Лекции Линал Ершов (1188212), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тогда из неравенства КошиБуняковского(u, v)−1 ≤≤ 1,|u||v|(u,v)поэтому существует единственный угол α, −π ≤ α ≤ π такой, что cos α = |u||v|. По определению,он называется углом между ненулевыми векторами u и v. То есть мы возвращаемся к известной из аналитической геометрии формуле (u, v) = |u||v| cos α (только теперь это не определениескалярного произведения, а следствие из определения угла).8.5Расстояния в евклидовом пространствеОпределим функцию ρ : V × V → R на евклидовом пространстве V равенством ρ(u, v) := |u − v|.Тогда она обладает следующими свойствами:(i) ρ(u, v) = ρ(v, u);(ii) ρ(u, u) = 0; ρ(u, v) > 0 при u 6= v;(iii) ρ(u, w) ≤ ρ(u, v) + ρ(v, w).Заметим, что (iii) — просто неравенство треугольника (49) в других обозначениях. Таким образом,ρ является метрикой на V .
Значит, в евклидовом пространстве определены все понятия, которыемогут быть заданы с помощью метрики (расстояние между подмножествами, понятия открытогошара и открытого множества и т.п.).Например, если A и B — произвольные подмножества в V , то определим расстояние междуними какρ(A, B) := inf{ρ(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.Получим формулу для расстояния от вектора v ∈ V до подпространства U ⊂ V . Напомним,что V = U ⊕ U ⊥ и v = prU (v) + ortU (v).138Предложение 8.15. ρ(v, U ) = |ortU (v)|.Доказательство.
∀ u ∈ U имеем|v − u|2 = |prU (v) − u + ortU (v)|2 = |u − prU (v)|2 + |ortU (v)|2 ,откуда |v − u|2 ≥ |ortU (v)|2 , причем u = prU (v) — единственный вектор из U , для которогоравенство достигается, то есть prU (v) — единственный ближайший к v вектор из U.8.6Замечание о метрических пространствахДалее нам потребуются некоторые простейшие факты о топологии метрических пространств,поэтому дадим здесь соответствующие общие определения.Пусть (X, ρX ) — метрическое пространство.
Открытым шаром с центром в точке x ∈ Xрадиуса ε > 0 называется его подмножество Bε (x) := {x0 ∈ X | ρ(x, x0 ) < ε}. ПодмножествоU ⊂ X метрического пространства (X, ρX ) называется открытым, если ∀x ∈ U найдется такоеε = ε(x) > 0, что Bε (x) ⊂ U. Множество всех открытых подмножеств в X (включающее такжепустое множество ∅) называется топологией метрического пространства (X, ρX ) (оно в самомделе удовлетворяет аксиомам топологии и превращает множество X в топологическое пространство). Например, стандартная топология на Rn , рассматриваемая в анализе — это топологияметрического пространства (Rn , ρ), гдеvu nuXρ(x, y) = t (xi − yi )2i=1— евклидова метрика.Чтобы определить понятие непрерывного отображения между метрическими пространствами, достаточно рассматривать только открытые шары.
Отображение ϕ : (X, ρX ) → (Y, ρY ) междуметрическими пространствами называется непрерывным, в точке x ∈ X, если для всякого ε > 0существует такое δ = δ(ε) > 0, что ϕ(Bδ (x)) ⊂ Bε (ϕ(x)). Отображение ϕ непрерывно, если ононепрерывно в каждой точке x ∈ X. Читатель легко убедится, что это определение в случае метрических пространств (Rn , ρ) (где ρ — евклидова метрика) и (R, ρ), где ρ(a, b) = |a − b| (на самомделе это частный случай метрического пространства (Rn , ρ) при n = 1) приводит к обычномупонятию непрерывной функции n переменных, используемому в анализе.Отображение ϕ : (X, ρX ) → (Y, ρY ) между метрическими пространствами называется изометрией, если оно биективно и ∀x, x0 ∈ X ρY (ϕ(x), ϕ(x0 )) = ρX (x, x0 ).
Легко видеть, что обратное кизометрии отображение также является изометрией, и что для любого ε > 0 изометрия определяет биекцию между множествами открытых шаров радиуса ε в метрических пространствах(X, ρX ) и (Y, ρY ). Из этого очевидно, что изометрия является непрерывным отображением (и дажегомеоморфизмом). Если V — n-мерное евклидово пространство с определенной выше метрикойρV (u, v) = |u − v|, то выбор ортонормированного базиса e в V определяет линейный изоморфизмϕe : V → Rn , который является изометрией (V, ρV ) → (Rn , ρ). Заметим, что если в V выбранпроизвольный базис, то мы также получим изометрию с метрическим пространством (Rn , ρ0 ),139гдеvuXu n0ρ =tgij (xi − yi )(xj − yj )i,j=1— метрика, задаваемая с помощью матрицы Грама G выбранного базиса.Любое подмножество Z ⊂ X метрического пространства (X, ρX ) само является метрическимпространством относительно метрики ρZ = ρX |Z×Z , являющейся ограничением метрики ρX наZ.
Легко проверяется, что ограничение f |Z любой непрерывной функции f : X → R на Z будетнепрерывно как отображение (Z, ρZ ) → R.Далее в курсе нам потребуется следующее утверждение: произвольная квадратичная функция q : V → R на евклидовом пространстве V является непрерывной. Для доказательства этого факта можно рассуждать следующим образом. Выберем произвольный ортонормированныйбазис {e1 , . . .
, en } в V , в соответствующих координатах квадратичная функция запишется какPоднородный многочлен 2-й степени pq (x) = ni,j=1 aij xi xj . Из курса анализа мы знаем, что он— непрерывная функция на (Rn , ρ), где ρ — евклидова метрика. А так как выбор базиса задаетнепрерывное отображение ϕe : V → Rn , то q = pq ◦ ϕe непрерывна на V (поскольку являетсякомпозицией непрерывных отображений).8.7Алгоритм Грама-ШмидтаТеорема 8.16. Пусть {e1 , . . . , en } — произвольный базис в евклидовом пространстве V . Тогдасуществует единственный ортогональный базис {f1 , .
. . , fn } в V , матрица перехода к которомуот исходного базиса верхняя треугольная с единицами на главной диагонали.Базис {f1 , . . . , fn } называется ортогонализацией базиса {e1 , . . . , en }. Заметим, что из условияследует, что линейные оболочки he1 , . . . , ek i и hf1 , . . . , fk i совпадают при k = 1, . . . , n.Заметим еще, что вместо базиса в V можно ортогонализовать произвольную линейно независимую систему векторов в V (тогда она будет базисом в своей линейной оболочке, и рассуждениеможно применить к последней).Доказательство.
Из вида матрицы перехода следует, что для f1 единственная возможность —положить f1 = e1 . Пусть система с требуемыми свойствами {f1 , . . . , fk−1 } уже построена. Из видаPматрицы перехода следует, что мы должны искать fk в виде fk = ek + k−1i=1 µi ei , но так как Vk−1 :=he1 , . . . , ek−1 i = hf1 , . . . , fk−1 i (это снова следует из вида матрицы перехода и предположенияPиндукции), то, эквивалентно, fk можно также искать в виде fk = ek + k−1i=1 λi fi .
Условия fk ⊥⊥fj , . . . , fk−1 (что равносильно fk ∈ Vk−1 ) записываются в виде системы (fk , fj ) = 0, j = 1, . . . , k−1,более подробно!k−1Xek +λi fi , fj = (ek , fj ) + λj |fj |2 = 0,i=1(e ,f )откуда λj = − |fkj |2j , j = 1, . . . , k −1. Теперь формула (48) показывает, что fk = ortVk−1 ek . Так как{e1 , . . . , en } — базис, то ek ∈/ Vk−1 и поэтому fk 6= 0. Тем самым шаг построения ортогональногобазиса завершен.140Пример 8.17.
Рассмотрим подпространство R[x]2 в бесконечномерном евклидовом пространствеC[0, 1] из Примера 8.6. Найдем ортогонализацию {f1 , f2 , f3 } “стандартного” базиса {1, x, x2 } внем. Имеем(x2 , x − 12 )11(x, 1)1(x2 , 1)2x−= x2 − x + .f1 = 1, f2 = x −1 = x − , f3 = x −1−1 2|1|22|1|226|x − 2 |Геометрический смысл описанного в Теореме алгоритма можно представить следующимобразом. Натянем на исходный неортогональный базис {e1 , . . . , en } n-мерный параллелепипедΠ[e1 , . . .
, en ]. Тогда изложенный выше алгоритм сводится к следующему: вектор f1 = e1 мыоставляем тем же, а вектор e2 заменяем на высоту f2 параллелепипеда Π[e1 , e2 ] относительнооснования Π[e1 ], далее вектор e3 — на высоту f3 параллелепипеда Π[e1 , e2 , e3 ] относительно основания Π[e1 , e2 ] и т.д. Ясно, что при этом получается прямоугольный параллелепипед Π[f1 , . .
. , fn ]того же n-мерного объема (если правильно определить это понятие).27 . Кроме того, каждый изk-мерных параллелепипедов Π[e1 , . . . , ek ] при этом заменяется прямоугольным k-мерным параллелепипедом Π[f1 , . . . fk ] того же k-мерного объема.Используя приведенные соображения, можно обосновать, что квадрат n-мерного объемаVol(e1 , . . .
, en ) параллелепипеда Π[e1 , . . . , en ], построенного на базисе {e1 , . . . , en }, равен det G, гдеG — матрица Грама скалярного произведения в этом базисе. Действительно, по предшествующейТеореме у базиса {e1 , . . . , en } есть ортогонализация {f1 , . . . , fn }, то есть существует верхняя треугольная матрица C с единицами на главной диагонали такая, что diag (|f1 |2 , . . .
, |fn |2 ) = C T GC.В частности, det G = |f1 |2 . . . |fn |2 , причем правая часть совпадает с квадратом Vol (f1 , . . . , fn )2объема прямоугольного параллелепипеда, построенного на ортогональном базисе {f1 , . . . , fn } (поскольку есть произведение квадратов длин его сторон), а выше мы “обосновали”, что объем параллелепипеда, построенного на базисе, не меняется при ортогонализации этого базиса.Из доказанной Теоремы мы сейчас выведем важное следствие. Пусть G — матрица Грамабазиса {e1 , . . . , en }.
Пусть Gk , 1 ≤ k ≤ n — подматрица матрицы G порядка k, стоящая в левомверхнем углу. Очевидно, что Gk — матрица ограничения (·, ·)|Vk скалярного произведения на подпространство Vk в базисе {e1 , . . . , ek } этого пространства. Пусть δk := det Gk — угловые минорыматрицы G. Из положительной определенности скалярного произведения следует, что все онибольше нуля. Введем еще δ0 := 1.Следствие 8.18.
В введенных выше обозначениях|fk |2 = (fk , fk ) =δkδk−1, 1 ≤ k ≤ n.Доказательство. Для 1 ≤ k ≤ n имеемdiag (|f1 |2 , . . . , |fk |2 ) = CkT Gk Ck ,откуда, переходя к определителям и используя то, что матрицы Ck верхние треугольные с единицами на главной диагонали, получаем требуемое.27Строго определять что это такое в данном курсе мы не будем. Для n-мерного параллелепипеда при n = 1, 2, 3n-мерный объем — это соответственно длина, (неориентированная) площадь и “обычный” (неориентированный)трехмерный объем.141Доказанное в Следствии тождество имеет следующий геометрический смысл: квадрат длинывысоты k-мерного параллелепипеда равен отношению квадрата его k-мерного объема к квадратуk − 1-мерного объема соответствующего основания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
