Лекции Линал Ершов (1188212), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Вместо ссылки на Следствие 2.49 в конце предыдущего доказательства можнобыло бы заметить, что утверждение о том, что однородная система, число неизвестных у которойбольше числа уравнений, имеет нетривиальное решение, легко следует из результатов раздела 2.3.Действительно, любой столбец упрощенной матрицы является линейной комбинацией ее главныхстолбцов, но в упрощенном виде матрицы A размера m × n, где m < n, есть неглавные столбцы,поэтому между столбцами такой матрицы A есть нетривиальная линейная зависимость.Пусть V — векторное пространство, а S ⊂ V — его произвольное подмножество (не обязательно конечное).Определение 4.6. Линейной оболочкой подмножества S ⊂ V называется множество всех векторов из V , представимых в виде (конечных!) линейных комбинаций элементов из S.
Линейнаяоболочка обозначается hSi.PТаким образом, hSi состоит из всех векторов из V , представимых в виде s λs s, s ∈ S, λs ∈ K,где λs 6= 0 только для конечного числа s ∈ S. По определению линейная комбинация пустогомножества векторов равна нулевому вектору.Легко видеть, что для произвольного подмножества S ⊂ V его линейная оболочка не простоподмножество в V , а линейное подпространство. Действительно, во-первых, это множество непусто (например, h∅i = 0 и, поскольку любое множество S содержит пустое подмножество, любаялинейная оболочка содержит нулевой вектор). Во-вторых, сумма двух конечных линейных комбинаций векторов из S снова является конечной линейной комбинацией векторов из S; то же дляумножения на скаляр.Если S состоит из векторов некоторого базиса пространства V , то hSi = V , но также и hV i = V.Задача 4.7.
Покажите, что hSi — наименьшее по включению линейное подпространство в V ,содержащее S (то есть любое подпространство U ⊂ V , содержащее S, содержит также иhSi).Говорят, что пространство V порождается своим подмножеством S ⊂ V , если V = hSi.Определение 4.8. Пространство V называется конечномерным, если оно порождается некоторым своим конечным подмножеством.В дальнейшем мы сосредоточимся почти исключительно на изучении конечномерных векторных пространств.Заметим, что определение базиса можно переформулировать следующим образом: базис вV — линейно независимая система, порождающая V .
Напомним, что, в частности, базис нулевого векторного пространства — пустое множество векторов (которое по определению линейнонезависимо).Теорема 4.9. Из всякого конечного порождающего множества S пространства V можно выбрать базис пространства V .Доказательство. Если S линейно независимо, то S (после произвольного упорядочивания) —базис в V . Если S линейно зависимо, то по Лемме 4.1 в S найдется вектор, линейно выражающийся через остальные. Выкидывая его из S получим порождающее множество из меньшего54числа элементов.
Так как число элементов в произвольном конечном множестве неотрицательно,этот процесс должен оборваться.Следствие 4.10. Всякое конечномерное векторное пространство обладает базисом.Заметим, что если в векторном пространстве V есть базис из n элементов, то любые m > nвекторов из V линейно зависимы по Предложению 4.4.Теорема 4.11. Все базисы конечномерного линейного пространства V содержат одно и то жечисло векторов.Доказательство.
Предложение 4.4.Таким образом, нами доказана корректность следующего определения.Определение 4.12. Размерностью конечномерного векторного пространства V называется число элементов его произвольного базиса.Размерность конечномерного векторного пространства — натуральное число (включая 0).Размерность пространства V обозначается dim V.Пример 4.13.
Размерность пространства Kn столбцов высоты n (или строк длины n) равна n.Стандартный базис {e1 , . . . , en } образуют в нем столбцы ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . 0) (единица на i-мместе), i = 1, . . . , n.Задача 4.14. Докажите, что любая линейно независимая система из n векторов {v1 , . .
. , vn }в n-мерном пространстве V является базисом в V .Решение. Предположим, что какой-то вектор v ∈ V не раскладывается по системе {v1 , . . . , vn },тогда система {v1 , . . . , vn , v} линейно независима, что противоречит Предложению 4.4.Задача 4.15. Докажите, что любая система из n векторов {v1 , . . . , vn } в n-мерном пространстве V , по которой раскладывается любой вектор v ∈ V , является базисом в V .Решение.
Предположим, что система {v1 , . . . , vn } линейно зависима, тогда один из ее векторовявляется линейной комбинацией остальных, и значит его можно выбросить из системы, сохранивусловие разложимости по ней любого вектора. Если полученная система снова линейно зависима, выбрасываем из нее следующий лишний вектор и т.д. В конце концов приходим к линейнонезависимой системе, порождающей V , которая таким образом является базисом, но содержащейменее n векторов. Получили противоречие с Предложением 4.4.Пусть S ⊂ V — произвольное (конечное или бесконечное) подмножество в V , dim V = n < ∞.Тогда любое линейно независимое подмножество T в S можно дополнить до максимального линейно независимого подмножества в S. Действительно, если T не максимально среди линейнонезависимых подмножеств в S, к нему можно добавить новый элемент из S с сохранением условия линейной независимости, причем этот процесс оборвется на конечном шаге, поскольку любыеm > n векторов в V линейно зависимы (по Предложению 4.4).
Применяя приведенное рассуждение к ∅ ⊂ S получаем, что в любом подмножестве S ⊂ V содержится максимальное линейнонезависимое подмножество.55Предложение 4.16. Любое максимальное линейно независимое подмножество {e1 , . . . , ek } в Sявляется базисом в линейной оболочке hSi.Доказательство. Так как по условию {e1 , . . . , ek } — линейно независимая система векторов изhSi, достаточно показать, что она порождает указанную линейную оболочку. По определениюлинейной оболочки, любой вектор из hSi является линейной комбинацией векторов из S, поэтому достаточно проверить, что любой вектор из S является линейной комбинацией векторов из{e1 , . . .
, ek }, а это следует (с учетом максимальности) из Леммы 4.2.В частности, все максимальные линейно независимые подмножества в S состоят из одинакового количества элементов.Теорема 4.17. Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторногопространства V можно дополнить до базиса в V .Доказательство. Возьмем S = V и, применив к нему рассуждение перед Предложением 4.16,дополним указанную систему до максимальной линейно независимой системы. Согласно Предложению 4.16, она будет базисом в hV i = V.Теорема 4.18. (Свойство монотонности размерности).
Если U — линейное подпространство вV , то dim U ≤ dim V , причем если dim U = dim V , то U = V .Доказательство. Пусть {e1 , . . . , ek } — максимальное линейно независимое подмножество в U . ПоПредложению 4.16 это — базис в U . Данная система линейно независима и как система векторовиз V , поэтому по Теореме 4.17 dim V ≥ k = dim U .Если при этом U 6= V , то существует v ∈ V , который не раскладывается по линейно независимой системе {e1 , . . .
, ek }, а значит по Лемме 4.2 система векторов {e1 , . . . , ek , v} пространстваV линейно независима, откуда с учетом Теоремы 4.17 получаем, что dim V > k = dim U.4.2Ранг матрицыОпределение 4.19. Рангом системы векторов {a1 , . . . , ak } векторного пространства V называется размерность ее линейно оболочки ha1 , . . . , ak i. Рангом матрицы называется ранг системы еестрок (рассматриваемых как векторы пространства строк соответствующей длины). Ранг матрицы A обозначается rk A.Поясним вторую часть предыдущего определения. Пусть A — матрица размера m × n. Тогдаее строки являются векторами арифметического линейного пространства Kn и порождают в немподпространство некоторой размерности r ≤ min{m, n}.
Это число и называется рангом матрицыA.Заметим, что согласно Предложению 4.16 любая максимальная линейно независимая системастрок матрицы A является базисом в линейной оболочке ее строк, поэтому называется такжебазисной системой строк. В частности, любая строка матрицы A является линейной комбинациейстрок базисной системы и все такие системы состоят из одинакового числа строк. Кроме того, из56Теоремы 4.17 следует, что любую линейно независимую систему строк матрицы можно дополнитьдо базисной системы строк.Из определения размерности следует, что ранг матрицы равен мощности ее базисной системыстрок.Задача 4.20.
Докажите, что произвольную матрицу ранга 1 можно представить в виде произведения столбца на строку.Задача 4.21. Докажите, что произвольную матрицу ранга r можно представить в виде суммы r матриц ранга 1, но нельзя в виде суммы меньшего их числа.Задача 4.22. Что может произойти с рангом матрицы при добавлении к ней дополнительнойстроки? Описать все возможные варианты и при каких условиях они имеют место.Две системы {a1 , . . . , an } и {b1 , . . . , bm } векторов одного векторного пространства V назовемэквивалентными, если каждый вектор второй системы bj линейно выражается через векторыпервой системы ai , и наоборот. Очевидно, что{a1 , .
. . , an } ∼ {b1 , . . . , bm }⇔ha1 , . . . , an i = hb1 , . . . , bm i.Отсюда, в частности, следует, что ранги эквивалентных систем равны.При элементарном преобразовании (любого из трех типов) строк матрицы система ее строкзаменяется на эквивалентную. Поэтому ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях ее строк. (Другими словами, ранг — функция, постоянная на классах строчно эквивалентных матриц). С другой стороны, любую матрицу с помощью элементарных преобразованийстрок можно привести к ступенчатому виду. Поэтому для вычисления рангов матриц достаточнонаучиться считать ранги ступенчатых матриц.Предложение 4.23.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.Доказательство. Для нулевой матрицы утверждение очевидно. Покажем, что ненулевые строкиненулевой ступенчатой матрицы линейно независимы. Пусть некоторая их линейная комбинацияравна нулю (=нулевой строке). Рассматривая ведущий элемент a1j1 6= 0 первой строки получаем,что первая ненулевая строка входит в линейную комбинацию с нулевым коэффициентом (иначе влинейной комбинации элемент на j1 -м месте был бы отличен от нуля). Рассуждая дальше по индукции, получаем требуемое. Утверждение Предложения теперь следует из того, что добавлениенулевых векторов к системе не меняет ее ранга.В частности, число ненулевых строк одинаково для всех ступенчатых матриц, которые можнополучить из данной матрицы с помощью элементарных преобразований строк.Помимо приведенного выше определения ранга матрицы как размерности линейной оболочкиее строк, можно определить столбцовый ранг матрицы как размерность линейной оболочки еестолбцов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
