Лекции Линал Ершов (1188212), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Матрица A отражения вдоль W относительно U в в объединении базисов U и Wимеет вид!Ek0,0 −En−kгде k = dim U, n − k = dim W.Более общо, если V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk — разложение в прямую сумму ϕ-инвариантных подпространств, то матрица ϕ в объединении базисов подпространств Vi будет иметь видA1 00 ... 0 0 A2 0 . . . 0 00 A3 .

. . 0  ..... . ...  ... . ..000 . . . Akгде блоки Ai — матрицы ограничений ϕ|Vi в соответствующих базисах.Задача 6.16. Покажите, что для оператора ϕ : V → V, dim V = n существует базис, в котором его матрица диагональная тогда и только тогда, когда V является прямой суммой ⊕ni=1 Viодномерных ϕ-инвариантных подпространств Vi ⊂ V .Определение 6.17. Оператор, для которого существует базис, в котором он имеет диагональнуюматрицу, называется диагонализируемым.Вскоре мы увидим, что не все операторы диагонализируемы (при dim V > 1), и опишемпрепятствия к диагонализируемости.Задача 6.18.

Покажите, что для оператора ϕ : V → V, dim V = n существует базис, в котором его матрица верхняя треугольная тогда и только тогда, когда в V существует цепочкавложенных ϕ-инвариантных подпространств 0 = V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn = V, таких, чтоdim Vk = k, 0 ≤ k ≤ n.Далее мы докажем, что при K = C для любого оператора существует базис, в котором егоматрица верхняя треугольная.При каком условии имея вид (30) для данного инвариантного U ⊂ V можно получить вид (31),меняя последние n − k базисных векторов? Очевидно, тогда и только тогда, когда их можно выбрать лежащими в таком прямом дополнении к U , которое является ϕ-инвариантным. Конечно,у любого подпространства есть прямое дополнение, но в общем случае неверно, что существуетϕ-инвариантное прямое дополнение.

Приведем соответствующий пример.99dПример 6.19. Рассмотрим оператор ϕ := dxна пространстве V := R[x]n . Покажите, что все егоинвариантные подпространства суть подпространства R[x]k ⊂ V, 0 ≤ k ≤ n (указание: рассмотрите произвольное инвариантное подпространство U ⊂ V, пусть p ∈ U — многочлен максимальной степени, тогда покажите, что U = R[x]k , где k = deg p). Таким образом, все инвариантныеподпространства вложены в друг друга наподобие матрешки, поэтому ни у какого из них (заисключением нулевого и всего пространства) нет инвариантного прямого дополнения, а значитни в каком базисе матрица ϕ не является блочно-диагональной.

Тот факт, что матрица ϕ в базисе {1, x, x2 , . . . , xn } является верхней треугольной, связан с тем, что данный базис согласован со“структурой матрешки” в том смысле, что линейная оболочка {e1 , . . . , ek } для любого 0 ≤ k ≤ nсовпадает с R[x]k и, таким образом, ϕ-инвариантна.6.3Собственные векторы и подпространстваПусть вектор v ∈ V порождает одномерное ϕ-инвариантное подпространство hvi ⊂ V . Тогдаv 6= 0 и ϕ(v) = λv для некоторого скаляра λ ∈ K. Такие векторы играют очень важную роль визучении операторов и имеют специальное название.Определение 6.20.

Пусть V — векторное пространство над полем K. Ненулевой вектор v ∈ Vназывается собственным вектором оператора ϕ : V → V, отвечающим собственному значениюλ ∈ K, если ϕ(v) = λv.Легко видеть, что оператор ϕ : V → V диагонализируем тогда и только тогда, когда существует базис в V , состоящий из его собственных векторов.Например, любой ненулевой вектор из ядра (если такой есть) — собственный вектор с собственным значением 0. Для ϕ = idV любой ненулевой вектор v ∈ V является собственным ссобственным значением 1.Вот менее тривиальные примеры.Пример 6.21. Пусть ϕ : V → V — проектор. Какие у него могут быть собственные значения? Еслиv ∈ V — собственный вектор ϕ, отвечающий собственному значению λ, тоλv = ϕ(v) = ϕ2 (v) = ϕ(λv) = λϕ(v) = λ2 v,откуда λ(λ − 1)v = 0, но так как v 6= 0, то либо λ = 0 либо λ = 1.

Соответствующие собственныевекторы легко предъявить. Напомним, что всякий проектор ϕ есть оператор проектирования на Uпараллельно W для некоторого представления V = U ⊕ W в виде прямой суммы подпространств.Тогда любой ненулевой вектор из U — собственный вектор ϕ с собственным значением 1, а любойненулевой вектор из W — собственный вектор с собственным значением 0.Пример 6.22. Аналогично предыдущему примеру можно показать (сделайте это!), что для оператора отражения ϕ2 = idV собственными значениями могут быть только λ = ±1. Если использовать обозначения Примера 6.5, то любой ненулевой вектор из U — собственный векторс собственным значением 1, а любой ненулевой вектор из W — собственный вектор с собственным значением −1.

В частности, у оператора транспонирования на пространстве Matn (R) имеются два собственных подпространства: подпространство симметрических матриц (собственное100подпространство, отвчающее собственному значению 1), и подпространство кососимметрическихматриц (отвечающих собственному значению −1).Пример 6.23. Оператор поворота на евклидовой плоскости на угол α 6= πk не имеет собственныхвекторов.Пример 6.24. Единственным собственным значением оператора поворота трехмерного евклидовапространства V на угол α 6= πk вокруг оси hai (0 6= a ∈ V ) является 1, а соответствующимисобственными векторами является ненулевые векторы из hai ⊂ V.Пример 6.25.

Рассмотрим линейную оболочку V := heλ1 x , . . . , eλn x i функций над R, где λ1 , . . . , λn— попарно различные вещественные числа. Легко показать, что указанные функции линейнонезависимы (над R), то есть dim V = n. Проще всего это сделать, записав линейную зависимость между ними, продифференцировать ее n − 1 раз, а затем воспользоваться невырожденdностью определителя Вандермонда. Рассмотрим ϕ := dxна V .

Легко видеть, что функции eλk x— собственные векторы оператора ϕ с собственными значениями λk и в базисе {eλ1 x , . . . , eλn x }пространства V оператор ϕ имеет диагональную матрицу diag (λ1 , . . . , λk ).d. В данном случае собственные векторы с собственнымПример 6.26. Пусть V = R[x]n , ϕ = dxзначением λ — такие многочлены p 6= 0, что p0 = λp. Так как производная любого ненулевого многочлена имеет строго меньшую степень, чем сам многочлен, то единственное возможноесобственное значение — λ = 0.

Действительно, существуют собственные векторы с собственнымзначением 0: это ненулевые константы. Заметим, что при n > 0 в V не существует базиса изсобственных векторов оператора ϕ, то есть он не диагонализируем.Во всех рассмотренных примерах операторы имели конечное число собственных значений.Это верно для любого оператора в конечномерном пространстве (мы вскоре это докажем). Какискать собственные значения данного оператора ϕ?Во-первых, заметим, что скаляр λ ∈ K является собственным значением оператора ϕ : V →V тогда и только тогда, когда подпространствоVλ := ker (ϕ − λ idV ) ⊂ V(32)ненулевое, Vλ 6= 0. Действительно, любой собственный вектор оператора ϕ с собственным значением λ лежит в Vλ , и наоборот, любой ненулевой вектор из Vλ является собственным с собственнымзначением λ.Определение 6.27.

Ненулевое подпространство Vλ , определенное равенством (32), называетсясобственным подпространством оператора ϕ, отвечающим собственному значению λ.Таким образом, собственное подпространство Vλ состоит из всех собственных векторов оператора ϕ с собственным значением λ, и нулевого вектора.Читателю предлагается описать собственные подпространства для рассмотренных выше примеров линейных операторов.Задача 6.28. Докажите, что любое собственное подпространство Vλ оператора ϕ ϕинариантно. (Указание: воспользуйтесь Предложением 6.11).101Равенство (32) подсказывает метод нахождения собственных подпространств.

А именно, пустьв V выбран базис {e1 , . . . , en } и A — матрица оператора ϕ в этом базисе. Тогда оператор ϕ − λ idVв этом базисе имеет матрицу A − λE. Его вырожденность (то есть условие Vλ 6= 0) равносильно вырожденности матрицы A − λE, что, как мы знаем из теории определителей, равносильноравенству det (A − λE) = 0.Таким образом, λ — собственное значение ϕ тогда и только тогда, когда det (A − λE) = 0,где A — матрица ϕ (в произвольном базисе).Для произвольной матрицы A ∈ Matn (K) порядка n рассмотрим выражение χA (t) := det (A −tE) от переменной t.

То есть χA (t) — определитель матрицыa11 − ta12a13...a1n a12a−ta...a22232n aa23a33 − t . . .a3n . 13 ....... .. ...... a1na2na3n. . . ann − tТак как определитель матрицы равен сумме со знаками произведений, в которые входит по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца (см. формулу полного разложения определителя (14)), то χA (t) является многочленом от t степени n с коэффициентами из поля K, тоесть χA (t) ∈ K[t]. Более точно,χA (t) = (−1)n (tn − (tr A)tn−1 + . .

Характеристики

Список файлов лекций