Лекции Линал Ершов (1188212), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Как следует из доказательства Предложения 7.21, в любом случае dim U ⊥ ≥dim V − dim U.Если подпространство U невырождено, то U ∩U ⊥ = Ker α|U = 0, значит сумма U +U ⊥ прямаяи, согласно предыдущему абзацу, dim (U ⊕ U ⊥ ) ≥ dim V , поэтому V = U ⊕ U ⊥ .Обратно, если V = U ⊕ U ⊥ , то, в частности, U ∩ U ⊥ = 0, а так как U ∩ U ⊥ = Ker α|U , тоограничение α|U невырождено.Например, как мы видели в Примере 7.24 для U = he1 + e2 i имеет место соотношение U ⊥ = Uи, значит, сумма U и U ⊥ не может быть прямой.Определение 7.26. Базис {e1 , . .

. , en } в V называется ортогональным относительно α, еслиего векторы попарно ортогональны, то есть α(ei , ej ) = 0 при i 6= j.Очевидно, что базис {e1 , . . . , en } ортогонален тогда и только тогда, когда матрица α в немдиагональна, то есть A = diag(a1 , . . . , an ). При этом билинейная и квадратичная функции имеютвидα(u, v) = a1 u1 v1 + . . .

+ an un vn , q(v) = a1 v12 + . . . + an vn2соответственно.Теорема 7.27. Для всякой симметричной билинейной функции существует ортогональныйбазис.Доказательство. Доказывать теорему будем индукцией по n = dim V. При n = 1 теорема очевидна. Пусть n > 1, тогда если α ≡ 0, то теорема очевидна. Пусть α 6≡ 0, тогда (в силу формулы(44)) qα 6≡ 0 и значит существует вектор e1 ∈ V такой, что α(e1 , e1 ) = qα (e1 ) 6= 0. Значит, одномерное подпространство U := he1 i невырождено относительно α и, согласно Предложению 7.25,V = U ⊕ U ⊥ . Поскольку dim U ⊥ = n − 1, к этому подпространству применимо предположениеиндукции: в нем существует базис {e2 , . . .

, en }, ортогональный относительно α|U ⊥ . Поскольку вектор e1 ортогонален подпространству U ⊥ , а значит каждому из векторов e2 , . . . , en , то {e1 , . . . , en }— ортогональный базис в V относительно α, и шаг индукции доказан.Задача 7.28.

Докажите, что если билинейная функция α не симметрична, то ни в какомбазисе к диагональному виду она не приводится.7.3Билинейные симметричные (квадратичные) функции над полями C и RЗаметим, что до сих пор никаких условий (кроме 2 6= 0) мы на поле K не накладывали, то естьпредыдущие результаты верны для любого поля характеристики, не равной 2. Дальнейшее более120тонкое исследование проведем для случаев K = C или R. Общий случай сложен: для поля Q,например, классификация квадратичных функций связана с тонкими вопросами теории чисел.Итак, к настоящему моменту мы нашли базис {e1 , .

. . , en } в V , в котором квадратичная функция имеет видq(v) = a1 v12 + . . . + an vn2 ,где ai = q(ei ). Путем перестановки базисных векторов можно добиться того, чтобы нулевыекоэффициенты ai (если они есть) стояли бы в конце.Если ai 6= 0, то замена ei 7→ e0i = λei , λ 6= 0 приводит к замене a0i = λ2 ai , то есть ai и a0iотличаются умножением на квадрат ненулевого числа. Для K = C все ненулевые числа являютсятакими квадратами, поэтому, умножая базисные векторы на подходящие ненулевые скаляры,можно добиться, чтобы в новом базисеq(v) = v102 + . .

. + vr02 ,(46)где r = rk α (количество ненулевых ai ).Для K = R квадраты ненулевых чисел — в точности положительные числа, поэтому умножением базисного вектора на подходящее ненулевое число мы можем модуль |ai |, ai 6= 0 сделатьравным 1, но при этом знак ai изменить не можем. Поэтому для K = R мы можем добиться,чтобыkk+lXX02vj02(47)q(v) =vi −i=1j=k+1где k + l = r = rk α.Определение 7.29. Нормальным видом квадратичной функции над полем C (соответственнонад R) называется вид (46) (соответственно (47)).Предложение 7.30. Для произвольной квадратичной функции q на векторном пространствеV над полем C (соответственно R) существует базис в V , в котором она записывается внормальном виде (46) (соответственно (47)).Переформулируем полученный результат в терминах матриц.Следствие 7.31.

Для произвольной симметричной матрицы A с элементами из поля C (соответственно R) существует невырожденная матрица C с элементами из соответствующегополя такая, что C T AC = A0 = diag(a1 , . . . , an ), где ai = 1 или 0 в случае поля C и ±1 или 0 вслучае поля R.Доказательство следует непосредственно из предыдущего Предложения и формулы (40).За исключением тривиальных случаев, имеется много базисов, в котором данная квадратичная функция имеет нормальный вид. Возникает вопрос: однозначно ли он определен для даннойквадратичной функции? Ясно, что путем перестановки базисных векторов можно менять порядокрасположения диагональных элементов в матрице квадратичной функции, поэтому инвариантный смысл может иметь только общее количество тех или иных элементов в диагональном виде(единиц и нулей для C, единиц, минус единиц и нулей для R).121Ясно, что количество единиц в нормальном виде квадратичной функции над C равно ее рангуи поэтому не зависит от выбора базиса (см.

Следствие 7.11). То же относится к сумме k + lколичества плюс и минус единиц (см. (47)) для нормального вида квадратичной функции надR. Мы собираемся доказать более тонкий результат: числа k и l в нормальном виде (47) и поотдельности не зависят от базиса.Итак, пусть K = R.Определение 7.32. Вещественная квадратичная функция q : V → R называется положительноопределенной, если q(v) > 0 для любого v ∈ V, v 6= 0. Вещественная билинейная симметричнаяфункция α называется положительно определенной, если соответствующая ей квадратичнаяфункция qα положительно определена.

Аналогично определяются отрицательно определенныевещественные квадратичные и симметричные билинейные функции.Вещественная квадратичная функция q : V → R (и соответствующая ей билинейная симметричная функция) называется положительно полуопределенной, если q(v) ≥ 0 для любого v ∈ V.Аналогично определяются отрицательно полуопределенные функции.Помимо положительно и отрицательно (полу)определенных квадратичных функций, естьнеопределенные функции, которые могут принимать как положительные, так и отрицательныезначения. Такая функция используется, например, в математической модели специальной теорииотносительности (метрика Лоренца).Заметим, что если dim V = n, то положительно определенная квадратичная функция наPn2V имеет нормальный вид q(v) =i=1 vi и ее матрица в соответствующем (ортонормированном) базисе есть A = E.

Тогда в любом другом базисе A0 = C T AC = C T C, в частности,det A0 = (det C)2 > 0. Отсюда следует важный вывод: определитель матрицы положительно определенной функции в произвольном базисе положителен. Более общо, знак определителяневырожденной вещественной квадратичной функции не зависит от базиса.Теорема 7.33.

Число k в нормальном виде (47) произвольной вещественной квадратичнойфункции q есть максимальная размерность подпространства, на котором q положительноопределена.Доказательство. Ясно, что q положительно определена на линейной оболочке he1 , . . . , ek i первыхk векторов того базиса, в котором она имеет вид (47). Пусть U — произвольное подпространствов V на котором q положительно определена и W := hek+1 , . . .

, en i. Так как q(w) ≤ 0 для произвольного w ∈ W, а q(u) > 0 для u ∈ U, u 6= 0, то U ∩ W = 0, откуда dim U ≤ k (в самом деле,поскольку сумма U + W — подпространство в V , то dim (U + W ) = dim U + n − k ≤ dim V = n).Аналогично доказывается, что число l в нормальном виде (47) равно максимальной размерности подпространства, на котором q отрицательно определена.

(Для доказательства последнего факта можно воспользоваться также следующим очевидным соображением: q положительноопределена тогда и только тогда, когда −q отрицательно определена).Следствие 7.34. (“Закон инерции”). Числа k и l в нормальном виде (47) вещественной квадратичной функции q не зависят от выбора базиса, в котором функция q имеет нормальныйвид.122Числа r+ := k и r− := l называются соответственно положительным и отрицательныминдексами инерции вещественной квадратичной функции q. Они связаны соотношением r+ +r− =r = rk q.

Набор (r+ , r− ) называют еще сигнатурой вещественной квадратичной функции q (илисоответствующей билинейной симметричной функции αq ).Ранг в случае комплексной, а также положительный и отрицательный индексы инерции вслучае вещественной квадратичной функции на n-мерном пространстве V являются полныминаборами инвариантов в следующем смысле: если даны две такие функции с одинаковыми наборами инвариантов, то существует замена базиса, переводящая первую функцию во вторую.Пример 7.35. Найдем положительный и отрицательный индексы инерции для вещественнойквадратичной функции q(v) = v1 v2 на двумерном пространстве.

Характеристики

Список файлов лекций