Лекции Линал Ершов (1188212), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

Пусть µϕ (t) = (t − λ)m g(t), где m > 1. Тогда существует v ∈ V такой, что(ϕ − λ idV )2 (v) = 0, но (ϕ − λ idV )(v) 6= 0. Согласно Задаче 6.46 оператор ϕ − λidV тогда недиагонализируем, а значит и ϕ не диагонализируем.Обратно, пусть µϕ (t) = (t − λ1 ) . . . (t − λk ), где λi попарно различны. ИмеемV = ker ((ϕ − λ1 idV ) . . . (ϕ − λk idV )).Пустьgi := dim ker (ϕ − λi idV ) = dim Vi— размерности собственных подпространств.

Согласно Задаче 5.79,rk ((ϕ − λ1 idV )(ϕ − λ2 idV )) ≥ n − g1 + n − g2 − n = n − g1 − g2 ,rk ((ϕ − λ1 idV )(ϕ − λ2 idV )(ϕ − λ3 idV )) ≥ n − g1 − g2 − g3 ,наконец,rk ((ϕ − λ1 idV ) . . . (ϕ − λk idV )) ≥ n − g1 − . . . − gk ,откуда n = g1 + . . . + gk и значит V = V1 ⊕ . . .

⊕ Vk .Заметим, что если потребовать, чтобы корни µϕ (t) лежали в K, то результат предыдущейЗадачи верен без предположения об алгебраической замкнутости K.!B CЗадача 6.58. Пусть B, D — квадратные матрицы, причем матрица A =(для некото0 Dрой матрицы C) диагонализируема. Докажите, что тогда матрицы B, D диагонализируемы.Приведите пример, когда обратное неверно.Решение.

Легко видеть, что µA (t) — аннулирующий многочлен для B и D, откуда µB , µD |µA . Так как A диагонализируема, то по Предложению 6.57 многочлен µA (t) не имеет кратныхкорней, а значит то же верно и для µB , µD , следовательно все по тому же Предложению B и Dдиагонализируемы.!0 1Обратное, конечно, неверно: матрицадает контрпример.0 0112Задача 6.59. Пусть ϕ : V → V — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве V над полем C такой, что ϕk = idV для некоторого натурального k. Докажите, что ϕдиагонализируем.7Билинейные и квадратичные функции7.1Основные определенияПусть V — векторное пространство над полем K24 .Определение 7.1.

Билинейной функцией (или билинейной формой) на векторном пространствеV называется отображение α : V × V → K, линейное по каждому из двух своих аргументов.Пример 7.2. Скалярное произведение геометрических векторов на евклидовой плоскости или вевклидовом трехмерном пространстве.Пример 7.3. Из свойств интеграла Римана, доказывемых в курсе анализа, следует, что функцияRbα(f, g) = a f (x)g(x) dx является билинейной функцией на (бесконечномерном!) пространствеC[a, b].Пример 7.4. Функция α(A, B) = tr (AB) является билинейной функцией на пространстве матрицMatn (K).Пример 7.5. Как следует из свойств умножения матриц, для любой матрицы A ∈ Matn (K) функция α(x, y) = xT Ay является билинейной на пространстве Kn столбцов высоты n.Пример 7.6.

Ориентированная площадь параллелограмма, построенного на упорядоченной паре векторов {u, v} (псевдоскалярное произведение) на ориентированной евклидовой плоскостиявляется билинейной функцией от u и v.Пример 7.7. Пусть C 1 [a, b] — бесконечномерное линейное пространство непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a, b], а C01 [a, b] ⊂ C 1 [a, b] — линейное подпространство в нем,состоящее из функций, принимающих нулевые значения в концах отрезка. Для f, g ∈ C01 [a, b]Rbвыражение a f (x)g 0 (x) dx задает билинейную функцию на C01 [a, b].Легко проверяется, что сумма билинейных функций на V снова является билинейной функцией на V , произведение билинейной функции на скаляр снова билинейная функция. Более того,легко проверяется, что билинейные функции на V образуют линейное пространство, которое мыобозначим B(V ).Сейчас мы покажем, что при отождествлении n-мерного пространства V с пространствомстолбцов Kn с помощью выбора базиса билинейная функция на V отождествляется с билинейной функцией из Примера 7.5 (для своей матрицы A).

Более точно, каждый выбор базиса в Vопределяет некоторый линейный изоморфизм B(V ) ∼= Matn (K).Итак, пусть {e1 , . . . , en } — базис в V . Тогда из билинейности α имеемα(u, v) =Xaij ui vj ,где aij = α(ei , ej ).i,j24в какой-то момент нам потребуется условие, что в поле 2 6= 0, такие поля имеют характеристику 6= 2.113(39)PОбратно, если α(u, v) = i,j bij ui vj для любых u, v ∈ V , то α(ei , ej ) = bij , поскольку у вектораei отлична от нуля только i-я координата, равная 1, и аналогично для ej . Матрица A = (aij ) ∈Matn (K) называется матрицей билинейной функции α в базисе {e1 , . . . , en }.Легко видеть, что билинейная функция однозначно определяется набором {α(ei , ej ) | i, j =1, . . . , n} своих значений на парах базисных векторов. Кроме того, любая система из n2 скаляровявляется набором значений на парах базисных векторов некоторой билинейной функции.

Отсюда следует, что сопоставление билинейной функции ее матрицы в данном базисе определяетбиекцию между множеством билинейных функций и множеством матриц порядка n. Более того, эта биекция сохраняет линейные операции (сумме билинейных функций отвечает сумма ихматриц и т. п.). Таким образом, мы действительно построили некоторый линейный изоморфизмB(V ) ∼= Matn (K) (зависящий от базиса).Выясним теперь, как матрица билинейной функции зависит от базиса.

Пусть {e1 , . . . , en }и {e01 , . . . , e0n } — два базиса в V и C — матрица перехода от первого базиса ко второму. Тогдакоординатные столбцы x, x0 вектора u ∈ V в этих базисах связаны соотношением x = Cx0 . Имеемα(u, v) = xT Ay = (Cx0 )T A(Cy 0 ) = x0T (C T AC)y 0 = x0T A0 y 0 .Поскольку билинейная функция имеет единственную матрицу в фиксированном базисе, то матрица α во втором базисе естьA0 = C T AC.(40)Полезно сопоставить формулу (40) с аналогичной формулой (27) для матрицы линейногооператора. Мы видим, что хотя и линейный оператор и билинейная функция в базисе задаютсяматрицей, эти матрицы по-разному преобразуются при замене базиса (одинаково только когдаматрица перехода ортогональна). Это имеет важные следствия.

Например, мы видели, что определитель и след матрицы линейного оператора не зависят от базиса; для матриц билинейныхфункций это уже не так (читателю предлагается в этом убедиться).В частности, если оператор в каком-либо базисе имеет единичную матрицу, то он тождественный и в любом другом базисе он также имеет единичную матрицу.

А если билинейная функцияимеет в некотором базисе единичную матрицу, то в базисе, полученном из исходного с помощьюматрицы перехода C она будет иметь матрицу C T C, которая является единичной тогда и толькотогда, когда C ортогональна.Еще одной особенностью закона преобразования матриц билинейных функций является то,что сохраняется условие симметричности (кососимметричности) матрицы. То есть если в некотором базисе матрица билинейной функции симметрична (кососимметрична), то это верно и длялюбого другого базиса (убедитесь в этом).Определение 7.8.

Ядром билинейной функции α : V × V → K называется подпространствоKer α := {v ∈ V | α(u, v) = 0 ∀ u ∈ V } ⊂ V.Функция α называется невырожденной, если Ker α = 0.Например, скалярное произведение из Примера 7.2 является невырожденной билинейнойфункцией, поскольку для любого ненулевого вектора его скалярный квадрат положителен. По114этой же причине невырождена билинейная функция из Примера 7.3. Невырожденность билинейной функции из Примера 7.5 равносильна невырожденности матрицы A.Задача 7.9. Докажите невырожденность функций из Примеров 7.4 и 7.6.Предложение 7.10. Пусть A — матрица α в некотором базисе {e1 , .

. . , en } пространства V .Тогдаdim Ker α = n − rk A.Доказательство. Легко видеть, чтоKer α = {v ∈ V | α(ei , v) = 0, i = 1, . . . , n},то есть при отождествлении V с пространством столбцов Kn при помощи выбранного базисаподпространство Ker α отождествляется с пространством решений СЛОУ с матрицей коэффициентов A.В частности, Ker α = 0 тогда и только тогда, когда rk α = n, то есть когда матрица A невырождена.Следствие 7.11. Ранг матрицы билинейной функции не зависит от базиса.Доказательство.

Действительно, подпространство Ker α ни от каких базисов не зависит (а зависит только от самой α).Заметим, что предыдущее сведствие можно вывести и непосредственно из формулы (40),поскольку последняя показывает, что матрица A0 получается из A некоторой конечной последовательностью элементарных преобразований строк и столбцов.Доказанное следствие влечет корректность следующего определения.Определение 7.12.

Рангом билинейной функции α назыается ранг ее матрицы в произвольномбазисе. Он обозначается rk α.Пример 7.13. Пусть f1 , f2 : V → K — ненулевые линейные функции на пространстве V . Тогдабилинейная функция α(u, v) := f1 (u)f2 (v) имеет ранг 1.Задача 7.14. Докажите что наоборот, любая билинейная функция ранга 1 является произведением ненулевых линейных функций.Решение. Ядро, которое определено в Определении 7.8, естественно назвать правым ядром. Аналогично можно определить левое ядроKer0 α := {u ∈ V | α(u, v) = 0 ∀ v ∈ V } ⊂ V.Обозначим U := Ker α, W := Ker0 α. Ясно, что dim U = dim W, причем если rk α = 1, то размерности обоих ядер равны n − 1.

Могут представиться две ситуации: 1) U = W или 2) U 6= W, вэтом случае U + W = V.115В случае 1) выберем вектор v ∈/ U (= W ) и линейную функцию f : V → K, такую что ker f =U, f (v) = 1. Тогда, используя представление любого вектора из V в виде λv + z, где z ∈ U = W ,легко проверить, что α = α(v, v)f 2 (в частности, α(v, v) 6= 0).В случае 2) выберем векторы u ∈ U \ W и w ∈ W \ U (они вместе с U ∩ W порождают V ), атакже линейные функции f1 , f2 , : V → K, такие что ker f1 = W, f1 (u) = 1, ker f2 = U, f2 (w) = 1.Теперь с использованием того, что любой вектор из V представляется в виде βu + γw + z, гдеz ∈ U ∩ W , легко проверяется, что α = α(u, w)f1 f2 .Из предыдущей Задачи следует, что любая билинейная функция ранга r является суммой rпопарных произведений некоторых линейных функций.В дальнейшем мы будем интересоваться не всеми билинейными функциями, а только теми,которые удовлетворяют условию симметричности.Определение 7.15.

Характеристики

Список файлов лекций