Лекции Линал Ершов (1188212), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Это условие является также достаточным: действительно, если оператор диагонализируется в ортонормированном базисе и имеет вещественный спектр, то он самосопряжен.Задача 9.19. Пусть V — евклидово пространство из Примера 8.5. Пусть τ : V → V, τ (X) = X T— линейный оператор на V , сопоставляющий произвольной матрице ее транспонированную.Покажите, что τ самосопряжен. Выведите из этого результат Задачи 8.7.Решение. Самосопряженность τ следует из выкладки:(τ (X), Y ) = tr (τ (X)T Y ) = tr (XY ) = tr (Y X) = tr (X T Y T ) = (X, τ (Y )).Заметим (см.
Пример 6.22), что подпространства симметричных (кососимметричных) матриц— в точности собственные подпространства оператора τ , отвечающие собственному значению 1(соответственно −1). Теперь требуемый результат вытекает из предыдущего Предложения.154Задача 9.20. Докажите, что два самосопряженных преобразования ϕ, ψ : V → V коммутируют (то есть ϕψ = ψϕ) тогда и только тогда, когда в V есть ортонормированный базис,состоящий из их общих собственных векторов.Решение. Пусть V = Vλ1 ⊕ . .
. ⊕ Vλs — разложение пространства V в ортогональную прямую сумму собственных подпространств оператора ϕ. Из условия следует, что операторы ψ и ϕ − λi idVкоммутируют, поэтому подпространства Vλi = ker (ϕ − λi idV ) являются ψ-инвариантными. Длякаждого i, i = 1, . . . , s ограничение ψ|Vλi : Vλi → Vλi является самосопряженным оператором наVλi , поэтому для него в Vλi существует ортонормированный базис из собственных векторов. Заметим, что эти базисные векторы также будут собственными векторами (с собственным значениемλi ) оператора ϕ.
Поскольку подпространства Vλi при разных i попарно ортогональны, объединение таких базисов даст ортонормированный базис пространства V , состоящий из одновременныхсобственных векторов операторов ϕ и ψ.В другую сторону утверждение очевидно, поскольку в общем базисе из собственных векторовоператоры записываются диагональными матрицами, которые коммутируют.Замечание 9.21. Пусть V — евклидово пространство. Выше мы определили линейный оператор∗ : L(V ) → L(V ), ϕ 7→ ϕ∗ “взятия сопряженного”. Из ∗∗ = idL(V ) следует, что его собственнымизначениями могут быть только ±1.
Его собственными векторами с собственным значением 1 являются ненулевые самосопряженные операторы ϕ∗ = ϕ, а собственными векторами с собственнымзначением −1 — ненулевые кососимметрические операторы ϕ∗ = −ϕ. Их название оправдываетсятем, что это — в точности те операторы, которые имеют кососимметрические матрицы в ортонормированных базисах28 . Примером такого оператора в ориентированном трехмерном евклидовомпространстве V является оператор взятия векторного произведения с фиксированным вектором:ϕw : V → V, ϕw (v) = [w, v].
В самом деле, для любых u, v ∈ V имеем (ϕw (u), v) + (u, ϕw (v)) = 0.Заметим, что любой оператор на евклидовом пространстве V единственным образом представляется в виде суммы самосопряженного и кососимметрического:ϕ=ϕ + ϕ∗ ϕ − ϕ∗+22(это аналог представления любой квадратной матрицы в виде суммы симметричной и кососимметричной). Мы не будем углубляться в теорию кососимметрических операторов, отсылая читателей к более подробным учебникам линейной алгебры.9.6Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространствеВыведем теперь ряд результатов о квадратичных (симметричных билинейных) функциях наевклидовом пространстве, используя их связь с самосопряженными операторами, описанную вПредложении 9.11.Предложение 9.22. Для любой симметричной билинейной (или квадратичной) формы на евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором ее матрица диагональна (для квадратичной формы последнее означает, что в соответствующих координатахP−она имеет вид q(→x ) = k λk x2k ).28Заметим, что самосопряженные операторы часто также называются симметрическими.155Доказательство.
Пусть h — симметричная билинейная форма. Ассоциируем с ней самосопряженный оператор ϕh . Так как для ϕh существует ортонормированный базис из собственных векторов,а в таком базисе, как мы знаем, его матрица A диагональна, то и матрица H билинейной формыh в этом базисе тоже диагональна (точнее, она равна A поскольку базис ортонормированный).Полезно сопоставить доказанное Предложение с Предложением 7.30.
Новое Предложениесильнее старого в том отношении, что в нем утверждается существование не произвольного,а ортонормированного базиса, в котором квадратичная функция имеет диагональный вид, в тоже время слабее старого в том отношении, что ненулевые λi не обязательно равны ±1. Смыслнового Предложения состоит в том, что в евклидовых пространствах существует более тонкоеотношение эквивалентности на квадратичных формах, которое сохранаяет не только аффинную,но и метрическую информацию (такую как длины полуосей эллипсоида {v ∈ V | q(v) = 1} вслучае положительно определенной квадратичной функции q), которую как раз и несут числаλi .Доказанный результат можно использовать для приведения уравнения кривой 2-го порядкак каноническому виду.
А именно, пустьa11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22 + 2a1 x1 + 2a2 x2 + a0 = 0(57)— уравнение кривой второго порядка, заданное в прямоугольной системе координат Ox1 x2 наплоскости. Напомним, что первый шаг алгоритма приведения к каноническому виду заключаетсяв нахождении новой прямоугольной системы координат Ox01 x02 , в которой коэффициент передx01 x02 равен 0. Для этого рассмотрим квадратичную форму q, определенную равенством−q(→x ) := a11 x21 + 2a12 x1 x2 + a22 x22в ортонормированном базисе евклидовой плоскости. Согласно доказанному выше, для q суще−02ствует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид q(→x 0 ) = λ1 x021 + λ2 x2 .Эквивалентно,!если C является матрицей перехода к такому базису, то она ортогональна и дляa11 a12A=справедливо равенство C T AC = diag (λ1 , λ2 ). Матрица C определяет в плоскоa12 a22−−сти замену системы координат →x = C→x 0 такую, что в новой системе уравнение (57) принимаетвид020 00 00λ1 x021 + λ2 x2 + 2a1 x1 + 2a2 x2 + a0 = 0.Далее, выделяя полные квадраты, находим параллельный перенос, приводящий уравнение кривой к (почти) каноническому виду.
Этот же алгоритм работает и в случае уравнений поверхностей2-го порядка.Предложение 9.23. Пусть V — векторное пространство над R, g, h — две билинейные симметричные формы на V , причем g положительно определена. Тогда в V существует базис, вкотором матрица Грама первой формы G = E, а матрица H второй формы h диагональна.Доказательство. Так как g положительно определена, то (V, g) — евклидово пространство. Вэтом пространстве ассоциируем с h самосопряженный оператор ϕ, как показано выше (заметим,156что сопоставление h 7→ ϕh зависит и от g).
Тогда для построенного нами самосопряженногооператора ϕ существует ортонормированный базис из собственных векторов. В этом базисе мыимеем G = E, A = H и A диагональна (с собственными значениями ϕ на главной диагонали).Заметим, что случай, когда в условии предыдущего Предложения g отрицательно определена,сводится к рассмотренному заменой g 0 = −g.Переформулируем полученный результат в матричном виде.Следствие 9.24. Для любых двух вещественных симметричных матриц G и H одинаковогопорядка n, где G положительно определена, существует невырожденная матрица C того жепорядка такая, что C T GC = E, C T HC = diag (λ1 , . . . , λn ).Изложим теперь алгоритм приведения пары форм к диагональному виду.
Пусть в некоторомбазисе пространства V форма g имеет матрицу G, а форма h — матрицу H, тогда матрицаоператора ϕ есть A = Aϕ = G−1 H. Имеемdet (A − λE) = det (G−1 H − λE) = det (G−1 H − λG−1 G) == det (G−1 (H − λG)) = det (G−1 ) det (H − λG).Таким образом, собственные значения ϕ совпадают с корнями “обобщенного характеристическогоуравнения” det (H −λG) = 0 (так как A — матрица самосопряженного оператора, то все они вещественны). Пусть λk — некоторый корень. Тогда соответствующие собственные векторы находятся→−−−как (ненулевые) решения системы линейных однородных уравнений (A − λk E)→v = 0 (здесь →v— неизвестный столбец координат собственного вектора v).
Данная система эквивалентна си→−−стеме (H − λk G)→v = 0 . Заметим, что собственные векторы, отвечающие разным собственнымзначениям, автоматически будут ортогональны относительно g. В случае кратного собственногозначения λk (например, для положительно определенной формы этот случай отвечает эллипсоиду вращения) базисные векторы из соответствующего собственного подпространства нужноортогонализовать отдельно (например, с помощью алгоритма Грама–Шмидта) относительно матрицы Грама G. Далее полученный ортогональный базис, опять же используя матрицу G, нужнонормировать. В полученном ортонормированном относительно формы g базисе матрица Грамаформы g будет единичной E, а матрица h — диагональной diag (λ1 , . . . , λn ).Замечание 9.25.
Приведем пример пары квадратичных форм, которые не приводятся одновременно к диагональному виду. Такой пример нужно искать среди форм, ни одна из которых неявляется знакоопределенной.Рассмотрим квадратичные формы в двумерном пространстве, имеющие в некотором базисематрицы!!1 00 1K=и H=.0 −11 0!a bПусть S =— матрица перехода к новому базису. Тогда в нем квадратичные формы будутc dиметь матрицы!!a2 − c2 ab − cd2acad + bcTTS KS =и S HS =.ab − cd b2 − d2ad + bc2bd157Если они обе диагональны, то элементы матрицы перехода удовлетворяют системеab − cd = 0(1)ad + bc = 0.(2)Тогда b(1)+d(2) = a(b2 +d2 ) = 0, а также d(1)−b(2) = c(b2 +d2 ) = 0.
В то же время из обратимостиS следует, что b2 + d2 6= 0, значит, a = c = 0 — противоречие.9.7Ортогональные преобразованияПусть V — евклидово пространство, а ϕ : V → V — его линейное преобразование.Определение 9.26. Преобразование ϕ называется ортогональным, если оно сохраняет скалярное произведение, то есть∀ u, v ∈ V (ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v).(58)Вспоминая определение изометрии евклидовых пространств мы видим, что ортогональноепреобразование — то же что изометрия евклидова пространства с самим собой.Так как длины векторов и углы между векторами выражаются через скалярные произведения, то ортогональные преобразования их тоже сохраняют.Перепишем соотношение (58) в матричном виде.
Выберем произвольный базис в V , пусть G —его матрица Грама, и пусть ϕ имеет в нем матрицу A. Тогда легко видеть, что (58) равносильноматричному соотношениюAT GA = G.В частности, если базис ортонормированный, то ортогональность преобразования равносильнасоотношению AT A = E, то есть ортогональности его матрицы. Таким образом, оператор ортогональный тогда и только тогда, когда в некотором (а значит любом) ортонормированномбазисе он имеет ортогональную матрицу. В частности, любой такой оператор обратим и егоопределитель равен ±1.Из (58) легко следует, что ортогональность ϕ равносильна ϕ∗ ϕ = idV , то есть ϕ∗ = ϕ−1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
