Лекции Линал Ершов (1188212), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Каждый корень χϕ (t), принадлежащий полю K, является собственным значением ϕ, то есть ϕ имеет n = dim V различных собственных значений λ1 , . . . , λn , и каждому изних отвечает собственное подпространство Vi 6= 0, причем собственные подпространства образуPют прямую сумму. Значит, dim (V1 ⊕ . . . ⊕ Vn ) = ni=1 dim Vi ≥ n и V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vn .Пример тождественного оператора (или проектора) показывает, что предыдущее достаточноеусловие диагнализируемости не является необходимым.Пусть ϕ : V → V —линейный оператор, U ⊂ V — ϕ-инвариантное подпространство, ϕ|U : U →U — ограничение ϕ на U .Предложение 6.41. Характеристический многочлен ограничения оператора на подпространство делит характеристический многочлен самого́ оператора, χϕ|U (t) | χϕ (t).Доказательство.

Выберем базис {e1 , . . . , ek } в U и продолжим его до базиса {e1 , . . . , en } в V ,тогда матрица A оператора ϕ в нем будет иметь блочнотреугольный вид!B CA=,0 D105где B — матрица ϕ|U в базисе {e1 , . . . , ek } (см. (30)). Имеемχϕ (t) = det (A − tE) = detB − tEC0D − tE!== det (B − tE) det (D − tE) = χϕ|U (t) det (D − tE),где мы воспользовались Теоремой 3.34.Напомним, что c называется корнем кратности m многочлена p(t), если p(t) = (t − c)m q(t),где q(c) 6= 0.Назовем алгебраической кратностью собственного значения λ оператора ϕ кратность λ каккорня характеристического многочлена χϕ (t). Обозначим ее m(λ).Назовем геометрическо кратностью собственного значения λ оператора ϕ размерность соответствующего ему собственного подпространства Vλ ⊂ V. Обозначим ее g(λ).Следствие 6.42.

Для любого собственного значения λ оператора ϕ его геометрическая кратность не превосходит алгебраическую, g(λ) ≤ m(λ).Доказательство. Напомним (см. Задачу 6.28), что для любого собственного значения λ оператораϕ соответствующее собственное подпространство Vλ ϕ-инвариантно. Заметим, что ограничениеϕ|Vλ оператора ϕ на собственное подпространство Vλ является оператором умножения на λ, тоесть ϕ|Vλ = λ idVλ . Поэтому χϕ|V (t) = (t−λ)g(λ) . Согласно предыдущему Предложению (t−λ)g(λ) |λχϕ (t).Легко привести примеры операторов, у которых геометрические кратности собственных значений равны алгебраическим (тождественный, проекторы).

Следующий пример показывает, чтонеравенство в предыдущем Следствии может быть строгим.dПример 6.43. Рассмотрим оператор ϕ := dxна пространстве V := R[x]n . Легко посчитать, чтоn+1χϕ (t) = t. В то же время единственному собственному значению λ = 0 отвечает одномерноесобственное подпространство (состоящее из констант). Значит, 1 = g(λ) < m(λ) = n + 1 приn > 0.Напомним, что для многочлена p(t) ∈ K[t] степени n число его корней в поле K с учетомкратности не превосходит n, причем в точности равно n тогда и только тогда, когда все корниp(t) принадлежат K (равносильно, когда p(t) раскладывается на линейные множители над полемK).Теперь мы в состоянии доказать обещанный ранее критерий диагонализируемости.Теорема 6.44.

Для существования в V базиса из собственных векторов оператора ϕ : V → Vнеобходимо и достаточно одновременного выполнения следующих двух условий:1) все корни характеристического многочлена χϕ (t) лежат в поле K (и, значит, являютсясобственными значениями ϕ);2) для каждого собственного значения λ оператора ϕ его геометрическая кратность равнаалгебраической, g(λ) = m(λ).106Доказательство. Пусть λ1 , . . .

, λk — все различные собственные значения оператора ϕ, g1 , . . . , gk— их геометрические, а m1 , . . . , mk — алгебраические кратности. Базис из собственных векторовϕ существует тогда и только тогда, когда V = V1 ⊕ . . . ⊕ Vk , что равносильноn := dim V =kXgi(36)i=1(ср. текст после Теоремы 6.39).С другой стороны,n = deg χϕ (t) ≥kXmi ,(37)i=1причем в силу замечания перед этой Теоремой, равенство имеет место тогда и только тогда, когдавыполнено условие 1).PЕсли не выполнено условие 1), то n > ki=1 mi , а так как gi ≤ mi при i = 1, . . .

, k, то тем болееPn > ki=1 gi и значит ϕ не диагонализируем.PPЕсли не выполнено условие 2), то для какого-то i gi < mi , откуда ki=1 gi < ki=1 mi ≤ n, изначит ϕ опять не диагонализируем.Таким образом, если ϕ диагонализируем, то выполнены оба условия 1) и 2)22 .PС другой стороны, если выполнены и 1) и 2), то n = ki=1 mi и gi = mi при i = 1, . . . , k, азначит выполнено (36), что, как мы видели, равносильно диагонализируемости.Мы видим, что препятствия к диагонализируемости бывают двух типов. Первый тип связанс тем, что поле K не замкнуто алгебраически и поэтому не все корни характеристического многочлена в нем лежат.

Этот случай “лечится” расширением поля (например, поля R до поля C).Рассмотрим пример такого рода.Пример 6.45. Рассмотрим оператор ϕ :=ddxна линейной оболочкеV := hsin x, cos xiR = {α sin x + β cos x | α, β ∈ R}!0 −1над полем R. Он имеет матрицув базисе {sin x, cos x} и его характеристический много1 0член χϕ (t) = t2 +1 не имеет вещественных корней (соответственно у ϕ нет собственных векторов).Рассмотрим теперьV C := hsin x, cos xiC = {α sin x + β cos x | α, β ∈ C}— линейную оболочку тех же функций над полем C с базисом {sin x, cos x}. Таким образом,она является двумерным векторным пространством над полем C, и на ней также действует (Cd, имеющий ту же матрицу в базисе {sin x, cos x}.

Однако у ϕCлинейный) оператор ϕC = dxуже есть собственные значения i и −i, являющиеся комплексными корнями многочлена t2 + 1.Это приводит к тому, что у ϕC есть собственные векторы eix (с собственным значением i) иd αxe−ix (с собственным значением −i), поскольку dxe = αeαx для α ∈ C. Указанные экспонентыдействительно лежат в V C , так как eix = cos x+i sin x и e−ix = cos x−i sin x по формуле Эйлера. В22Здесь логически мы пользуемся одним из законов Де Моргана ¬(x ∧ y) = (¬x) ∨ (¬y).107базисе {eix , e−ix } в V C оператор ϕC имеет диагональную матрицу diag (i, −i).

Другими словами,существует матрица C ∈ Mat2 (C) (а именно, матрица перехода от базиса {cos x, sin x} к базису{eix , e−ix } в V C ) такая, что матрица!0−1C −1C1 0диагональна, но не существует такой вещественной матрицы C ∈ Mat2 (R).Другой, более “злостный” тип препятствий к диагонализируемости связан с тем, что геометрическая кратность какого-то собственного значения меньше алгебраической, в этом случаерасширение поля не поможет.

Пример такой ситуации дает оператор дифференцирования напространстве многочленов. Конечно, указанные типы препятствий могут встречаться вместе.Пусть оператор ϕ : V → V имеет матрицу A в некотором базисе {e1 , . . . , en } в V . Из предыдущего вытекает следующий алгоритм исследования ϕ на диагонализируемость. Находим характеристический многочлен χϕ (t) = det (A − tE) и выясняем, все ли его корни принадлежатполю K. Если ответ “нет”, то оператор не диагонализируем, если “да”, то для каждого корня λi(являющегося собственным значением ϕ) проверяем, верно ли равенство g(λi ) = m(λi ). Так какg(λi ) := dim Vλi = n − rk (A − λi E),то равенство g(λi ) = m(λi ) равносильно m(λi ) = n − rk (A − λi E).

Если для каждого корня λiданное равенство справедливо, то ϕ диагонализируем, в противном случае — нет.i } — базисы во всех собственных подпространствах V := V , i = 1, . . . , kПусть {v1i , . . . , vg(i)iλiоператора ϕ. Если ϕ диагонализируем, то V = V1 ⊕ . . .

⊕ Vk , и объединение указанных базисовесть базис в V , состоящий из собственных векторов оператора ϕ. В нем матрица оператора ϕ диагональна, точнее A0 = diag(λ1 , . . . , λ1 , λ2 , . . . , λ2 , . . . , λn ), где кратность вхождения λi равна g(i).Причем A0 = C −1 AC, где C — матрица перехода от исходного базиса {e1 , . . .

, en } к полученномубазису из собственных векторов.Задача 6.46. Пусть ϕ : V → V — линейный оператор. Докажите, что если ker ϕ ( ker (ϕ2 ),то ϕ не диагонализируем.Решение. Если оператор диагонализируем, то в некотором базисе его матрица диагональна. Легковидеть, что при возведении диагональной матрицы в квадрат ее диагональные элементы возводятся в квадрат, поэтому ее ранг не меняется, следовательно dim im ϕ = dim im (ϕ2 ), а значит иdim ker ϕ = dim ker (ϕ2 ).Задача 6.47. Пусть ϕ : V → V — линейный оператор. Докажите, что V = ker ϕ ⊕ im ϕ тогдаи только тогда, когда ker ϕ = ker (ϕ2 ).Задача 6.48. Напишите матрицу какого-нибудь линейного оператора ϕ на трехмерном пространстве в данном базисе, если известно, что вектор с координатами (1, 2, 3)T лежит и вядре и в образе ϕ.

Характеристики

Список файлов лекций