Лекции Линал Ершов (1188212), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Докажем, что ϕ−1 (v1 + v2 ) = ϕ−1 (v1 ) + ϕ−1 (v2 ) ∀v1 , v2 ∈ V. Пусть vi = ϕ(ui ), i = 1, 2.Тогда в силу линейности ϕ имеем ϕ(u1 + u2 ) = ϕ(u1 ) + ϕ(u2 ) = v1 + v2 , откуда по определению обратного ϕ−1 (v1 + v2 ) = u1 + u2 = ϕ−1 (v1 ) + ϕ−1 (v2 ). Аналогично доказывается равенствоϕ−1 (λv) = λϕ−1 (v).Наконец, оно транзитивно. Это следует из того, что композиция изоморфизмов — изоморфизм. Покажем это. Пусть ϕ : U → V, ψ : V → W — отображения, тогда определена их композиция ψ ◦ ϕ : U → W, (ψ ◦ ϕ)(u) = ψ(ϕ(u)) ∀ u ∈ U. Если ϕ и ψ линейны, то их композиция ψ ◦ ϕтоже линейна. Действительно,(ψ ◦ϕ)(u1 +u2 ) = ψ(ϕ(u1 +u2 )) = ψ(ϕ(u1 )+ϕ(u2 )) = ψ(ϕ(u1 ))+ψ(ϕ(u2 )) = (ψ ◦ϕ)(u1 )+(ψ ◦ϕ)(u2 ).80Аналогично проверяется равенство (ψ ◦ ϕ)(λu) = λ(ψ ◦ ϕ)(u).

Поскольку композиция биекцийявляется биекцией, отсюда следует, что композиция изоморфизмов — изоморфизм.Тот факт, что два пространства U и V изоморфны, обозначают U ∼=V.Таким образом, возникает задача классифицировать линейные пространства над данным полем с точностью до изоморфизма (описать классы указанной эквивалентности). Следующая теорема решает ее для конечномерных пространств — единственным инвариантом изоморфизмалинейного пространства является его размерность.Теорема 5.60.

Два конечномерных пространства U, V над полем K изоморфны тогда и толькотогда, когда они имеют одинаковую размерность.Доказательство. Из Следствия 5.56 вытекает, что если между U и V есть изоморфизм, тоdim V = dim U.Наоборот, предположим что dim V = dim U и {e1 , . .

. , en }, {f1 , . . . , fn } — базисы в пространствах V и U соответственно. Определим линейное отображение ϕ : U → V , задав его значенияна базисных векторах f (ei ) = fi , i = 1, . . . , n, как в Лемме 5.52. Снова применяя Следствие 5.56получаем, что такое ϕ биективно, то есть изоморфизм.Заметим, что Предложение 4.48 означает, что выбор базиса в n-мерном пространстве V определяет его изоморфизм с Kn . Таким образом, в каждом классе изоморфизма конечномерныхвекторных пространств есть конкретный представитель — пространство Kn .Как уже отмечалось выше, существуют векторные пространства, которые равномощны, но неизоморфны. Читатель, возможно, знает, что каждое множество вида Rn , n > 0, имеет мощностьконтинуума, но как следует из доказанной теоремы, при разных n они не изоморфны — любаябиекция между ними не является линейной.5.4Матрица линейного отображенияПусть ϕ : V → U — линейное отображение между конечномерными линейными пространствами,{e1 , .

. . , en }, {f1 , . . . , fm } — базисы в V и U соответственно.Определение 5.61. Матрица A размера m × n называется матрицей линейного отображенияϕ относительно выбранных базисов, если(ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), . . . , ϕ(en )) = (f1 , f2 , . . . , fm )A.То есть рецепт получения матрицы A такой: действуем отображением на векторы выбранногов V базиса и получившиеся векторы из U раскладываем по выбранному базису в U , результатзаписываем в столбцы A (i-й столбец матрицы A — координатный столбец вектора ϕ(ei ) в базисе{f1 , . . .

, fm }).Пусть L(V, U ) обозначает множество всех линейных отображений V → U. Заметим, что матрица A однозначно определена отображением ϕ и выбранными базисами. Тем самым сопоставление линейному отображению его матрицы в выбранной паре базисов задает некоторое отображение µ : L(V, U ) → Matm×n (K).81Предложение 5.62. Отображение µ является биекцией (зависящей от выбранных базисов вV и U ).Доказательство. Действительно, если два линейных отображения имеют одинаковые матрицы вданной паре базисов, то их значения на базисных векторах равны, а по Лемме 5.52 эти значениялинейное отображение однозначно определяют.С другой стороны, так как согласно все той же Лемме набор значений линейного отображенияна базисных векторах может быть произвольным, то любая матрица размера m × n с элементамииз поля K является матрицей некоторого линейного отображения в выбранной паре базисов.Далее мы покажем, что построенная биекция согласована с операциями (сложения, умножения на скаляры и композиции).

Ситуация является аналогичной биекции между множествомвекторов n-мерного линейного пространства V над полем K и множеством столбцов Kn , зависящей от базиса и задаваемой сопоставлением вектору его координатного столбца.Частным случаем линейного отображения является линейное преобразование — это линейноеотображение из пространства в себя. Так как при определении матрицы линейного отображениямы в каждом пространстве выбираем по одному базису, то матрица линейного преобразованияопределяется с помощью выбора одного базиса в V . Так как этот частный случай особенно важен,то приведем специализацию предыдущего определения на случай линейных преобразований.Пусть ϕ : V → V — линейное преобразование конечномерного линейного пространства V ,{e1 , . .

. , en } — выбранный базис в V .Определение 5.63. Матрица A порядка n называется матрицей линейного преобразования ϕ ввыбранном базисе, если(ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), . . . , ϕ(en )) = (e1 , e2 , . . . , en )A.То, что в определении матрицы линейного преобразования участвует только один базис отражает большую “жесткость” линейных преобразований по сравнению с отображениями и приводитк более богатой и тонкой теории для одного линейного преобразования, как мы убедимся в дальнейшем.Задача 5.64. Напишите матрицы следующих линейных преобразований:1) тождественного преобразования n-мерного пространства V в произвольном базисе в V ;2) проектора на подпространство U параллельно подпространству W , заданного разложением V = U ⊕ W пространства V в прямую сумму ненулевых подпространств, в базисе V ,полученном объединением базисов U и W ;3) оператора дифференцированияddxна пространстве R[x]n в базисе {1, x, x2 , .

. . , xn };2nx x4) оператора из предыдущего пункта в базисе {1, 1!, 2! , . . . , xn! };5) оператора дифференцирования на линейной оболочке hsin x, cos xi в базисе {sin x, cos x};6) оператора поворота на угол α против часовой стрелки в правом ортонормированном базисе{e1 , e2 } на евклидовой плоскости.82Лемма 5.52 говорит о том, что зная матрицу A линейного отображения ϕ и относительнокаких базисов она записана, можно восстановить само отображение ϕ.Предложение 5.65. Если ξ := (v1 , . . .

, vn )T — координатный столбец вектора v ∈ V в базисе{e1 , . . . , en }, то Aξ — координатный столбец вектора ϕ(v) ∈ U в базисе {f1 , . . . , fm }.Доказательство. Воспользуемся матричной записью v = (e1 , . . . , en )(v1 , . . . , vn )T разложения вектора по базису. Из линейности ϕ следуетϕ(v) = (ϕ(e1 ), .

. . , ϕ(en ))(v1 , . . . , vn )T = (f1 , . . . , fm )A(v1 , . . . , vn )T = (f1 , . . . , fm )(u1 , . . . , um )T ,где η := (u1 , . . . , um )T — координатный столбец вектора ϕ(v) в базисе {f1 , . . . , fm }. Из линейнойнезависимости последнего следует η = A(v1 , . . . , vn )T .Предыдущее Предложение показывает, зачем нужны матрицы линейных отображений: действие линейного отображения в базисах сводится просто к умножению координатных столбцоввекторов на его матрицу. Полученный результат можно наглядно изобразить в виде диаграммыVϕeKnϕA·/Uϕf/ Km ,в которой вертикальные стрелки обозначают определяемые выбранными базисами линейные биекции, сопоставляющие вектору его координатный столбец (см.

Предложение 4.48). ДоказанноеПредложение равносильно тому, что два пути по стрелкам из V в Km совпадают.Матрица линейного отображения зависит от выбора базисов. Выведем формулу, выражающую матрицу отображения в новых базисах через матрицу того же отображения в старых базисахи матрицы перехода от старых базисов к новым.Итак, пусть ϕ : V → U — линейное отображение, A — его матрица относительно старых базисов {e1 , .

. . , en } и {f1 , . . . , fm } в V и U соответственно, C — матрица перехода от {e1 , . . . , en } к но0 }вому базису в V {e01 , . . . , e0n }, а D — матрица перехода от {f1 , . . . , fm } к новому базису {f10 , . . . , fmв U . Из линейности ϕ непосредственно следует, что(e01 , . . . , e0n ) = (e1 , .

. . , en )Cвлечет (ϕ(e01 ), . . . , ϕ(e0n )) = (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en ))C.Поэтому имеем0(ϕ(e01 ), . . . , ϕ(e0n )) = (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en ))C = (f1 , . . . , fm )AC = (f10 , . . . , fm)D−1 AC,откудаA0 = D−1 AC(26)— матрица ϕ относительно новых базисов. В частности, для линейного преобразования получаемформулуA0 = C −1 AC.(27)Задача 5.66. Матрицы каких линейных отображений не зависят от выбора базисов? Матрицыкаких линейных преобразований не зависят от выбора базиса?83Мы видим, что за исключением очень специальных случаев, матрицы линейных преобразований и отображений зависят от базисов. Какие свойства матриц одного и того же отображения(преобразования) от базиса не зависят? Нет ли критерия того, что две данные матрицы одинакового размера являются матрицами одного и того же отображения (преобразования) относительноразных базисов?Вообще, формализовать эту задачу для отображений можно так.

Назовем две прямоугольныематрицы одинакового размера эквивалентными, если они являются матрицами одного того желинейного преобразования в разных базисах. Равносильно, две матрицы A и A0 назовем эквивалентными, если существуют две невырожденные матрицы C, D подходящих порядков такие,что A0 = D−1 AC (читателю предлагается проверить, что это — действительно отношение эквивалентности). Теперь задача свелась к описанию классов введенной эквивалентности.Аналогично, для преобразований назовем две матрицы одинаковых порядков A и A0 эквивалентными, если найдется такая невырожденная матрица C, что A0 = C −1 AC (это условие равносильно тому, что две данные матрицы A и A0 являются матрицами одного и того же линейногопреобразования в разных базисах).Второе отношение эквивалентности (для преобразований) намного более “жесткое” в томсмысле, что классов эквивалентности больше (для полей R или C за исключением случая преобразований нульмерного пространства их будет континуум) и их описание — намного более сложная задача, которую мы в этом курсе решим лишь частично.

Характеристики

Список файлов лекций