Лекции Линал Ершов (1188212), страница 40

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 40)

Такой оператор назовем ассоциированным с соответствующей билинейной функцией.Пусть {e1 , . . . , en } — некоторый базис в V , в котором евклидово скалярное произведение (·, ·)имеет матрицу Грама G, билинейная форма h — матрицу H, а оператор ϕh — матрицу A = Aϕ .−−Кроме того, пусть →u, →v — координатные столбцы векторов u, v. Тогда (54) переписывается ввиде→−−−−−−u T H→v =→u T GA→v ∀→u, →v ⇔ H = GA ⇔ A = G−1 H.(55)В частности, если базис ортонормированный, то G = E, а значит, A = H.9.5Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператораПредложение 9.12. Пусть ϕ : V → V — самосопряженное преобразование евклидова пространства V , dim V > 0.

Тогда у ϕ существует собственный вектор.В этом разделе мы приведем доказательство этого результата с использованием теоремы анализа о том, что непрерывная функция на компакте достигает нижней грани своих значений (тоесть имеет минимум). Читатель, предпочитающий алгебраической доказательство (с помощьюсуществования одномерного или двумерного инвариантных подпространств) может найти его вДобавлении в конце главы, а затем перейти к Теореме 9.14.Для доказательства нам понадобится следующая лемма.Лемма 9.13. Пусть ψ : V → V — самосопряженное преобразование такое, что (v, ψ(v)) ≥ 0 ∀ v ∈V. Тогда любой e ∈ V такой, что (e, ψ(e)) = 0, лежит в ядре ψ.Доказательство Леммы. Рассмотрим векторы вида v = e + tu, где t ∈ R, а u — произвольныйвектор из V . Имеем(e + tu, ψ(e + tu)) = (e, ψ(e)) + t((u, ψ(e)) + (e, ψ(u))) + t2 (u, ψ(u)) == (u, ψ(u))t2 + 2(u, ψ(e))t ≥ 0 ∀ t ∈ R(выше мы воспользовались билинейностью и симметричностью скалярного произведения, условием (e, ψ(e)) = 0 и самосопряженностью оператора ψ).

То есть мы получили выражение видаat2 + bt,a, b ∈ R,которое при любом t ∈ R неотрицательно. Если при этом b =6 0, то выражение at2 + bt = (at +b)t меняет знак при t = 0, противоречие. Следовательно, (u, ψ(e)) = 0 ∀ u ∈ V, откуда изневырожденности скалярного произведения ψ(e) = 0.Доказательство Предложения. Ассоциируем с самосопряженным оператором ϕ : V → V билинейную функцию h = hϕ на V по формуле (54)h(u, v) = (u, ϕ(v)) ∀ u, v ∈ V.151Согласно Предложению 9.11, из самосопряженности ϕ следует, что h симметрична. Пусть q : V →R — соответствующая h квадратичная форма, q(v) = h(v, v) = (v, ϕ(v)) ∀ v ∈ V. Легко видеть,что q — непрерывная функция на V относительно стандартной топологии на V (то есть топологииV как метрического пространства, см. раздел 8.6). Например, при выбранном базисе в V формаq — однородный многочлен второй степени от соответствующих координат.ПустьS(V ) := {v ∈ V | |v| = 1}— единичная сфера пространства V .

Это — замкнутое (как множество нулей непрерывной функPции ni=1 x2i − 1, где xi , i = 1, . . . , n — координаты относительно ортонормированного базиса)и ограниченное, а значит компактное подмножество в Rn ∼= V. Согласно известной теореме изанализа, ограничение функции q на S(V ) достигает нижней грани своих значений. Пустьλ0 := min q(v) и q(e) = λ0 , e ∈ S(V ).v∈S(V )Тогда для любого v ∈ S(V ) верно неравенство q(v) ≥ λ0 (v, v), а значит последнее неравенствовыполнено и для любого v ∈ V . (Действительно, для v = 0 оно очевидно, а для v 6= 0 ∃единственный u ∈ S(V ) такой, что v = tu, t > 0 и q(v) = t2 q(u), (v, v) = t2 (u, u)).Имеемq(v) − λ0 (v, v) = (v, ϕ(v)) − (v, λ0 v) = (v, ϕ(v) − λ0 v) == (v, (ϕ − λ0 idV )(v)) ≥ 0 ∀ v ∈ V.Пусть ψ := ϕ − λ0 idV , тогда последнее неравенство перепишется в виде (v, ψ(v)) ≥ 0 ∀ v ∈ V.Кроме того, легко видеть, что для e ∈ S(V ) равенство q(e) = λ0 равносильно (e, ψ(e)) = 0.Применяя теперь Лемму к самосопряженному преобразованию ψ и вектору e, получаем ψ(e) = 0,то есть ϕ(e) = λ0 e, значит e — собственный вектор преобразования ϕ с собственным значениемλ0 (он ненулевой, поскольку принадлежит единичной сфере).Теперь мы в состоянии доказать основную теорему о самосопряженных преобразованиях.Теорема 9.14.

Для любого самосопряженного преобразования ϕ : V → V существует ортонормированный базис в V , состоящий из его собственных векторов.Доказательство. Индукция по n = dim V. Случай n = 1 очевиден. Пусть n > 1. Согласнопредыдущему предложению, у ϕ в V есть собственный вектор v; без ограничения общности можносчитать, что |v| = 1. Подпространство U := hvi ⊂ V является ϕ-инвариантным, по Следствию 9.9n − 1-мерное подпространство U ⊥ ⊂ V также ϕ-инвариантно.

Легко проверить, что ограничениеϕ|U ⊥ является самосопряженным преобразованием U ⊥ . По предположению индукции для ϕ|U ⊥в U ⊥ существует ортонормированный базис из собственных векторов; добавляя к нему вектор v,получаем ортонормированнный базис в V , состоящий из собственных векторов оператора ϕ.Таким образом, самосопряженные преобразования евклидова пространства суть в точноститакие преобразования, которые диагонализируются в некотором ортонормированном базисе.Доказанная теорема вместе с доказательством Предложения дают алгоритм поиска собственных векторов и собственных значений самосопряженного оператора.

А именно, ассоциируем с152таким оператором квадратичную форму, как было сделано в доказательстве Предложения. Тогда наименьшее собственное значение равно минимуму этой квадратичной формы на единичнойсфере, и точка сферы, в которой этот минимум достигается, является соответствующим собственным вектором. Далее берем ортогональное дополнение к одномерному подпространству,порожденному данным вектором и ищем минимум квадратичной формы на нем и т.д.−Пример 9.15. Рассмотрим квадратичную форму q(→x ) = x2 + x x + x2 , заданную в ортонормиро11 22ванном базисе двумерного евклидова пространства. Ее минимум (соотв.

максимум) на единичнойсфере x21 + x22 = 1 достигается в точке, в которой x1 x2 принимает минимальное (соотв. максимальное) значение при условии x21 + x22 = 1. Легко видеть, что эта точка имеет координаты√√√√±(1/ 2, −1 2)T и минимальное значение q равно 1/2 (соотв. ±(1/ 2, 1 2)T и максимальноезначение q равно 3/2). Тот же результат мы получим, решая задачу на! собственные значения1 1/2и собственные векторы для оператора, заданного матрицей(матрицы квадратич1/2 1ной формы и ассоциированного с ней самосопряженного оператора совпадают, поскольку базисортонормированный).Заметим также, что если для положительно определенной квадратичной формы q ее минимумна единичной сфере равен λ0 и достигается на векторе v0 ∈ S(V ), то v0 — направляющий вектор√большой полуоси эллипсоида q(v) = 1, которая равна 1/ λ0 .

То же для максимума и малой√2 + x x + x2 = 1 равна2полуоси. Таким образом, в нашем примере большаяполуосьэллипсаx1212qи направлена по вектору (1, −1)T , а малая равна 23 и ее направление задается вектором (1, 1)T .Ниже мы еще вернемся к применению самосопряженных операторов к теории квадратичныхформ в евклидовом пространстве.Следствие 9.16. Для любой симметричной матрицы A ∈ Matn (R) существует ортогональнаяматрица C ∈ Matn (R) такая, что C T AC = diag(λ1 , . . .

, λn ). В частности, все корни характеристического многочлена вещественной симметричной матрицы вещественны.Доказательство. Рассмотрим n-мерное евклидово пространство V , фиксируем в нем ортонормированный базис и определим линейное преобразование ϕ : V → V как такое преобразование,которое имеет матрицу A в выбранном базисе. Из симметричности A следует, что ϕ самосопряжено.

По доказанной теореме для ϕ существует ортонормированный базис из собственных векторов,в этом базисе матрица ϕ диагональна (на главной диагонали стоят его собственные значения).Если C — матрица перехода от исходного ортонормированного базиса к базису из собственныхвекторов, то она ортогональна и C −1 AC = diag(λ1 , . . .

, λn ). Для завершения доказательства осталось лишь вспомнить определение ортогональной матрицы C −1 = C T .Предложение 9.17. Собственные подпространства Vλ , Vµ самосопряженного преобразованияϕ : V → V , отвечающие разным собственным значениям λ 6= µ, ортогональны: Vλ ⊥ Vµ .Доказательство. Пусть u ∈ Vλ , v ∈ Vµ . Тогдаλ(u, v) = (ϕ(u), v) = (u, ϕ(v)) = µ(u, v),то есть (λ − µ)(u, v) = 0. Поскольку λ − µ 6= 0, то (u, v) = 0.153Таким образом, для самосопряженного преобразования ϕ : V → V существует разложениеV = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ .

. . ⊕ Vλs пространства V в ортогональную прямую сумму собственных подпространств (единственное при условии λ1 < λ2 < . . . < λs ), причем ограничение ϕ на Vλi действуеткак скалярный оператор умножения на λi : для v = v1 + v2 + . . . + vs с vi ∈ Vλiϕ(v) = λ1 v1 + λ2 v2 + .

. . + λs vs .Данный результат удобно записывать в видеϕ = ⊕si=1 λi idVλi .(56)Поясним последнюю запись. Если V = U ⊕ W и заданы линейные операторы ϕ : U → Uψ : W → W, то линейный оператор ϕ ⊕ ψ : V → V (прямая сумма линейных операторов ϕ иψ) определяется следующим образом. Если v = u + w, где u ∈ U, w ∈ W, то по определению(ϕ ⊕ ψ)(v) = ϕ(u) + ψ(w), причем снова ϕ(u) ∈ U, ψ(w) ∈ W. Заметим, что если A — матрицаоператора ϕ в некотором базисе e пространства U , а B — матрица ψ относительно базиса f в W ,то матрицей ϕ! ⊕ ψ относительно базиса в V , полученном объединением данных базисов U и WA 0будет.0 BНапомним (см.

Пример 6.4), что проекторами называются операторы ϕ, удовлетворяющиетождеству ϕ2 = ϕ.Задача 9.18. Опишите проекторы на евклидовом пространстве, которые являются самосопряженными преобразованиями.Решение. В Примере 6.4 было показано, что всякий проектор, то есть оператор ϕ : V → V, удовлетворяющий соотношению ϕ2 = ϕ, является оператором проектирования на подпространствоU := im ϕ параллельно подпространству W := ker ϕ. Одновременно подпространства U и W (вслучае, если они ненулевые) являются собственными подпространствами оператора ϕ с собственными значениями соответственно 1 и 0. Так как собственные подпространства самосопряженногооператора, отвечающие разным собственным значениям, ортогональны, то необходимым условием самосопряженности проектора является ортогональность U и W , откуда (ввиду V = U ⊕ W )W = U ⊥ . В этом случае проектор есть оператор ортогонального проектирования на подпространство U ⊂ V.

Характеристики

Список файлов лекций