Лекции Линал Ершов (1188212), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Действительно,поскольку rk A = r, в матрице A есть система из r линейно независимых строк. Последние образуют подматрицу ранга r, и значит среди ее столбцов тоже найдется r линейно независимых.Квадратная подматрица в A порядка r, образованная выбранными строками и столбцами матрицы A, невырождена, и значит ее определитель — соответствующий минор матрицы A — отличенот нуля.Следующая задача усиливает предыдущую Теорему.Задача 4.32. Если в матрице A есть ненулевой минор порядка r, а все миноры порядка r + 1,получаемые приписыванием к нему одной строки и одного столбца (так называемые окаймляющие миноры), равны нулю, то rk A = r.Решение. Пусть rk A ≥ r +1.
Мы знаем, что всякую линейно независимую систему строк матрицыA можно дополнить до максимальной линейно независимой системы, которая является базисом влинейной оболочке строк матрицы A. Используя это, дополним систему r линейно независимыхстрок матрицы A, на пересечении которых стоит ненулевой минор порядка r, до линейно независимой системы из r + 1 строки. Последние образуют подматрицу в A ранга r + 1 и ее столбцы,отвечающие ненулевому минору порядка r, линейно независимы. Снова используя сформулированный результат (для столбцов), получим, что набор из данных r линейно независимых столбцовможно продолжить до аналогичного набора из r + 1 столбца.
Подводя итог, мы видим, что еслиrk A ≥ r + 1, то для данного ненулевого минора порядка r найдется ненулевой окаймляющийминор порядка r + 1.61Задача 4.33. В матрице A ранга r любой минор порядка r, образуемый пересечением r линейнонезависимых строк с r линейно независимыми столбцами, отличен от нуля.Решение. r линейно независимых строк в матрице A ранга r являются базисными, то есть каждая из остальных строк — их линейная комбинация.
Вычитая из небазисных строк линейныекомбинации базисных, которые им равны, получаем матрицу A0 , в которой все базисные строкиостались без изменения, а небазисные заменились нулевыми. Поскольку при этом используютсятолько элементарные преобразования строк (типа I), то rk A = rk A0 . Кроме того, линейные зависимости между столбцами при этом также не изменились, и значит r столбцов матрицы A0 стеми же номерами, что r линейно независимых столбцов из формулировки Теоремы, останутсялинейно независимыми.
По теореме о ранге матрицы в подматрице, образованной этими r линейно независимыми столбцами, должен быть ненулевой минор порядка r, которым может бытьтолько минор, образованный пересечением данной системы столбцов с исходной системой из rлинейно независимых строк, который совпадает с соответствующим минором матрицы A.Заметим, что в предыдущей задаче условие равенства числа строк и столбцов рангу существенно. Например, в единичной матрице порядка 2 на пересечении 1-й строки и 2-го столбцастоит нулевая подматрица.4.3Системы линейных уравнений IIIС использованием понятия ранга матрицы мы можем дать общепринятые формулировки результатов о системах линейных уравнений, доказанных в разделе 2.7.
Кроме того, мы ответим навопросы, сформулированные в конце указанного раздела.Теорема 4.34. (Теорема Кро́некера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда итолько тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы коэффициентов.Доказательство. Действительно, в обозначениях раздела 2.7 это условие r̃ = r.Заметим, что доказанная теорема очевидна и без приведения к ступенчатому виду. Действительно, условие, что ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов в точности означает, что столбец правых частей принадлежит линейной оболочке столбцов матрицыкоэффициентов, то есть является линейной комбинацией указанных столбцов, а как мы знаем,коэффициенты такой линейной комбинации образуют решение.Теорема 4.35.
Совместная система линейных уравнений является определенной тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов равен числу неизвестных.Доказательство. Действительно, в обозначениях раздела 2.7 это условие r = n (в предположенииr̃ = r).Опять же, доказанная теорема очевидна без приведения к ступенчатому виду. Действительно,ранг матрицы коэффициентов системы равен числу неизвестных в точности тогда, когда столбцыматрицы коэффициентов линейно независимы, далее можно воспользоваться Леммой 4.3.62Следующая простая и фундаментальная теорема показывает, какие подмножества в пространстве столбцов Kn могут быть множествами решений СЛУ и, в частности, СЛОУ, и играет исключительно важную роль в теории систем линейных уравнений (причем не только алгебраических,но и дифференциальных).
Читателю предлагается продумать ее геометрический смысл, используя результаты аналитической геометрии.Теорема 4.36.1) Множество решений СЛОУ Ax = 0 от n неизвестных является линейным подпространством в пространстве столбцов Kn .2) Зафиксируем некоторое решение x0 совместной СЛУ Ax = b. Тогда всякое ее решениепредставляется в виде x0 + y, где y — некоторое решение Ax = 0. И обратно, любая такаясумма — решение Ax = b.Утверждение второй части теоремы кратко формулируют так: “общее решение совместнойнеоднородной системы является суммой ее частного решения и общего решения соответствующей однородной системы”.Доказательство.
1) Нулевой столбец (нулевой вектор в Kn ) является решением СЛОУ. Далеенепосредственно проверяется, что для двух решений СЛОУ их сумма также будет ее решением,а также что вместе с каждым решением его произведение на скаляр тоже будет решением. Ясно,что все эти утверждения достаточно проверить для одного однородного уравнения a1 x1 + a2 x2 +. . . + an xn = 0.2) Пусть x1 — еще одно решение неоднородной системы. Тогда легко проверяется, что x1 − x0— решение однородной системы. Действительно, A(x1 − x0 ) = Ax1 − Ax0 = b − b = 0.
Обозначаяего y, получаем x1 = x0 + y. Наоборот, A(x0 + y) = Ax0 + Ay = b + 0 = b, то есть всякая такаясумма является решением неоднородной системы.Раз пространство U = UA решений СЛОУ Ax = 0 от n неизвестных является линейным подпространством в Kn , то 0 ≤ dim U ≤ n. Легко привести примеры систем для каждого возможного значения размерности.
От каких характеристик СЛОУ (ее матрицы коэффициентов) зависитразмерность пространства решений? Интуиция подсказывает, что каждое независимое уравнение системы уменьшает размерность пространства решений на единицу. То есть пространстворешений пустой системы от n неизвестных есть все Kn , системы, состоящей из одного ненулевогоуравнения является n − 1-мерным подпространством в Kn , из двух независимых уравнений —n − 2-мерным подпространством и т.д.
Очевидно, что формализацией понятия “система из независимых уравнений” является условие, что строки матрицы коэффициентов системы линейнонезависимы, то есть ранг указанной матрицы равен числу ее строк (=числу уравнений системы).Теорема 4.37. Размерность пространства решений СЛОУ Ax = 0 от n неизвестных равнаn − rk A.Доказательство. Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу A к упрощенномувиду, если в нем есть нулевые строки, отбросим их, и обозначим полученую матрицу A0 . Приэтом класс эквивалентности системы не изменился (то есть системы A0 x = 0 и Ax = 0 задаютодно и то же подпространство в Kn ).
Главные столбцы матрицы A0 , которые являются столбцамикоэффициентов перед главными неизвестными, образуют единичную матрицу. Например, если63главные неизвестные идут подряд (это наиболее частый случай; общий случай сводится к этомупереименованием переменных), то A0 = (Er C), где C = (cij ) — некоторая матрица размераn × (n − r).
Перенося слагаемые со свободными неизвестными в правую часть, мы получаемвыражение главных неизвестных через свободныеx1 = −c11 xr+1 − c12 xr+2 − . . . − c1n−r xn x = −c x221 r+1 − c22 xr+2 − . . . − c2n−r xn(19)........................................... x = −c xrr1 r+1 − cr2 xr+2 − . . . − crn−r xn .Последовательно присваивая одной из свободных неизвестных xr+1 , xr+2 , . . .
, xn значение 1, аостальным — 0, получаем следующий набор решенийu1 := (−c11 , −c21 , . . . , −cr1 , 1, 0, . . . , 0)T ,u2 := (−c12 , −c22 , . . . , −cr2 , 0, 1, . . . , 0)T ,..................................................un−r := (−c1 n−r , −c2 n−r , . . . , −cr n−r , 0, 0, . . . , 1)T .Полезно заметить, что указанные столбцы являются столбцами матрицы!−C, где En−r —En−rединичная матрица порядка n − r.Покажем, что полученные решения образую базис в пространстве решений, отсюда и будетследовать теорема. Действительно, выписанные столбцы линейно независимы, так как составленная из них матрица имеет единичную подматрицу порядка n − r и, значит, ее ранг не меньшеn−r. С другой стороны, каждое решение системы A0 x = 0 однозначно определяется (по формулам(19)) значениями свободных неизвестных, а для любых λ1 , λ2 , . .
. , λn−r ∈ K линейная комбинация λ1 u1 + λ2 u2 + . . . + λn−r un−r является решением системы A0 x = 0, для которого свободныенеизвестные равны xr+1 = λ1 , xr+2 = λ2 , . . . , xn = λn−r (то есть произвольному набору), такимобразом, любое решение указанной системы является линейной комбинацией u1 , u2 , . . . , un−r .Задача 4.38. Допустим, что добавление к некоторой СЛОУ еще одного уравнения (от того же множества неизвестных) не меняет множества решений. Доказать, что добавленноеуравнение является линейной комбинацией уравнений исходной системы.Решение.
Раз множество решений СЛОУ не меняется, то не изменяются линейные зависимостимежду столбцами, то есть сохраняется столбцовый ранг матрицы коэффициентов, а значит и еестрочный ранг. Другой способ: пространство решений не меняется, следовательно, не меняетсяего размерность, а значит не меняется ранг матрицы коэффициентов.Задача 4.39. Доказать, что две СЛОУ от одинакового числа неизвестных эквивалентны тогдаи только тогда, когда уравнения каждой из них являются линейными комбинациями уравненийдругой системы.Решение. В силу предыдущей задачи добавление любого из уравнений второй системы к первойсистеме не меняет ранга ее матрицы коэффициентов.64Заметим, что выбор базиса в пространстве решений не единственен (за исключением тривиальных случаев), но так как число базисных векторов пространства не зависит от выбора базиса,количество базисных решений для данной системы ни от каких выборов не зависит (а зависит,как показывает предыдущая теорема только от числа неизвестных и ранга матрицы коэффициентов).Базис в пространстве решений СЛОУ называется фундаментальной системой решений(кратко ФСР), а матрица, полученная выписыванием фундаментальных решений в столбцы —фундаментальной матрицей системы.Из предыдущего обсуждения следует, что число столбцов (а значит размер) фундаментальныхматриц для данной СЛОУ один и тот же.
Сформулируем и докажем критерий того, что даннаяматрица является фундаментальной матрицей данной СЛОУ.Пусть A — матрица с n столбцами и ранга r.Предложение 4.40. Матрица Φ размера n × (n − r) является фундаментальной матрицейСЛОУ Ax = 0 тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:1) AΦ = 0;2) rk Φ = n − r.!−CНапример, матрица Φ :=— фундаментальная матрица для системы однородныхEn−rуравнений с упрощенной матрицей A := (Er C) (у которой главные неизвестныеидут!подряд).
!В!−C−C0том, что AΦ = 0 (нулевой матрице) проще всего убедиться, записав=+En−r0En−rи воспользовавшись дистрибутивностью умножения матриц относительно сложения.Доказательство. Если Φ — фундаментальная матрица системы Ax = 0, то ее столбцы являютсярешениями указанной системы, откуда следует соотношение AΦ = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
