Лекции Линал Ершов (1188212), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Докажите, что такой проектор удовлетворяет тождеству ϕ2 = ϕ16 .Тогда его матрица A в произвольном базисе удовлетворяет равенству A2 = A.Роль единичных матриц играют тождественные операторы: для любого ϕ : V → U выполненысоотношения idU ◦ ϕ = ϕ = ϕ ◦ idV .Рассмотрим теперь аналог для линейных отображений операции взятия обратной матрицы.Пусть линейное отображение ϕ : V → U биективно, то есть изоморфизм. Тогда его матрица A (относительно произвольной пары базисов) невырождена. Действительно, так как тогдаdim V = dim U , то A квадратная и, например, из инъективности ϕ следует, что столбцы A линейно независимы (см. Задачу 5.72).

Легко также непосредственно доказать, что A обратима.16Верно и обратное: любой оператор, удовлетворяющий указанному тождеству, является проектором на U :=Im ϕ параллельно W := ker ϕ, в частности, последние два пространства образуют прямую сумму.87Задача 5.76. Пусть A — матрица изоморфизма ϕ : V → U относительно базисов {e1 , . . . , en }в V и {f1 , . .

. , fn } в U . Тогда матрицей обратного отображения ϕ−1 : U → V (которое, как мызнаем из доказательства Предложения 5.59, тоже линейно) относительно базисов {f1 , . . . , fn }и {e1 , . . . , en } будет A−1 .Решение. Пусть B — матрица ϕ−1 относительно базисов {f1 , . . . , fn } и {e1 , . . . , en }. Тогда из тождествϕ−1 ◦ ϕ = idV , ϕ ◦ ϕ−1 = idUполучаем BA = E, AB = E, а это и значит что B = A−1 .Установленная связь умножения матриц с композицией линейных отображений позволяет дать концептуальное доказательство ассоциативности умножения матриц.

А именно, если χ : W → Z — еще одно линейное отображение с матрицей C относительно пары базисов{g1 , . . . , gk } в W и {h1 , . . . , hl } в Z соответственно, то матрицей композиции (χ ◦ ψ) ◦ ϕ относительно базисов {e1 , . . . , en } и {h1 , . . . , hl } будет (CB)A, а композиции χ ◦ (ψ ◦ ϕ) — C(BA). Номы знаем, что композиция отображений ассоциативна, поэтому (χ ◦ ψ) ◦ ϕ = χ ◦ (ψ ◦ ϕ), откуда,используя биекцию между отображениями и матрицами, получаем (CB)A = C(BA).Композиция линейных отображений связана с линейными операциями тождествамиχ ◦ (ϕ + ψ) = χ ◦ ϕ + χ ◦ ψ, (χ + ψ) ◦ ϕ = χ ◦ ϕ + ψ ◦ ϕ,(λψ) ◦ ϕ = ψ ◦ (λϕ) = λ(ψ ◦ ϕ) ∀λ ∈ K.Читатель легко убедится в их справедливости. Они отвечают аналогичным операциям над матрицами.Заметим, что на пространстве L(V, V ) =: L(V ) операция композиции линейных преобразований определяет умножение, в этом случае алгебра17 L(V ) изоморфна алгебре матриц Matn (K)порядка n.Обратимые линейные операторы на V образуют группу относительно операции композиции.Она обозначается GL(V ).

Выбор базиса в V определяет ее изоморфизм с группой невырожденныхматриц GLn (K) порядка n = dim V относительно умножения.ϕψЗадача 5.77. Пусть U −→ V −→ W — композиция линейных отображений. Оцените сверхуdim (Im (ψϕ)) через dim (Im ϕ) и dim (Im ψ). Выведите из полученного результата теорему оранге произведения матриц.Решение. С одной стороны, Im (ψϕ) ⊂ Im ψ, поэтому dim Im (ψϕ) ≤ dim Im ψ. С другой стороны,Im (ψϕ) = {w ∈ W | ∃u ∈ U : w = ψ(ϕ(u))} = {w ∈ W | ∃v ∈ Im ϕ : w = ψ(v)} = Im (ψ|Im ϕ ),поэтому dim Im (ψϕ) ≤ dim Im ϕ.

Из этого очевидно, что ранг произведения матриц не превосходит рангов сомножителей.17Алгеброй в математике называется векторное пространство, элементы которого также можно перемножать;определение см. в разделе 1.8; интересующийся читатель может обратиться к книге [6] за подробностями.88ϕψЗадача 5.78. Пусть U −→ V −→ W — композиция линейных отображений, причем dim V =n, dim (Im ψ) = r. Известно, что ψϕ = 0. Оцените сверху dim (Im ϕ). Как это связано с Задачей4.42?Решение.

Заметим, что ψϕ = 0 тогда и только тогда, когда Im ϕ ⊆ ker ψ. Кроме того, dim ker ψ =n − r. Из этого следует, что dim (Im ϕ) ≤ n − r.Следующая задача обобщает предыдущую.ϕψЗадача 5.79. Пусть U −→ V −→ W — композиция линейных отображений, причем dim V =n, dim (Im ψ) = r, dim (Im ϕ) = k. Докажите, что dim (Im (ψϕ)) ≥ k + r − n.5.6Линейные функции и сопряженное пространствоПусть V — векторное пространство над полем K.Определение 5.80. Линейной функцией на V называется такая функция f : V → K, что1) f (v1 + v2 ) = f (v1 ) + f (v2 ) ∀v1 , v2 ∈ V ;2) f (λv) = λf (v) ∀v ∈ V, λ ∈ K.Из определения следует, что для любой конечной линейной комбинацииPPиз V f ( ki=1 λi vi ) = ki=1 λi f (vi ).Pki=1 λi viвекторовЛегко видеть, что линейная функция — то же самое, что линейное отображение из V в одномерное линейное пространство K столбцов высоты 1 над полем K.

В частности для линейнойфункции определено понятие ядра, причем если dim V = n и f : V → K, f 6= 0, то dim ker f = n−1.В K есть фиксированный базис {1} (здесь 1 ∈ K рассматривается как вектор, точнее, столбецвысоты 1). Тогда любой элемент из пространства K однозначно запишется в виде λ1, где λпринадлежит полю K.Приведем несколько примеров линейных функций. Проверка линейности в каждом случаетривиальна (читателю все же рекомендуется ее проделать).Пример 5.81. Пусть V — евклидова плоскость или пространство, фиксируем a ∈ V и определимf = fa : V → R формулой ∀v ∈ V f (v) = (a, v) (где скобки обозначают скалярное произведение).Тогда f — линейная функция на V .

(Полезно заметить, что любая линейная функция на V имееттакой вид для некоторого a ∈ V ).Пример 5.82. Пусть V = C[a, b] — бесконечномерное пространство непрерывных функций наRbотрезке [a, b]. Определим отображение ϕ : V → R формулой ϕ(f ) = a f (x) dx ∀f ∈ V. Тогда ϕ —линейная функция.Пример 5.83. Пусть V = Kn , a := (a1 , . . . , an ) — заданная строка эдементов из K.

Тогда f =fa : Kn → K, f (v) = av ∀v ∈ V (произведение строки на столбец) задает линейную функцию. Мывскоре увидим, что так выглядит любая линейная функция на пространстве столбцов Kn .Пример 5.84. Пусть V = K[x]n — пространство многочленов степени не выше n, x0 ∈ K —фиксированный элемемент. Тогда f = fx0 : V → K, f (p) = p(x0 ) ∀p ∈ K[x]n (вычисление значениямногочлена p в фиксированной точке x0 ) определяет линейную функцию на V .89Пример 5.85.

Пусть V = R[x]n , зафиксируем k ∈ N. Тогда f : V → R, f (p) := p(k) (0) (вычислениеk-й производной многочлена в нуле) — линейная функция.PПример 5.86. Пусть V = Matn (K), определим функцию tr (A) =i aii (сумма диагональныхэлементов матрицы A. Тогда tr : Matn (K) → K — линейная функция, называемая следом.Задача 5.87. Пусть линейная функция f на пространстве V = Matn (K) удовлетворяет условию f (AB) = f (BA) ∀A, B ∈ Matn (K).

Докажите, что тогда f = α tr для некоторого α ∈ K.Пусть пространство V конечномерно и {e1 , . . . , en } — некоторый базис в V . Линейная функцияPf однозначно задается своими значениями на базисных векторах: если v = ni=1 vi ei , тоf (v) = v1 f (e1 ) + . . . + vn f (en ),причем эти значения могут быть произвольными элементами поля K. Матрица f как линейногоотображения V → K имеет размер 1 × n, то есть является строкой. Более точно, матрица fотносительно базисов {e1 , .

. . , en } в V и {1} в K есть строка (f (e1 ), . . . , f (en )), которая называетсякоординатной строкой линейной функции в базисе {e1 , . . . , en }. Более подробно,(f (e1 ), . . . , f (en )) = 1(f (e1 ), . . . , f (en )),где слева стоит строка элементов пространства K, мы их выделили жирным шрифтом, чтобыотличить от строки чисел справа. При замене базиса в V координатная строка A преобразуетсяпо формуле A0 = AC (см.

(26)).Задача 5.88. Докажите, что система линейных функций {f1 , . . . , fn } на n-мерном пространстве V линейно зависима тогда и только тогда, когда найдется такой вектор 0 6= v ∈ V , чтоf1 (v) = . . . = fn (v) = 0.Решение. Если линейные функции {f1 , . . . , fn } линейно зависимы, то их координатные строкитоже зависимы, то есть линейно зависимы строки матрицы A = (aij ), где aij = fi (ej ).

Тогдалинейно зависимы и ее координатные столбцы, то есть  f1 (e1 )f1 (en )0 .  .  . .  .. λ1  .  + . . . + λn  .  =  .  ,0fn (e1 )fn (en )где не все λi равны нулю. Отсюда получаем, что fi (v) = 0, i = 1, . . . , n, где v =Легко видеть, что приведенное рассуждение обратимо.Pki=1 λi ei6= 0.Мы знаем, что множество всех линейных отображений ϕ : V → U является линейным пространством L(V ; U ), размерность которого (в случае конечномерных пространств V и U ) равнаdim V dim U (поскольку оно изоморфно пространству матриц соответствующего размера). То жеверно в частном случае линейных функций: множество всех линейных функций f : V → K образует линейное пространство той же размерности, что и V (в случае конечномерного V ).Определение 5.89.

Линейное пространство всех линейных функций на V называется сопряженным пространством к V и обозначается V ∗ .90Таким образом,V ∗ = {f : V → K | f линейна }.Заметим, что операцию перехода с сопряженному пространству можно итерировать: возникает второе сопряженное V ∗∗ := (V ∗ )∗ и т.д.Несмотря на то, что ряд результатов для сопряженного пространства следует из общей теории линейных отображений, оно обладает рядом специальных свойств, связанных с “двойственностью” между векторами и линейными функциями18 , поэтому мы остановимся подробнее на егосвойствах (и частично передокажем уже известные результаты).Пусть V — n-мерное линейное пространство над полем K, {e1 , . . .

Характеристики

Список файлов лекций