Лекции Линал Ершов (1188212), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Тоесть любое евклидово n-мерное пространство изоморфно данному (причем изоморфизм линейных пространств сохраняет также скалярные произведения). В обозначениях Предложения 4.48полученный результат можно переписать так: выбор ортонормированного базиса e в V задает−такой линейный изоморфизм ϕe : V → Rn (заметим, что ϕe (v) — то же что и →v выше), чтоTα(u, v) = ϕe (u) ϕe (v).Еще раз отметим, что, выбирая ортонормированный базис в n-мерном евклидовом пространстве (V, α), мы отождествляем его с евклидовым пространством из Примера 8.3.Пример 8.4. Пусть V = Rn , и для произвольных столбцов x, y ∈ V зададим их скалярное произведение как (x, y) = xT Gy, где G — произвольная симметричная положительно определеннаяматрица26 порядка n. Тогда данная пара является евклидовым пространством.На первый взгляд, это — более общий пример n-мерного евклидова, чем предыдущий.
Однакоэто не так. А именно, в Rn можно найти такой базис (то есть такой набор базисных столбцов),что относительно него заданное выше скалярное произведение будет задаваться формулой изПримера 8.3. Это просто следствие того факта, что в любом евклидовом пространстве существуетортонормированный базис. В нашем случае это означает, что можно найти такой набор столбцов{c1 , . . . , cn }, что cTi Gcj = δij , 1 ≤ i, j ≤ n.Пусть C — матрица, составленная из этих столбцов, то есть матрица перехода от стандартногобазиса к базису {c1 , .
. . , cn }. Тогда C T GC = E, откуда G = (C −1 )T EC −1 . Мы видим, что матрицаG является матрицей скалярного произведения в базисе, который получается из ортонормированного с помощью матрицы перехода C −1 . Поскольку любая невырожденная матрица порядкаn является матрицей перехода от данного базиса в n-мерном пространстве, мы видим, что любаяположительно определенная матрица порядка n является матрицей скалярного произведенияевклидова n-мерного пространства в некотором базисе.Пример 8.5. Пусть V = Matn (R), для матриц X, Y ∈ V определим их скалярное произведение(X, Y ) как tr (X T Y ). Читателю предлагается проверить, что это — действительно скалярное проPизведение. Заметим, что tr (X T Y ) = ni,j=1 xij yij , это показывает, что базис в V , состоящий изматричных единиц (произвольным образом упорядоченных), является ортонормированным.Наконец, приведем пример бесконечномерного евклидова пространства.Пример 8.6.
Пусть V = C[0, 1] — пространство непрерывных вещественнозначных функций наR1отрезке [0, 1]. Определим скалярное произведение функций формулой (f, g) = 0 f (x)(g(x) dx. Читатель легко убедится, что так определенная функция V × V → R является билинейной, симметричной и положительно определенной. Таким образом, данная пара — евклидово пространство.Легко видеть, что ограничение положительно определенной билинейной симметричной функциина любое подпространство также обладает данными свойствами, поэтому, скажем, подпростран26то есть матрица положительно определенной билинейной симметричной функции.
Как мы помним, условиеположительной определенности в силу критерия Сильвестра равносильно положительности всех угловых миноров.134ство многочленов R[x]n ⊂ V с указанным скалярным произведением также является (на это разконечномерным) евклидовым пространством.8.2Ортогональное дополнение к подпространствуПродолжим выводить следствия из общих результатов о билинейных функциях.Пусть U ⊂ V — произвольное подпространство евклидова пространства V . Так как ввиду положительной определенности скалярное произведение невырождено, из Предложения 7.21 получаем, что dim U ⊥ = dim V − dim U и (U ⊥ )⊥ = U , а так как ограничение скалярного произведенияна подпространство U ⊂ V невырождено, из Предложения 7.25 — что V = U ⊕U ⊥ .
Значит, любойвектор v ∈ V единственным образом представляется в виде суммы u + w, где u ∈ U, w ∈ U ⊥ .Вектор u называется ортогональной проекцией v на U и обозначается prU (v), а вектор w — ортогональной составляющей вектора v относительно подпространства U и обозначается ortU (v). Тоесть, в нашей прежней терминологии, prU (v) — проекция v на подпространство U параллельноего ортогональному дополнению U ⊥ , а ortU (v) — проекция v на U ⊥ параллельно U .В частности, линейный оператор prU : V → V , сопоставляющий произвольному вектору v ∈ Vего ортогональную проекцию prU (v) на подпространство U ⊂ V , называется ортогональным проектором на U .
Это — частный случай проектора, когда проектирование происходит параллельноортогональному дополнению.Задача 8.7. Пусть V — евклидово пространство из Примера 8.5. Докажите, что ортогональное дополнение к подпространству Mat+n (R) ⊂ V симметрических матриц совпадает с подпро−странством Matn (R) ⊂ V кососимметрических матриц, и наоборот, ортогональное дополнениек подпространству Mat−n (R) ⊂ V кососимметрических матриц совпадает с подпространством+Matn (R) ⊂ V симметрических матриц.Решение. Покажем, что кососимметрическая матрица Y ортогональна любой симметрическойматрице X.
В самом деле,(X, Y ) = tr (X T Y ) = tr (XY ) = tr (Y X) = −tr(Y T X) = −(Y, X),+⊥откуда (X, Y ) = 0. Значит, Mat−n (R) ⊂ (Matn (R)) . С другой стороны, эти два подпространства имеют одинаковые размерности. Поэтому они совпадают. Второе утверждение проще всеговывести из доказанного с использованием (U ⊥ )⊥ = U.Пусть V — евклидово n-мерное пространство, U ⊂ V — его подпространство, которое является линейной оболочкой hu1 , .
. . , uk i некоторой системы векторов ui , i = 1, . . . , k из V . Тогдаортогональное дополнение U ⊥ задается системой уравненийU ⊥ = {w ∈ V | (ui , w) = 0, i = 1, . . . , k}.Если a1 , . . . , ak ∈ Rn — координатные столбцы векторов u1 , . . . , uk относительно некоторого ортонормированного базиса пространства V , то U ⊥ в этом базисе задается СЛОУ AT x = 0.
Если Φ —фундаментальная матрица этой СЛОУ, то ее столбцы образуют некоторый базис в U ⊥ . ПоэтомуСЛОУ ΦT y = 0 задает подпространство (U ⊥ )⊥ = U , то есть линейную оболочку столбцов матрицы A. Таким образом, мы получаем новое доказательство (и интерпретацию) Теоремы 4.44 (в135случае поля R). Отметим, что при этом связь между rk A и размерностью пространства решенийсистемы Ax = 0 превращается в результат о связи размерностей U и U ⊥ .Пусть в подпространстве U ⊂ V евклидова пространства V задан ортонормированный базис{e1 , .
. . , ek }. Тогда для любого v ∈ V его ортогональная проекция prU (v) задается формулойprU (v) =kX(v, ei )ei .i=1Pk⊥ (а значит этаДействительно,i=1 (v, ei )ei ∈ Ui=1 (v, ei )ei — такой вектор из U , что v −разность есть ortU (v)). В самом деле,!kXv−(v, ei )ei , ej = (v, ej ) − (v, ej ) = 0 при j = 1, . . . , k.Pki=1В случае, когда дан только ортогональный базис {f1 , . . . , fk } в U , ортогональная проекция prU (v)находится по формулеkX(v, fi )prU (v) =fi ,(48)|fi |2i=1в чем читатель легко убедится самостоятельно.8.3Описание линейных функций на евклидовом пространствеСкалярное произведение является билинейной функцией, поэтому если зафиксировать один изего аргументов, получится линейная функция.
Оказывается, так можно получить любую линейную функцию на конечномерном евклидовом пространстве.Предложение 8.8. Для любой линейной функции f на евклидовом пространстве V существует такой единственный вектор w ∈ V , что f (v) = (v, w) ∀ v ∈ V.Доказательство. Скалярное произведение (v, w) как функция от вектора v ∈ V при фиксированном w ∈ V является линейной функцией на V .
Рассмотрим отображениеg : V → V ∗,g(w) = (·, w).Его линейность следует из линейности скалярного произведения по второму аргументу. Такимобразом, g — линейное отображение между пространствами одинаковой размерности. Чтобы доказать, что g — изоморфизм, достаточно убедиться в его инъективности. Если g(w) = 0 каклинейная функция, то ∀ v ∈ V (v, w) = 0, тогда, полагая v = w, получаем |w| = 0, то есть w = 0.В частности, g биективно, что равносильно утверждению доказываемого Предложения.Таким образом, в отличие от общих линейных пространств, для (конечномерного) евклидова пространства V существует канонический (не зависящий от базиса, а только от скалярногопроизведения) изоморфизм g : V → V ∗ .Задача 8.9.
Докажите, что построенный изоморфизм g : V → V ∗ имеет единичную матрицув паре базисов, состоящей из ортонормированного базиса в V и биортогонального к нему базисав V ∗.Заметим, что для евклидовых пространств есть также канонический изоморфизм между пространствами линейных операторов и билинейных функций, который мы опишем в разделе 9.4.1368.4Матрица Грама и неравенство Коши-БуняковскогоОпределение 8.10. Матрицей Грама G(v1 , . . . , vk ) системы векторов {v1 , . .
. , vk } евклидова пространства V называется матрица G = (gij ), gij = (vi , vj ), составленная из их попарных скалярныхпроизведений.В частности, матрица скалярного произведения (как билинейной функции) в базисе{e1 , . . . , en } называется матрицей Грама этого базиса.Предложение 8.11. Для любой системы векторов {v1 , . . . , vk } евклидова пространства V выполнено неравенство det G(v1 , . . . , vk ) ≥ 0, причем равенство нулю имеет место тогда и толькотогда, когда система {v1 , .
. . , vk } линейно зависима.Доказательство. Если система {v1 , . . . , vk } линейно независима, то она является базисом в своей линейной оболочке U := hv1 , . . . , vk i. Ограничение скалярного произведения на любое подпространство U ⊂ V положительно определено, откуда (например, по критерию Сильвестра)det G(v1 , . . . , vk ) > 0.PЕсли система {v1 , .
. . , vk } линейно зависима, то пусть ki=1 λi vi = 0 — нетривиальная линейнаязависимость. Скалярно умножая левую и правую части этого равенства на векторы vj , 1 ≤ j ≤Pkk, получаемi=1 λi (vi , vj ) = 0, 1 ≤ j ≤ k, что дает линейную зависимость между строкамиматрицы G(v1 , . . . , vk ) с теми же коэффициентами.Ключом к геометрии евклидова пространства является неравенство Коши-Буняковского.Теорема 8.12.
Для любых двух векторов u, v евклидова пространства V имеет место неравенство |(u, v)| ≤ |u||v|, причем оно превращается в равенство тогда и только тогда, когдавекторы u и v линейно зависимы.Доказательство. 1-й способ. Согласно предыдущему Предложению,!(u, u) (u, v)det= |u|2 |v|2 − (u, v)2 ≥ 0,(v, u) (v, v)причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда u и v линейно зависимы.2-й способ. Если u = 0, то, с одной стороны, для любого v векторы u и v линейно зависимы,с другой стороны, неравенство Коши-Буняковского, очевидно, превращается в равенство.
Еслиu 6= 0, рассмотрим квадратный трехчлен(tu + v, tu + v) = |u|2 t2 + 2(u, v)t + |v|2 ,который принимает неотрицательные значения для любого t ∈ R. Значит, его дискриминантнеположителен, то есть (u, v)2 − |u|2 |v|2 ≤ 0, причем u и v линейно зависимы тогда и толькотогда, когда трехчлен имеет вещественный корень, что эквивалентно тому, что дискриминантравен нулю.Задача 8.13. Докажите, что для любых непропорфиональных функций f, g ∈ C[0, 1] вернонеравенствоZ 12 Z 1Z 12f (x) dxg 2 (x) dx.f (x)g(x) dx <001370В частности, для непрерывной функции f 6= constZ 12 Zf (x) dx <01f (x)2 dx.0Следствие 8.14. (Неравенство треугольника). Для любых двух векторов u и v евклидова пространства|u + v| ≤ |u| + |v|.Доказательство.(u + v, u + v) = |u|2 + 2(u, v) + |v|2 ≤ |u|2 + 2|u||v| + |v|2 = (|u| + |v|)2 .Из неравенства треугольника следует, что для любых трех векторов u, v, w евклидова пространства V имеет место неравенство|u − w| ≤ |u − v| + |v − w|.(49)Наличие скалярного произведения позволяет измерять углы и расстояния в евклидовом пространстве.Пусть u, v 6= 0 — векторы евклидова пространства V .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
