Лекции Линал Ершов (1188212), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Действительно, выше мы “обосновали”, чтоdet G равен квадрату n-мерного объема параллелепипеда, построенного на базисе {e1 , . . . , en }. Поδkтем же причинам δk есть квадрат k-мерного объема Vol (e1 , . . . , ek ). Тогда равенство |fk |2 = δk−1означает в точности то, что написано выше.Полученный результат позволяет получить явную формулу для расстояния от вектора доподпространства. Пусть U ⊂ V — подпространство евклидова пространства V и v ∈ V — произвольный вектор.
Пусть {e1 , . . . , ek } — произвольный базис в U . Тогдаρ(v, U )2 =8.8det G(e1 , . . . , ek , v).det G(e1 , . . . , ek )Описание ортонормированных базисовПусть V — евклидово n-мерное пространство, e := {e1 , . . . , en } — некоторый ортонормированныйбазис в нем (мы знаем, что он существует), e0 := {e01 , . . . , e0n } — еще какой-то базис в V и C —матрица перехода от e к e0 . Тогда матрица Грама базиса e0 равна Ge0 = C T C.
Таким образом,базис e0 тоже ортонормированный тогда и только тогда, когда C T C = E, или, что равносильно,C T = C −1 .Определение 8.19. Квадратная вещественная матрица C называется ортогональной, еслиC T C = E.Если рассмотреть матрицу C как совокупность столбцов (c1 , . . . , cn ), то условие ортогональности равносильно тому, что эти столбцы образуют ортонормированный базис в Rn относительностандартного скалярного произведения: cTi cj = δij . Очевидно, что условие ортогональности матрицы C можно также переписать в виде CC T = E, что дает аналогичное условие для строк.Заметим, что определитель любой ортогональной матрицы равен ±1.
Конечно, это условиене является достаточным условием ортогональности матрицы.Задача 8.20. Покажите, что ортогональныематрицы!порядка 2 распадаются на два непе!cos α − sin αcos α sin αресекающихся класса:и. Матрицы первого типа являютсяsin α cos αsin α − cos αматрицами перехода между одинаково ориентированными, а второго — противоположно ориентированными ортонормированными базисами.Предложение 8.21. Зафиксируем ортонормированный базис e := {e1 , . .
. , en } в евклидовом пространстве V . Тогда сопоставление e0 7→ Ce0 базису e0 матрицы перехода Ce0 к нему от фиксированного базиса e определяет биекцию между ортонормированными базисами в V и ортогональными матрицами порядка n.Доказательство. Так как матрица перехода однозначно задается указанием упорядоченной парыбазисов, описанное в условии Предложения отображение корректно определено. Оно инъективно, так как базис e0 однозначно определяется указанием базиса e и матрицы перехода Ce0 .
Оносюръективно, так как произвольная ортогональная матрица является матрицей перехода от фиксированного ортонормированного базиса e к некоторому ортонормированному.142Задача 8.22. Покажите, что ортогональные матрицы данного порядка n образуют группу(она стандартно обозначается O(n)). Как этот результат связан с интерпретацией ортогональных матриц как матриц перехода между ортонормированными базисами?8.9Изоморфизмы евклидовых пространствПусть V и U — евклидовы пространства со скалярными произведениями (·, ·)V и (·, ·)U .Определение 8.23. Линейное отображение ϕ : V(ϕ(v1 ), ϕ(v2 ))U = (v1 , v2 )V ∀v1 , v2 , ∈ V.→U называется изометрией, еслиТо есть изометрия сохраняет скалярные произведения, в частности, длины векторов и углымежду ними. Также ясно, что она ортонормированный базис в V переводит в ортонормированнуюсистему векторов в U .
Уже отсюда понятно, что любая изометрия инъективна. Покажем это подругому: пусть v ∈ ker ϕ. Тогда 0 = (ϕ(v), ϕ(v))U = (v, v)V = |v|2 , откуда v = 0.Заметим, что требование линейности в определении изометрии лишнее.Задача 8.24. Отображение между евклидовыми пространствами ϕ : V → U такое, что(ϕ(v1 ), ϕ(v2 ))U = (v1 , v2 )V ∀v1 , v2 , ∈ V , является линейным.Решение. Положим w := v1 + v2 .0 = |w − v1 − v2 |2 = |w|2 + |v1 |2 + |v2 |2 + 2(v1 , v2 ) − 2(v1 , w) − 2(v2 , w) =|ϕ(w)|2 + |ϕ(v1 )|2 + |ϕ(v2 )|2 + 2(ϕ(v1 ), ϕ(v2 )) − 2(ϕ(v1 ), ϕ(w)) − 2(ϕ(v2 ), ϕ(w)) == |ϕ(w) − ϕ(v1 ) − ϕ(v2 )|2 ,откуда ϕ(v1 + v2 ) = ϕ(v1 ) + ϕ(v2 ). Аналогично проверяется, что ϕ(λv) = λϕ(v).Определение 8.25.
Биективная изометрия между евклидовыми пространствами называетсяизоморфизмом евклидовых пространств.Два евклидовых пространства называются изоморфными, если между ними есть изоморфизм.Заметим, что любой изоморфизм евклидовых пространств является линейным изоморфизмом,который вдобавок является изометрией. В частности, если два евклидовых пространства изоморфны, то у них обязательно одинаковые размерности.Предложение 8.26. Два евклидовых пространства изоморфны тогда и только тогда, когдаони имеют одинаковую размерность.Доказательство.
В силу сделанного выше замечания достаточно доказать, что евклидовы пространства V и U одинаковой размерности изоморфны. Построим изометрию между ними следующим образом: выберем ортонормированный базис {e1 , . . . , en } в V и такой же базис {f1 , . . . , fn }в U и определим линейное отображение ϕ : V → U условием ϕ(ei ) = fi , i = 1, . .
. , n. Это — линейный изоморфизм, который, как легко убедится читатель, используя билинейность скалярногопроизведения, является также изометрией.143Доказанное Предложение свидетельствует о том, что геометрические свойства евклидовыхпространств одинаковой размерности одни и те же, поэтому в качестве “модельного” n-мерногоевклидова пространства можно взять пространство столбцов Rn со стандартным скалярным произведением.Изоморфизмы евклидова пространства на себя называются ортогональными преобразованиями, их мы изучим позже.8.10QR-разложениеПредложение 8.27.
Для любой невырожденной вещественной матрицы A существуют единственные ортогональная матрица Q и верхняя треугольная матрица R с положительнымиэлементами на главной диагонали такие, что A = QR.Доказательство. Пусть Rn — пространство столбцов со стандартным скалярным произведением.Рассмотрим A как совокупность столбцов (a1 . . . an ), ai ∈ Rn . Пусть E = (e1 . .
. en ) — единичнаяматрица (ее столбцы образуют стандартный ортонормированный базис в Rn ). Тогда A являетсяматрицей перехода от {e1 , . . . , en } к {a1 , . . . , an }, то есть(a1 . . . an ) = (e1 . . . en )A.Пусть {q1 , . . . , qn } — ортонормированный базис из столбцов, полученный из {a1 , .
. . , an } ортогонализацией по Граму-Шмидту с последующим нормированием. Тогда матрица перехода T от{a1 , . . . , an } к {q1 , . . . , qn } является верхней треугольной с положительными элементами на главной диагонали. Обратная R к такой матрице тоже является верхней треугольной с положительными элементами на главной диагонали (чтобы это доказать, примените последовательностьэлементарных преобразований строк к (T | E)).
Итак,(a1 . . . an ) = (q1 . . . qn )R,где R — верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной диагонали. Таккак базис {q1 , . . . , qn } ортонормирован, то матрица Q перехода к нему от {e1 , . . . , en } ортогональна(это есть матрица из столбцов (q1 . . . qn )). Таким образом, получаем(a1 . . . an ) = (e1 . . . en )QR,или в матричном виде A = QR.Докажем теперь единственность. Пусть A = QR = Q0 R0 , тогда Q0−1 Q = R0 R−1 .
Нетрудновидеть, что справа стоит верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главнойдиагонали, а слева — ортогональная матрица. Очевидно, что пересечение указанных множествматриц состоит только из E.Заметим, что помимо QR-разложения для произвольной невырожденной матрицы A естьтакже аналогичное RQ-разложение. Чтобы это доказать, достаточно найти QR-разложение дляA−1 .Интересный вопрос: как описать множество всех скалярных произведений на вещественномвекторном пространстве V ? С одной стороны, поскольку скалярное произведение в фиксированном базисе однозначно определяется своей матрицей Грама, а такой матрицей может быть144произвольная симметричная положительно определенная матрица (порядка, равного размерности V ), то множество всех скалярных произведение на V биективно множеству таких матриц(причем биекция, конечно, зависит от базиса).
Значит, это непустое (поскольку, например, оносодержит единичную матрицу), открытое (поскольку по критерию Сильвества условие положительной определенности равносильно выполнению конечной системы строгих неравенств) подмножество в n(n+1)-мерном пространстве симметричных матриц порядка n, где n = dim V.2Иначе можно рассуждать так. Задать скалярное произведение α можно, выбрав произвольныйбазис e в V и объявив его ортонормированным относительно α. Еще один базис e0 в V задает тоже самое скалярное произведение α тогда и только тогда, когда матрица перехода C от e к e0ортогональна. Действительно, это равносильно тому, что из Ge = E следует Ge0 = C T C = E.Более общо, зафиксируем некоторый базис e. Пусть C и D — матрицы перехода от e к базисам0e и e00 соответственно.
При каком условии скалярные произведения, определенные базисами e0 иe00 совпадают? Очевидно, тогда и только тогда, когда матрица перехода от e0 к e00 ортогональна.То есть тогда и только тогда, когда D = CQ, где Q ∈ O(n), эквивалентно, тогда и толькотогда, когда в RQ-разложениях матриц D и C верхние треугольные матрицы совпадают.
Такимобразом, мы получаем также конкретную биекцию между множеством скалярных произведенийв вещественном векторном пространстве V размерности n и множеством верхних треугольныхматриц порядка n с положительными элементами на главной диагонали.99.1Операторы и билинейные функции в евклидовых пространствахСопряженное отображениеПусть U и V — евклидовы пространства со скалярными произведениями ( , )U и ( , )V соответственно, ϕ : U → V — линейное отображение.Определение 9.1. Отображение ϕ∗ : V → U называется сопряженным к ϕ, если(ϕ(u), v)V = (u, ϕ∗ (v))U∀ u ∈ U, v ∈ V.(50)В частном случае U = V мы приходим к понятию сопряженного преобразования.Предложение 9.2. Для любого линейного отображения ϕ : U → V между евклидовыми пространствами существует единственное сопряженное отображение ϕ∗ .
Кроме того, сопряженное отображение линейно.Доказательство. Рассмотрим выражение fϕ, v (u) := (ϕ(u), v)V как функцию от u ∈ U при фиксированных v ∈ V и ϕ. Из линейности ϕ и скалярного произведения по первому аргументу следует,что fϕ, v линейна, то есть fϕ, v ∈ U ∗ .Согласно Предложению 8.8, для данных v ∈ V и ϕ существует единственный w ∈ U такой,чтоfϕ, v (u) = (u, w)U ∀ u ∈ U.Этот вектор w мы обозначим ϕ∗ (v) (что, в частности, подчеркивает его зависимость от v ∈ V иϕ). То есть для фиксированного ϕ и данного v ∈ V существует единственный ϕ∗ (v) ∈ U такой,145что(ϕ(u), v)V = (u, ϕ∗ (v))U∀ u ∈ U.Это означает, что сопряженное к ϕ отображение ϕ∗ существует и единственно.Проверим теперь линейность сопряженного отображения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
