Лекции Линал Ершов (1188212), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. , xn ) = 1≤j<i≤n (xi −xj ) (определитель Вандермонда). Тогда ∆n (xk1 , xk2 , . . . , xkn ) =sgn (k1 , k2 , . . . , kn ) ∆n (x1 , x2 , . . . , xn ) (ср. Задачу 3.8).Определение 3.13. Перестановки σ ∈ Sn такие, что sgn σ = 1, называются четными, а остальные — нечетными (для них sgn σ = −1).Таким образом, перестановка является четной, если число инверсий в ней четно и нечетной впротивном случае. Например,sgn(n, n − 1, n − 2, . . .
, 2, 1) = (−1)n(n−1)2,(12)таким образом, данная перестановка четная при n ≡ 0, 1(mod 4) и нечетная при n ≡ 2, 3(mod 4).Следствие 3.14. При n > 1 количество четных перестановок из n элементов равно количествунечетных.Доказательство. Выпишем в первый столбец все четные, а во второй — все нечетные перестановки из n элементов. Тогда, согласно Предложению 3.11, при транспозиции первого и второгоэлемента первый столбец биективно отображается на второй, и наоборот.Задача 3.15. Докажите, что четность числа транспозиций, в виде произведения (композиции) которых можно представить данную перестановку, зависит только от самой перестановки.Теорема 3.16.
Существует единственная функция f , удовлетворяющая Определению 3.5 ориентированного n-мерного объема.Набросок доказательства. Если функция f линейна по каждому из своих n аргументов и{e1 , e2 , . . . , en } — некоторый базис в пространстве V , то для произвольной системы из n векторов{v1 , v2 , .
. . , vn } в V имеем13nXf (v1 , v2 , . . . , vn ) =v1i1 v2i2 . . . vnin f (ei1 , ei2 , . . . , ein )i1 ,i2 ,...,in =1(сумма справа содержит nn слагаемых). Если f к тому же кососимметрична, тоf (ei1 , ei2 , . . . , ein ) = 0 всякий раз, когда среди индексов i1 , i2 , . . . , in есть совпадающие. Если жеиндексы i1 , i2 , . . . , in образуют перестановку чисел 1, 2, . . .
, n, тоf (ei1 , ei2 , . . . , ein ) = sgn(i1 , i2 , . . . , in ) f (e1 , e2 , . . . , en )(см. Задачу 3.8).Таким образом,f (v1 , v2 , . . . , vn ) =Xv1i1 v2i2 . . . vnin sgn(i1 , i2 , . . . , in ) f (e1 , e2 , . . . , en )(13)(i1 ,i2 ,...,in )∈Sn13Ниже мы обозначаем набор координат вектора vk ∈ V в базисе {e1 , e2 , . . . , en } через (vk1 , vk2 , . .
. , vkn ), то естьпервый индекс — номер вектора, второй — номер координаты.41(правая часть содержит n! слагаемых).В частности, полилинейная кососимметричная f однозначно в данном базисе определяетсяодним числом f (e1 , e2 , . . . , en ).С другой стороны, функция f , заданная формулой (13), полилинейна и кососимметрична. Всамом деле, полилинейность следует из того, что каждое слагаемое в правой части (13) содержитровно по одной координате каждого вектора vk , 1 ≤ k ≤ n (в первой степени).Проверим кососимметричность правой части (13) по векторам v1 , .
. . , vn . Переставим, например, местами v1 и v2 (чтобы упростить вид формул, мы полагаем f (e1 , e2 , . . . , en ) = 1):Xf (v2 , v1 , . . . , vn ) =sgn(i1 , i2 , . . . , in ) v2i1 v1i2 . . . vnin =(i1 ,i2 ,...,in )∈SnX=sgn(i1 , i2 , . . . , in ) v1i2 v2i1 . . . vnin =(i1 ,i2 ,...,in )∈Sn=−Xsgn(i2 , i1 , .
. . , in ) v1i2 v2i1 . . . vnin = −f (v1 , v2 , . . . , vn ),(i2 ,i1 ,...,in )∈Snпоскольку при любой транспозиции знак перестановки меняется.КоэффициентXsgn(i1 , i2 , . . . , in ) v1i1 v2i2 . . . vnin(i1 ,i2 ,...,in )∈Snперед f (e1 , e2 , . . . , en ) в формуле (13) называется определителем матрицы v11 v12 . .
. v1n v21 v22 . . . v2n ..... ... .. ... vn1 vn2 . . . vnn Свойства 1) и 2) предыдущего определения означают, что он линеен и кососимметричен по строкам. Матрица, составленная из координатных строк базисных векторов, является единичной,откуда видно, что свойство 3) означает, что на единичной матрице порядка n определитель принимает значение 1.3.2Основные теоремы об определителяхВ предыдущем параграфе мы показали, что если зафиксировать правый ортонормированныйбазис в пространстве (на плоскости), то ориентированный объем параллелепипеда (ориентированная площадь параллелограмма), построенного на упорядоченной тройке (упорядоченной паре) векторов равна определителю матрицы, составленной из координатных строк этих векторов,записанных в данном порядке.Поэтому свойства определителей (по крайней мере порядков 2 и 3) вполне аналогичны свойствам ориентированных площадей или объемов. А именно, смешанное произведение линейно покаждому аргументу, меняет знак при перестановке любых двух аргументов и смешанное произведение базисных векторов правого ортонормированного базиса равно 1.
Это дает соответственно42свойства линейности определителя матрицы по строкам, кососимметричности определителя построкам (при перестановке любых двух строк определитель меняет знак) и условие нормировки: определитель единичной матрицы равен единице. Те же свойства определитель имеет и постолбцам.С точки зрения алгебры значение определителей, в частности, в том, что они дают удобный критерий невырожденности матрицы, с помощью них можно получить явные формулы дляобратной матрицы и т.д.Хотя понятие определителя n-го порядка можно определить над любым полем, мы в этомпараграфе будем считать, что K — произвольное поле, содержащее поле рациональных чисел Q(в частности, подходят K = R или C).Пусть V — векторное пространство над полем K.Определение 3.17.
Функция f : V → K называется линейной, если∀ u, v ∈ Vf (u + v) = f (u) + f (v)и∀ v ∈ V, λ ∈ K f (λv) = λf (v).Если f линейна, то для любой конечной линейной комбинацииV имеемXXf(λi vi ) =λi f (vi ).iPi λ i viвекторов пространстваiПусть теперь f : V × V × . . . × V → K (m сомножителей слева) — K-значная функция от mаргументов (упорядоченных наборов из m векторов пространства V ).Определение 3.18.
Функция f : V × V × . . . × V → K называется полилинейной (точнее, mлинейной), если она линейна по каждому из m аргументов при фиксированных остальных.Например, линейность по первому аргументу означает, чтоf (v10 + v100 , v2 , . . . , vm ) = f (v10 , v2 , . . . , vm ) + f (v100 , v2 , . . . , vm ) ∀ v10 , v100 , v2 , . . . , vm ∈ Vиf (λv1 , v2 , .
. . , vm ) = λf (v1 , v2 , . . . , vm ) ∀v1 , v2 , . . . , vm ∈ V и λ ∈ K.Определение 3.19. Полилинейная функция называется кососимметрической, если при перестановке любых двух аргументов ее значение меняет знак.Из определения легко следует, что если f кососимметрическая и в наборе (v1 , . . . , vm ) длянекоторой пары i 6= j vi = vj , то f (v1 , . . . , vm ) = 0.Вернемся к полилинейным функциям.
В качестве векторного пространства V возьмем пространство Kn строк длины n с элементами из K. Заметим, что множество матриц Matn (K) можноотождествить с множеством V × . . . × V наборов из n строк длины n (при этом отождествленииматрице сопоставляется набор ее строк).43Определение 3.20. Определителем порядка n называется полилинейная кососимметричнаяфункция f : Matn (K) → K строк матриц, принимающая на единичной матрице E ∈ Matn (K)значение 1.Определитель матрицы A ∈ Matn (K) обозначается det (A) или просто |A|.Следующая теорема играет ключевую роль в нашем подходе к теории определителей.Теорема 3.21. Определитель n-го порядка существует и единственен.
Более того, для любойполилинейной кососимметричной функции строк матриц f : Matn (K) → K верно равенствоf (A) = det (A)f (E).Последнее равенство означает, что любая полилинейная кососимметричная функция строкматриц порядка n пропорциональна определителю с коэффициентом, равным ее значению наединичной матрице.Читателю рекомендуется связать приведенное ниже доказательство с доказательствами Теорем 3.2, 3.4 и 3.9 (поскольку первые две из них — частные случаи, а третья — по-существу,эквивалентна доказываемой теореме).Доказательство. Докажем сначала единственность определителя.
Итак, пусть f — полилинейная кососимметричная функция строк матриц порядка n. Для матрицы A ∈ Matn (K) пустьa1 , . . . , an обозначают ее строки. То есть ai = (ai1 , ai2 , . . . , ain ), i = 1, . . . , n. Введем единичныестроки ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) (1 стоит на i-м месте) длины n, i = 1, . . . , n. Они образуют базис в пространстве строк длины n. В частности, i-я строка матрицы A по ним раскладывается(единственным образом) какnXai =aik ek .k=1В силу полилинейности f имеемf (A) = f (a1 , . . . , an ) =Xa1k1 a2k2 . .
. ankn f (ek1 , ek2 , . . . , ekn )k1 ,k2 ,...,kn(справа стоит сумма nn слагаемых, так как kj независимо пробегают натуральные числа от 1до n). В частности, полилинейная функция однозначно задается своими значениями на наборахвекторов из некоторого базиса.Теперь воспользуемся кососимметричностью f .
Очевидно, чтоf (ek1 , ek2 , . . . , ekn ) = 0 если ki = kj для некоторой пары i 6= j,иначеf (ek1 , ek2 , . . . , ekn ) = sgn(k1 , . . . , kn )f (e1 , . . . , en ).Для доказательства последнего равенства во-первых заметим, что при любой транспозиции леваяи правая части меняют знак; во-вторых, любая перестановка приводится к тривиальной с помощью последовательности транспозиций, и в-третьих, оно верно для тривиальной перестановки.В итоге, для произвольной полилинейной кососимметрической функции строк матрицы мыполучаем формулуf (A) = f (a1 , . .
. , an ) =44=Xsgn(k1 , k2 , . . . , kn ) a1k1 a2k2 . . . ankn f (e1 , e2 , . . . , en )(k1 ,k2 ,...,kn )∈Sn(в правой части последней формулы n! слагаемых). Поскольку f (E) = f (e1 , . . . , en ), определительматрицы A, если он существует, через ее матричные элементы выражается следующим образом:Xsgn(k1 , k2 , . . . , kn ) a1k1 a2k2 . . . ankn(14)det (A) =(k1 ,k2 ,...,kn )∈Sn(ср. (13)).Таким образом, нам осталось доказать, что формула (14) определяет полилинейную кососимметричную функцию (поскольку любая функция, пропорциональная полилинейной кососимметрической, также является таковой).Для этого посмотрим внимательно на правую часть (14).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
