Лекции Линал Ершов (1188212), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

, en } — некоторый базис в V .Тогда мы имеем набор из n линейных функций εi : V → K, εi (v) = vi (i-я координата вектора vв базисе {e1 , . . . , en }), i = 1, . . . , n. Очевидно, координатные функции однозначно (как линейныефункции) задаются равенствами1, если i = j;εi (ej ) = δij :=0, если i 6= j(δij называется δ-символом Кронекера).Предложение 5.90. Система координатных функций {ε1 , . . . , εn } является базисом в V ∗ .PДоказательство. Пусть ni=1 λi εi = 0 как линейная функция, это значит, ее значение на любомвекторе из V равно нулю.

Последовательно подставляя элементы базиса {e1 , . . . , en } в качествеее аргументов, получаем λ1 = . . . = λn = 0.Пусть теперь f ∈ V ∗ — произвольная линейная функция, покажем, что она является линейнойкомбинацией εi , i = 1, . . . , n. Для этого заметим, что линейная функцияg := f −nXf (ei )εii=1тождественно равна нулю, так как принимает нулевые значения на всех базисных векторах.Определение 5.91.

Базис в V ∗ , состоящий из координатных функций {ε1 , . . . , εn }, называетсясопряженным (или биортогональным) к базису {e1 , . . . , en } в V .Заметим, что из определения биортогонального базиса следует, что для любого вектора v ∈ Vv=nXεi (v)ei .(28)i=1Задача 5.92. Пусть C — матрица перехода между базисами {e1 , . . .

, en } и {e01 , . . . , e0n } в V . Найдите матрицу перехода между соответствующими биортогональными базисами {ε1 , . . . , εn } и{ε01 , . . . , ε0n } в V ∗ .18Причина указанной двойственности связана с существованием канонического (не зависящего ни от какихвыборов) отображенияV ∗ × V → K, (f, v) 7→ f (v),линейного по каждому из аргументов.91Решение. Ясно, что элементы биортогонального базиса должны преобразовываться так же каккоординаты, то есть (ε1 , . .

. , εn )T = C(ε01 , . . . , ε0n )T (см. формулу (23)). Поэтому (ε01 , . . . , ε0n ) =(ε1 , . . . , εn )C −T .Замечание 5.93. Заметим, что сопоставление C 7→ (C T )−1 определяет изоморфизм группы невырожденных матриц порядка n на себя. Отсюда легко вывести, что каждый базис в V ∗ биортогонален единственному базису в V .Задача 5.94.

Покажите, что любая ненулевая линейная функция f : V → K является первойкоординатной функцией ε1 относительно некоторого базиса {e1 , . . . , en } в V .Решение. Пусть U := ker f ⊂ V, тогда dim U = n − 1. Выберем базис {e2 , . . . , en } в U и дополнимего до базиса в V вектором e1 таким, что f (e1 ) = 1 (так как f 6= 0, то такой вектор e1 ∈ VPсуществует). Тогда для любого вектора v = ni=1 vi ei ∈ V имеем!nnXXf (v) = fvi e i =vi f (ei ) = v1 .i=1i=1На самом деле предыдущий результат можно усилить: любой базис в V ∗ является биортогональным к некоторому (единственному) базису в V . Одно из доказательств можно получитьиз Задачи 5.92 (см. комментарий после нее).

Мы, однако, получим этот результат в качествеследствия из некоторой теории.Из предыдущего следует, что если пространство V конечномерно, то оно изоморфно своемудвойственному V ∗ . Например, можно выбрать базис {e1 , . . . , en } в V и биортогональный к нему{ε1 , . . . , εn } в V ∗ и определить изоморфизм ϕ : V → V ∗ условием ϕ(ei ) = εi , i = 1, .

. . , n. Можнопоказать, что выбирая разные базисы в V мы будем получать разные изоморфизмы, и нет никакого способа выбрать среди них изоморфизм “каноническим”, ни от каких произвольных выборовне зависящим образом.Замечание 5.95. Поясним сказанное выше. Определенный выше изоморфизм ϕ : V → V ∗ в паребазисов {e1 , .

. . , en } в V и {ε1 , . . . , εn } в V ∗ имеет единичную матрицу. Тогда, используя результатЗадачи 5.92, можно показать, что ϕ в другой паре сопряженных базисов {e01 , . . . , e0n } и {ε01 , . . . , ε0n }будет иметь матрицу C T C, где C — матрица перехода от {e1 , . . . , en } к {e01 , . . . , e0n }, в то времякак изоморфизм ϕ0 , определенный штрихованной парой сопряженных базисов, будет иметь относительно нее единичную матрицу, то есть ϕ и ϕ0 , вообще говоря, разные изоморфизмы (еслиC T C 6= E).Однако существует канонический изоморфизм между пространством V и его дважды двойственным V ∗∗ (в случае, когда V конечномерно). Это имеет ряд важных следствий, в частности,для тензорной алгебры, поэтому мы обсудим эту тему более подробно.Хотя на первый взгляд представить ненулевую линейную функцию на V ∗ непросто, все такиелинейные функции (в случае конечномерных пространств) имеют простое описание.

А именно,для произвольного v ∈ V определим ϑv : V ∗ → K равенством ϑv (f ) = f (v) ∀f ∈ V ∗ .Во-первых проверим, что ϑv линейна, то есть ϑv ∈ V ∗∗ . В самом деле,ϑv (f1 + f2 ) = (f1 + f2 )(v) = f1 (v) + f2 (v) = ϑv (f1 ) + ϑv (f2 ) ∀f1 , f2 ∈ V ∗ .92Кроме того,ϑv (λf ) = (λf )(v) = λf (v) = λϑv (f ) ∀f ∈ V ∗ .Теперь покажем, что (в случае конечномерного V ) никаких линейных функций на V ∗ крометех, которые имеют вид ϑv для некоторого v ∈ V , не существует.

Для этого определим линейноеотображение ϑ : V → V ∗∗ , полагая ϑ(v) = ϑv .Во-первых, покажем, что ϑ действительно линейно. Нам нужно проверить, что ϑv1 +v2 = ϑv1 +ϑv2 ∀v1 , v2 ∈ V и что ϑλv = λϑv ∀λ ∈ K и v ∈ V. Действительно,ϑv1 +v2 (f ) = f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) = ϑv1 (f ) + ϑv2 (f ) = (ϑv1 + ϑv2 )(f ) ∀f ∈ V ∗иϑλv (f ) = f (λv) = λf (v) = λϑv (f )(мы использовали линейность f ).Докажем теперь, что ϑ инъективно. Действительно, если ϑv = 0, то для любого f ∈ V ∗ϑv (f ) = f (v) = 0, но если v 6= 0 то найдется такая f ∈ V ∗ что f (v) 6= 0 (например, в произвольномбазисе какая-то из координат вектора v отлична от нуля).

Значит, ker ϑ = 0. Используя теперьСледствие 5.51 получаем, что ϑ — изоморфизм между V и V ∗∗ . Заметим, что в определении ϑ небыло никакого произвола, поэтому этот изоморфизм называется каноническим.Подведем итог.Теорема 5.96. Если пространство V конечномерно, то оно канонически изоморфно своему дважды сопряженному пространству V ∗∗ .В предыдущих рассуждениях мы использовали существование канонического билинейногоотображения V ∗ × V → K, (f, v) 7→ f (v). Если в записи (f, v) зафиксировать f ∈ V ∗ и заставитьv пробегать пространство V , мы получим линейную функцию на V , а если зафиксировать v ∈ Vи заставить f пробегать все пространство V ∗ , получим линейную функцию на V ∗ . Именно этотфакт мы и использовали выше в записи (f, v) = ϑv (f ) для фиксированного v ∈ V .Преимущества канонических изоморфизмов перед “случайными” состоит в том, что отождествление пространств с помощью них обычно безобидно.

То есть пространства V и V ∗∗ можносчитать, по-существу, одним и тем же пространством, при этом вектор v ∈ V отождествляется сϑv ∈ V ∗∗ , а значит базис {e1 , . . . , en } в V — с базисом {ϑe1 , . . . , ϑen } в V ∗∗ .Замечание 5.97. (ср. Замечание 5.95). Определим изоморфизм θ : V → V ∗∗ условием, что он переводит базис {e1 , . . . , en } в базис {ϑe1 , . . . , ϑen }. В этой паре базисов θ по определению имеет единичную матрицу. Покажем, что θ будет иметь единичную матрицу в любой другой аналогичнойпаре базисов.

Действительно, пусть {e01 , . . . , e0n } — другой базис в V такой, что матрица переходаот {e1 , . . . , en } к нему есть C. Тогда согласно Задаче 5.92 матрица перехода от {ϑe1 , . . . , ϑen } к{ϑe01 , . . . , ϑe0n } есть (C −T )−T = C. Поэтому матрица линейного отображения θ относительно новойпары базисов будет C −1 EC = E.

На самом деле θ совпадает с определенным выше изоморфизмомϑ. Это еще раз показывает смысл “каноничности” изоморфизма ϑ — его определение не зависитот выбора базиса {e1 , . . . , en } в V , а определяется само́й линейной структурой пространства V .Задача 5.98. Покажите, что любой базис {f1 , . . . , fn } в V ∗ является биортогональным некоторому (единственному) базису {e1 , . . . , en } в V .93Решение. Пусть {g1 , . . . , gn } — базис в V ∗∗ , биортогональный к {f1 , .

. . , fn }, то есть gi (fj ) = δij .Мы знаем, что каждый gi имеет вид ϑei для некоторого ei ∈ V , причемgi (fj ) = ϑei (fj ) = fj (ei ) = δij .Поэтому базис {f1 , . . . , fn } биортогонален базису {e1 , . . . , en }.Задача 5.99. Пусть V — пространство многочленов K[x]n степени ≤ n. Покажите, что линейные функции ε0 , ε1 , . . . , εn , определяемые равенствамиεi (p) = p(xi ),где x0 , x1 , . . . , xn — попарно различные элементы поля K, составляют базис пространства V ∗ ,и найдите базис в пространстве V , которому он биортогонален. Покажите, что формула (28)в этом случае превращается в интерполяционную формулу Лагранжа.Задача 5.100.

Пусть V такое же как в предыдущей задаче, причем K = R или C. Покажите,что линейные функции ε0 , ε1 , . . . , εn , определяемые равенствамиεi (p) = p(i) (x0 ),где x0 ∈ K, составляют базис пространства V ∗ , и найдите базис пространства V , которомуон биортогонален. Выясните смысл формулы (28) в этом случае.Решение. Если {p0 , p1 , . . . , pn } — искомый базис в V , то он состоит из многочленов, удовлетвоi(j)0), i = 0, . . . , n.ряющих условиям pi (x0 ) = δij . Такие многочлены легко найти: pi (x) = (x−xi!Пустьλ 0 ε0 + λ 1 ε1 + . . . + λ n εn = 0— некоторая линейная зависимость, применяя ее последовательно к системе {p0 , p1 , . .

. , pn }, находим, что λ0 = λ1 = . . . = λn = 0.Формула (28) в этом случае превращается в формулу Тейлора:p(x) = p(x0 ) + p0 (x0 )(x − x0 )(x − x0 )2(x − x0 )n+ p00 (x0 )+ . . . + p(n) (x0 ).1!2!n!В заключении этого параграфа сделаем три замечания для заинтересованного читателя.Замечание 5.101. Пусть ϕ : V → U — линейное отображение.

Тогда оно индуцирует линейноеотображение сопряженных пространств, направленное в обратную сторону:ϕ∗ : U ∗ → V ∗ , ϕ∗ (f ) = f ◦ ϕ,то есть для f ∈ U ∗ линейная функция ϕ∗ (f ) ∈ V ∗ принимает значение f (ϕ(v)) на произвольномвекторе v ∈ V . Если ψ : U → W — еще одно линейное отображение, то (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ , крометого, id∗V = idV ∗ .94При этом канонические изоморфизмы ϑV : V → V ∗∗ для разных пространств V согласованы(“естественны”) в следующем смысле: для всех линейных отображений ϕ : V → U диаграммыUOϑU/ U ∗∗Oϕ∗∗ϕVϑV/ V ∗∗коммутативны.

Сформулированные утверждения мы оставляем в качестве упражнения.Замечание 5.102. В случае бесконечномерного пространства V сопряженное пространство V ∗ всегда имеет бо́льшую размерность (в смысле мощности базиса). Например, если V — пространствофинитных последовательностей, которое счетномерно, то V ∗ состоит из всех последовательностей, и является несчетномерным.Замечание 5.103.

Характеристики

Список файлов лекций