Лекции Линал Ершов (1188212), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В частности, самому фиксированному базису {e1 , . . . , en } при этом соответствуетединичная матрица E (в частности, определенная биекция зависит от того, какой базис зафиксирован).Задача 4.52. Если C — матрица перехода от базиса {e1 , . . . , en } к базису {e01 , . . . , e0n }, то матрицей перехода “в обратном направлении” — от {e01 , . . . , e0n } к {e1 , . . . , en } — будет C −1 .Задача 4.53. Если C — матрица перехода от базиса {e1 , . . . , en } к базису {e01 , . .
. , e0n }, а D— матрица перехода от {e01 , . . . , e0n } к базису {e001 , . . . , e00n }, то CD — матрица перехода от{e1 , . . . , en } к {e001 , . . . , e00n }.Координаты ненулевого вектора v ∈ V в базисе {e1 , . . . , en } пространства V зависят от базиса.Например, любой такой вектор можно включить в базис в качестве первого вектора (см. Теорему4.17), и тогда его координаты в таком базисе будут составлять столбец (1, 0, . . . , 0)T .Решим следующую задачу: пусть вектор v имеет координатный столбец (v1 , v2 , . . . , vn )T вбазисе {e1 , .
. . , en } и пусть задан новый базис {e01 , . . . , e0n }, связанный с первым матрицей переходаC. Какие координаты вектор v будет иметь в новом базисе?Используя запись (21) и равенство (22), имеемv = (e1 , . . . , en )(v1 , . . . , vn )T = (e01 , . . . , e0n )(v10 , . . . , vn0 )T = ((e1 , . . . , en )C)(v10 , . . . , vn0 )T .Сравнивая второе выражение с последним и используя ассоциативность умножения матриц иединственность разложения вектора по базису, получаем(v1 , . . . , vn )T = C(v10 , .
. . , vn0 )Tили(v10 , . . . , vn0 )T = C −1 (v1 , . . . , vn )T .(23)Обратим внимание читателя на особенность полученной формулы: чтобы получить столбец координат вектора в новом базисе, нужно умножить столбец его координат в старом базисе на69матрицу, обратную к матрице перехода от старого базиса к новому. Заметим, что оба равенствав (23) эквивалентны в силу Задачи 4.52.55.1Линейные пространства и отображенияПодпространства и прямые суммыПусть U ⊂ V — подпространство линейного пространства V .Определение 5.1. Базис {e1 , .
. . , en } в V называется согласованным с подпространством U , еслиU = hei1 , . . . , eik i (то есть U является линейной оболочкой некоторого подмножества векторовданного базиса).Например, базис {e1 , e2 } в двумерном пространстве V согласован с нулевым подпространством, одномерными подпространствами he1 i, he2 i и самим пространством V , а, например, содномерным подпространством he1 + e2 i не согласован.Очевидно, что для всякого подпространства U ⊂ V существует согласованный с ним базис вV . Действительно, выберем произвольный базис в U и продолжим его до базиса в V .Пусть теперь в V выбраны два подпространства U ⊂ V, W ⊂ V.
Существует ли базис в V ,согласованный одновременно с подпространствами U и W ? Чтобы изучить этот вопрос, введемдве важные операции над подпространствами фиксированного пространства (пока для случаядвух подпространств).Для двух подпространств U, W ⊂ V определим подмножествоU + W := {u + w | u ∈ U, w ∈ W } ⊂ V(векторы из разных подпространств одного и того же пространства V можно складывать какэлементы из V ). Мгновенно проверяется, что U + W — не просто подмножество в V , а подпространство в V .Определение 5.2. Суммой подпространств U, W ⊂ V называется подпространство U + W в V .Заметим, что объединение двух подпространств U, W ⊂ V как правило не является подпространством в V (только подмножеством).Задача 5.3.
Докажите, что теоретико-множественное объединение U ∪ W двух подпространств U, W ⊂ V является подпространством в V тогда и только тогда, когда одно изних содержится в другом: U ⊂ W или W ⊂ U .Решение. Пусть U ∪ W подпространство, но U не содержится в W ; выберем u ∈ U, u ∈/ W. Тогда00∀w ∈ W u + w ∈ U (иначе u + w = w ∈ W и значит u = w − w ∈ W в противоречии с выборомu). Откуда W ⊂ U. Если же одно из подпространств содержится в другом, то их объединениесовпадает с этим подпространством.Задача 5.4. Докажите, что сумма U + W является наименьшим из подпространств в V ,содержащим и U и W .
Эквивалентно, U + W есть линейная оболочка объединения этих подпространств, то есть U + W = hU ∪ W i.70В отличии от объединения, пересечение любого (конечного или бесконечного) семейства подпространств данного пространства всегда является подпространством (докажите!).Определение 5.5. Пересечением подпространств U, W ∈ V называется подпространство, множество элементов которого является их обычным теоретико-множественным пересечением U ∩ Wкак подмножеств в V .Задача 5.6.
Докажите, чтоmax (dim U, dim V ) ≤ dim (U + V ) ≤ dim U + dim V.Вскоре мы серьезно улучшим результат предыдущей задачи.Теорема 5.7. Для любой пары подпространств U, W ∈ V существует базис в V , согласованныйс U и W.Доказательство. Выберем базис {e1 , . . . , ep } в U ∩ W . Это — линейно независимая система векторов и в U и в W . Пусть {e1 , . . . , ep , ep+1 , .
. . , ek } и {e1 , . . . , ep , ek+1 , . . . , ek+l−p } — ее дополнения добазисов в U и W соответственно (наши обозначения предполагают, что dim (U ∩ W ) = p, dim U =k, dim W = l).Мы утверждаем, что система векторов{e1 , . . . , ep , ep+1 , . . . , ek , ek+1 , . . . , ek+l−p }(24)линейно независима (и значит является базисом в U + W , поскольку она, очевидно, порождаетU + W ).
Действительно, пустьk+l−pXλi ei = 0i=1— линейная зависимость. Тогдаx :=kXi=1λi ei = −k+l−pXλi ei ∈ U ∩ W.(25)i=k+1PpПоэтому ∃µi , i = 1, . . . , p такие, что x =i=1 µi ei . Из линейной независимости системы{e1 , . . . , ep , ek+1 , . . .
, ek+l−p } (как базиса в W ) следует, что правая часть в (25) равна нулю, азначит x = 0, откуда все λi равны нулю. Таким образом, система (24) линейно независима, каки утверждалось. Теперь осталось дополнить ее до базиса в V , при этом, очевидно, получитсятребуемый базис, согласованный с подпространствами U и W.В качестве иллюстрации к доказанной теореме читателю предлагается представить два двумерных подпространства U и W в трехмерном пространстве, пересекающихся по одномерномуU ∩ W . Тогда {e1 } — базис в U ∩ W , {e1 , e2 } — в U , {e1 , e3 } — в W , а {e1 , e2 , e3 } — в U + W .Следствие 5.8.
dim (U + W ) = dim U + dim W − dim (U ∩ W ).Задача 5.9. Дайте простое доказательство Теоремы 4.30 с использованием понятия суммыподпространств.71Определение 5.10. Сумма U + W подпространств U, W ⊂ V называется прямой (обозначениеU ⊕ W ), если для любого вектора v ∈ U + W его представление v = u + w в виде суммы u ∈ U иw ∈ W единственно. Другими словами, если u + w = u0 + w0 , то u = u0 , w = w0 .Предложение 5.11. Сумма двух подпространств U + W прямая тогда и только тогда, когдаU ∩ W = 0.Доказательство. Если 0 6= z ∈ U ∩ W, то 0 = 0 + 0 = z + (−z) — два разных представлениянулевого вектора в виде суммы вектора из U и из W , значит сумма U + W не прямая.
Обратно,из u + w = u0 + w0 следует U 3 u − u0 = w0 − w ∈ W , откуда u − u0 ∈ U ∩ W и значит если u 6= u0(и тогда w 6= w0 ), то U ∩ W 6= 0.Рассмотрим подробнее случай, когда все пространство V представляется в виде прямой суммысвоих подпространств U и W . Из предыдущего следует, что V = U ⊕W ⇔ V = U +W и U ∩W = 0.Предложение 5.12. V = U ⊕ W ⇔ U ∩ W = 0 и dim V = dim U + dim W .Доказательство. Если V = U ⊕ W , то как показано выше, U ∩ W = 0. Кроме того, dim V =dim U + dim W − dim (U ∩ W ) = dim U + dim W.Обратно, dim (U + W ) = dim U + dim W − dim (U ∩ W ) = dim U + dim W = dim V, а так какU + W ⊂ V , то U + W = V (см.
Теорему 4.18) и сумма прямая так как U ∩ W = 0.Определение 5.13. Если V = U ⊕ W, то для любого v ∈ V существуют единственные векторыu ∈ U, w ∈ W такие, что v = u + w. В этой ситуации u называется проекцией вектора v наkWподпространство U паралелльно подпространству W (обозначение PrU v), а w — проекциейkUвектора v на подпространство W параллельно подпространству U (обозначение PrW v).Определение 5.14. Пусть U ⊂ V — некоторое подпространство. Подпространство W ⊂ Vназывается прямым дополнением к U в V , если V = U ⊕ W.Задача 5.15.
Для любого подпространства в конечномерном линейном пространстве V существует прямое дополнение. (Указание: воспользуйтесь Теоремой 4.17).Прямое дополнение, за исключением тривиальных случаев (U = 0 или U = V ) не единственно. Например, в двумерном пространстве над R прямым дополнением к одномерному подпространству является любое из континуального множества не совпадающих с ним одномерныхподпространств.Сложные обозначения для проекций в Определении 5.13 связаны с тем, что проекция векторана подпространство зависит не только от этого подпространства, но и от выбранного прямогодополнения к нему. Пусть, например, V = U ⊕ W — представление двумерного пространства вkUвиде прямой суммы одномерных подпространств. Тогда если 0 6= v ∈ U, то PrW v = 0, однакоkU 0заменяя U другим прямым дополнением U 0 к W , получим PrW v 6= 0, поскольку теперь v ∈/ U0(читателю рекомендуется убедиться в этом на картинке).Задача 5.16.
Докажите, что Rn = U ⊕ W, гдеU = h(1, 1, . . . , 1)T i, W = {(w1 , . . . , wn )T |XiНайдите проекции векторов стандартного базиса.72wi = 0}.Решение. 1-й способ. Докажем, что любой столбец (v1 , . . . , vn )T ∈ R можно представить, причем единственным образом, в виде суммы столбцов λ(1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
