1 + a21 v2 + . .

. + am1 vm ) + λ2 (a12 v1 + a22 v2 + . . . + am2 vm ) + . . .+λn (a1n v1 + a2n v2 + . . . + amn vm ) = 0,то есть(a11 λ1 + a12 λ2 + . . . + a1n λn )v1 + (a21 λ1 + a22 λ2 + . . . + a2n λn )v2 + . . .+(am1 λ1 + am2 λ2 + . . . + amn λn )vm = 0.Данное соотношение удовлетворяется при любом решении (λ1 , λ2 , .

. . , λn ) системы линейных однородных уравненийa11 λ1 + a12 λ2 + . . . + a1n λn = 0 a λ + a λ + ... + a λ= 021 122 22n n..................................... a λ + a λ + . . . + a λ = 0.m1 1m2 2mn nСогласно Следствию 2.49, последняя система имеет нетривиальное решение, которое дает нетривиальную линейную зависимость (18).53Замечание 4.5.

Характеристики

Список файлов лекций