Лекции Линал Ершов (1188212), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Имеем(u, ϕ∗ (v1 + v2 ))U = (ϕ(u), v1 + v2 )V = (ϕ(u), v1 )V + (ϕ(u), v2 )V == (u, ϕ∗ (v1 ))U + (u, ϕ∗ (v2 ))U = (u, ϕ∗ (v1 ) + ϕ∗ (v2 ))U∀ u ∈ U,откуда получаем ϕ∗ (v1 + v2 ) = ϕ∗ (v1 ) + ϕ∗ (v2 ).Аналогично,(u, ϕ∗ (λv))U = (ϕ(u), λv)V = λ(ϕ(u), v)V == λ(u, ϕ∗ (v))U = (u, λϕ∗ (v))U ,откуда ϕ∗ (λv) = λϕ∗ (v).Пусть L(U, V ) обозначает линейное пространство всех линейных отображений ϕ : U → V.Предложение 9.3. Операция∗ : L(U, V ) → L(V, U )(51)обладает следующими свойствами:1) (ϕ1 + ϕ2 )∗ = ϕ∗1 + ϕ∗2 , (λϕ)∗ = λϕ∗ (то есть отображение (51) линейно);2) ϕ∗∗ = ϕ (то есть ∗2 = idL(U, V ) );3) id∗U = idU , где idU : U → U — тождественное преобразование;4) если ψ : V → W — еще одно линейное отображение между евклидовыми пространствами,то (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ ;5) если ϕ — изоморфизм, то (ϕ−1 )∗ = (ϕ∗ )−1 .Доказательство. 1)(u, (ϕ1 + ϕ2 )∗ (v))U = ((ϕ1 + ϕ2 )(u), v)V = (ϕ1 (u) + ϕ2 (u), v)V == (ϕ1 (u), v)V + (ϕ2 (u), v)V = (u, ϕ∗1 (v))U + (u, ϕ∗2 (v))U = (u, (ϕ∗1 + ϕ∗2 )(v))U ,(u, (λϕ)∗ (v))U = ((λϕ)(u), v)V = λ(ϕ(u), v)V = λ(u, ϕ∗ (v))U = (u, λϕ∗ (v))U .2)(ϕ(u), v)V = (u, ϕ∗ (v))U = (ϕ∗ (v), u)U = (v, ϕ∗∗ (u))V = (ϕ∗∗ (u), v)V .Заметим, что доказанное свойство в частности означает, что всякое отображение ϕ являетсясопряженным к некоторому (а именно к ϕ∗ ).3)(idU (u1 ), u2 ) = (u1 , u2 ) = (u1 , id∗U (u2 )).1464) Чтобы лучше понять направления, в которых действуют отображения, полезно посмотретьна диаграммыUϕ/Vψ◦ϕU `oψϕ∗ϕ∗ ◦ψ ∗WVOψ∗W.∗(u, (ψ ◦ ϕ) (w))U = ((ψ ◦ ϕ)(u), w)W = (ϕ(u), ψ ∗ (w))V == (u, ϕ∗ (ψ ∗ (w)))U = (u, (ϕ∗ ◦ ψ ∗ )(w))U .5)idU = id∗U = (ϕ−1 ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ (ϕ−1 )∗ ,idV = id∗V = (ϕ ◦ ϕ−1 )∗ = (ϕ−1 )∗ ◦ ϕ∗ ,откуда (ϕ−1 )∗ = (ϕ∗ )−1 .Свойства операции “звездочка”, доказанные в предыдущем Предложении, напоминают свойства операции транспонирования матриц (см.
Предложение 2.13). Это неслучайно. Чтобы этоувидеть, посмотрим, как связаны матрицы отображения и его сопряженного относительно выбранных базисов в U и V .−−Пусть {e1 , . . . , en } — некоторый базис в U , {f1 , . . . , fm } — базис в V , →u, →v — координатныестолбцы векторов u и v, GU , GV — матрицы Грама выбранных базисов в U и V , A = Aϕ — матрицалинейного отображения ϕ : U → V, а B — матрица сопряженного отображения ϕ∗ : V → U. Тогдав базисах соотношение (50) переписывается в следующем виде:−−−−(A→u )T GV →v =→u T GU B →v,−−−−то есть →u T AT GV →v =→u T GU B →v;−−поскольку это должно быть выполнено для любых столбцов →u и→v , то отсюда следует, чтоAT GV = GU B.(52)TТо есть матрица B сопряженного отображения ϕ∗ равна G−1U A GV .
В частности, если выбранныебазисы являются ортонормированными (что, напомним, равносильно GU = E, GV = E), то B =AT . Легко видеть, что выполнено и обратное: если относительно некоторых базисов евклидовыхпространств U и V матрицы A и B отображений ϕ : U → V и ψ : V → U связаны соотношением(52), то эти отображения сопряжены, ψ = ϕ∗ (или, что равносильно, ϕ = ψ ∗ ).Задача 9.4. Докажите, что преобразование ϕ : V → V и его сопряженное ϕ∗ имеют одинаковые характеристические многочлены.9.2Теорема ФредгольмаПусть ϕ : U → V — линейное отображение между евклидовыми пространствами.Предложение 9.5.
Im ϕ = (Ker ϕ∗ )⊥ (равенство подпространств в V ).147Доказательство. Заметим, что равенство подпространств из условия задачи равносильно равенству (Im ϕ)⊥ = Ker ϕ∗ их ортогональных дополнений в V , которое мы и будем доказывать.Пусть v ∈ Ker ϕ∗ , тогда для любого u ∈ U0 = (u, ϕ∗ (v))U = (ϕ(u), v)V⇒ v ∈ (Im ϕ)⊥ ,то есть Ker ϕ∗ ⊂ (Im ϕ)⊥ .Пусть v ∈ (Im ϕ)⊥ , тогда для любого u ∈ U0 = (ϕ(u), v)V = (u, ϕ∗ (v))U ⇒ v ∈ Ker ϕ∗ ,то есть (Im ϕ)⊥ ⊂ Ker ϕ∗ .Рассмотрим теперь систему линейных уравнений над полем R→−−A→x = b,(53)→−−где A — матрица размера m × n, →x — столбец высоты n, b — столбец высоты m. Для нее можно→−−определить сопряженную однородную систему AT →y = 0 , матрицей коэффициентов которойявляется AT .→−→−Следствие 9.6.
Система (53) при данном столбце правых частей b разрешима ⇔ b ортогона−лен любому решению →y сопряженной однородной системы (здесь ортогональность понимаетсяPв смысле “стандартного скалярного произведения”, mi=1 yi bi = 0).Доказательство. Рассмотрим A как матрицу линейного отображения ϕ между евклидовыми пространствами относительно выбранных ортонормированных базисов, тогда матрицей сопряженного преобразования ϕ∗ (относительно тех же базисов) будет AT . В базисах Im ϕ описывается как→−подпространство таких столбцов в b ∈ Rm , для которых система (53) разрешима, а Ker ϕ∗ — как→−−−подпространство таких столбцов →y ∈ Rm , что AT →y = 0 .
Тогда имеем серию эквивалентностей:→−→−→−система (53) разрешима ⇔b ∈ Im ϕ ⇔b ∈ (Ker ϕ∗ )⊥ ⇔b ортогонально любому→−→−→−Ty такому, что A y = 0 .9.3Самосопряженные преобразованияПусть V — евклидово пространство, а ϕ : V → V — его линейное преобразование.Определение 9.7. Преобразование ϕ называется самосопряженным, если оно совпадает со своим сопряженным, ϕ = ϕ∗ .То есть преобразование ϕ самосопряжено, если для любых u, v ∈ V имеет место тождество(ϕ(u), v) = (u, ϕ(v)).Из пункта 1) Предложения 9.3 легко следует, что самосопряженные преобразования образуюлинейное подпространство в пространстве L(V ) всех линейных преобразований пространстваV . Тождественное преобразование самосопряжено, также самосопряжены преобразования видаλ idV , λ ∈ R (при любом выборе скалярного произведения в V ).148Самосопряженность ϕ равносильна тому, что в произвольном базисе {e1 , .
. . , en } пространстваV с матрицей Грама G его матрица A удовлетворяет тождеству AT G = GA. В частности, еслибазис ортонормирован, то самосопряженность преобразования ϕ равносильна симметричностиего матрицы. Таким образом, оператор самосопряжен тогда и только тогда, когда в некотором(а значит любом) ортонормированном базисе он имеет симметричную матрицу.Заметим, что если для преобразования евклидова пространства существует ортонормированный базис из собственных векторов, то это преобразование — самосопряженное. Действительно,в этом базисе матрица данного преобразования является диагональной, в частности, симметричной.Оказывается, верно и обратное утверждение: если оператор самосопряжен, то для него существует ортонормированный базис из его собственных векторов.
Доказательство этого утверждения потребует некоторой подготовки.Предложение 9.8. Пусть ϕ : V → V — линейное преобразование евклидова пространства V иU ⊂ V — его инвариантное подпространство. Тогда подпространство U ⊥ ⊂ V ϕ∗ -инвариантно.Доказательство.∀ u ∈ U, v ∈ U ⊥0 = (ϕ(u), v) = (u, ϕ∗ (v))⇒ ϕ∗ (v) ∈ U ⊥ .Следствие 9.9. Пусть ϕ : V → V — самосопряженное преобразование и U ⊂ V является ϕинвариантым.
Тогда U ⊥ ⊂ V также ϕ-инвариантно.Другими словами, ортогональное дополнение к инвариантому подпространству самосопряженного преобразования также является инвариантным подпространством.Напомним, что преобразование ϕ : V → V называется нильпотентным, если ϕk = 0 длянекоторого натурального k.При решении следующей задачи нам понадобится также следующий тривиальный результат: если ϕ : V → V — самосопряженное преобразование евклидова пространства V и U ⊂ V— ϕ-инвариантное подпространство, то ограничение ϕ|U : U → U является самосопряженнымпреобразованием пространства U .Задача 9.10. Докажите, нильпотентное самосопряженное преобразование евклидова пространства нулевое.Решение. Пусть ϕ : V → V — такое преобразование.
Воспользуемся индукцией по n = dim V. Еслиn = 1, то ϕ = 0. Пусть n > 1, и по предположению индукции результат верен для пространствразмерности меньше n. Предположим, что ϕ 6= 0, тогда 0 6= ker ϕ ( V. Согласно предыдущемуследствию, подпространство (ker ϕ)⊥ ⊂ V является ϕ-инвариантным. По предположению индукции ограничение ϕ на него нулевое. Тогда V = ker ϕ ⊕ (ker ϕ)⊥ — прямая сумма подпространств,ограничения на которые оператора ϕ равны нулю, откуда следует, что ϕ = 0.1499.4Связь между линейными операторами и билинейными функциями на евклидовом пространствеПусть V — евклидово пространство со скалярным произведением (·, ·), ϕ : V → V — линейныйоператор.
Определим по нему билинейную функцию h = hϕ : V × V → R по формулеh(u, v) := (u, ϕ(v))∀ u, v ∈ V.(54)Заметим, что и множество линейных операторов V → V , и множество билинейных функций V × V → R являются линейными пространствами над R одной и той же размерности n2 , гдеn = dim V (например, в базисе оператор и билинейная функция однозначно задаются своими матрицами, причем любая матрица может быть как матрицей линейного оператора, так и матрицейбилинейной функции). Пространство билинейных функций на V обозначим B(V ), пространстволинейных операторов на V — L(V ).Предложение 9.11.1) Сопоставление ϕ 7→ hϕ (см.
(54)) определяет изоморфизм линейныхпространств α : L(V ) → B(V ).2) При изоморфизме α симметричные билинейные функции отвечают самосопряженнымоператорам.Доказательство. 1) Линейность отображения α очевидна. Так как пространства операторов ибилинейных функций на V , как указывалось, имеют одинаковые размерности, то для доказательства того, что α — изоморфизм линейных пространств, достаточно доказать его инъективность.Пусть ϕ 6= 0, тогда существует такой вектор v ∈ V , что ϕ(v) 6= 0. Кроме того, в силуневырожденности скалярного произведения существует вектор u ∈ V такой, что(u, ϕ(v)) = hϕ (u, v) 6= 0 ⇒ α(ϕ) = hϕ 6= 0.Таким образом, линейное отображение α — изоморфизм.2) Проверим теперь второе утверждение.
Действительно, для всех u, v ∈ Vh(u, v) = h(v, u) ⇔ (u, ϕ(v)) = (v, ϕ(u)) = (ϕ(u), v),что равносильно самосопряженности оператора ϕ.Пусть Lsa (V ) обозначает подпространство самосопряженных операторов в L(V ). Тогда результат предыдущего Предложения можно представить как существование коммутативной диаграммыα/ B(V )L(V )OO∪∪α|Lsa (V )/ B + (V ),Lsa (V )в которой горизонтальные стрелки — определенные выше изоморфизмы, а вертикальные — включения подпространств.Отметим, что построенный изоморфизм между пространствами L(V ) и B(V ) является каноническим (он не зависит ни от каких базисов, а только от скалярного произведения).150Таким образом, для любой билинейной симметричной функции h на евклидовом пространствеV существует единственный самосопряженный оператор ϕ = ϕh на V , для которого выполнено(54).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
