Лекции Линал Ершов (1188212), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

Этоеще раз показывает, что любое ортогональное преобразование обратимо.Предложение 9.27. Ортогональные преобразования евклидова пространства V образуютгруппу относительно операции композиции.Эта группа обозначается O(V ) и называется ортогональной группой пространства V . Онаявляется подгруппой группы GL(V ) всех обратимых (=невырожденных) преобразований пространства V .Доказательство. Достаточно проверить непустоту множества ортогональных преобразований иего замкнутость относительно композиции и взятия обратного. Легко видеть, что тождественноепреобразование idV ортогонально. Если ϕ, ψ ∈ O(V ), то(ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ = ϕ−1 ◦ ψ −1 = (ψ ◦ ϕ)−1 ,то есть ψ ◦ ϕ ∈ O(V ).158Пусть теперь ϕ ∈ O(V ), проверим что и ϕ−1 ∈ O(V ).

Для этого докажем что для любогообратимого преобразования ϕ справедливо (ϕ−1 )∗ = (ϕ∗ )−1 . Действительно,idV = (idV )∗ = (ϕϕ−1 )∗ = (ϕ−1 )∗ ϕ∗ ,откуда и следует требуемое. Тогда если ϕ ортогонален, то для ψ := ϕ−1 имеемψ ∗ = (ϕ−1 )∗ = (ϕ∗ )−1 = (ϕ−1 )−1 = ψ −1 .Ортогональные преобразования пространства V с определителем 1 образую подгруппу группыO(V ), обозначаемую SO(V ) и называемую специальной ортогональной группой пространства V .Она состоит из поворотов.В отличие от самосопряженных преобразований, ортогональные не обязательно диагонализируемы.

Это связано с тем, что корни их характеристического многочлена не обязательно вещественны (посмотрите, например, на поворот на угол π/2 в евклидовой плоскости). Однако еслиони вещественны, то равны ±1.Предложение 9.28. Собственные значения ортогонального преобразования равны ±1.Доказательство. Пусть ортогональное преобразование ϕ имеет собственное значение λ ∈ R иv ∈ V — соответствующий собственный вектор.

Имеемλ2 (v, v) = (ϕ(v), ϕ(v)) = (v, v).Так как (v, v) 6= 0, то λ2 = 1.Например, направляющий вектор оси поворота ϕ в трехмерном пространстве — собственныйвектор ϕ с собственным значением 1.Можно доказать (см. Добавление ниже) что корни характеристического многочлена ортогонального преобразования лежат на единичной окружности в комплексной плоскости (причем извещественности коэффициентов характеристического многочлена следует что вместе с каждымкомплексным корнем λ комплексно сопряженное к нему число λ также будет корнем). Поэтомуесли они вещественны, то обязаны быть равными ±1.Предложение 9.29. Если U ⊂ V — инвариантное подпространство для ортогонального преобразования ϕ : V → V , то его ортогональное дополнение U ⊥ ⊂ V также ϕ-инвариантно.Доказательство. Заметим, что из ортогональности ϕ следует ортогональность ограничения ϕ|U ,которое поэтому биективно (как преобразование U ). То есть для любого u ∈ U существует единственный u0 ∈ U такой что ϕ(u0 ) = u.Возьмем теперь произвольный v ∈ U ⊥ , тогда∀u ∈ U(u, ϕ(v)) = (ϕ(u0 ), ϕ(v)) = (u0 , v) = 0,откуда ϕ(v) ∈ U ⊥ .Например, для поворота вокруг некоторой оси в трехмерном пространстве ортогональноедополнение к этой оси инвариантно.159Теорема 9.30.

Пусть V — евклидово пространство, dim V = 3. Пусть ϕ : V → V — ортогональное преобразование. Тогда в V найдется такой ортонормированный базис, в котором матрицаϕ имеет видcos α − sin α 0A =  sin α cos α(59)0 ,00±1причем элемент, стоящий в правом нижнем углу матрицы A, равен det ϕ.Доказательство. Во-первых докажем, что у ϕ есть собственный вектор w с собственным значением det ϕ. Это равносильно тому, что det ϕ является корнем характеристического многочленаϕ. Данный многочлен χϕ (t) ∈ R[t] имеет степень 3, и поэтому у него есть вещественный корень, причем равный ±1 (поскольку это — собственное значение ортогонального оператора).Пусть λ1 , λ2 , λ3 — все (в том числе комплексные) корни многочлена χϕ (t), причем λ1 ∈ R.

Тогдаdet ϕ = λ1 λ2 λ3 . Возможно два варианта. 1) Не все корни χϕ (t) вещественны, и тогда λ3 = λ2 ,поэтому det ϕ = λ1 |λ2 |2 , а так как |λ2 |2 > 0, то, сравнивая модули левой и правой частей в предыдущем равенстве, получаем |λ2 |2 = 1, и тогда det ϕ = λ1 . 2) Все корни χϕ (t) вещественны, изначит являются собственными значениями ϕ, которые как мы знаем равны ±1. Из этого легкоследует требуемое.Таким образом, пусть w — нормированный собственный вектор ϕ с собственным значениемdet ϕ. Тогда согласно предыдущему Предложению 2-мерное подпространство U := hwi⊥ ⊂ Vявляется ϕ-инвариантным, и ограничение ϕ|U на него является ортогональным преобразованиемU с определителем 1.

Мы знаем, что такое преобразование является поворотом в U на некоторыйугол α и в произвольном ортонормированном базисе {u, v} в U имеет матрицу!cos α − sin αsin α cos α(возможно, с другой расстановкой знаков у синусов). Таким образом, в ортонормированном базисе{u, v, w} пространства V оператор ϕ имеет матрицу требуемого вида.Следствие 9.31.

Всякое сохраняющее ориентацию ортогональное преобразование трехмерногоевклидова пространства является поворотом вокруг некоторой оси.Приведем алгоритм решения задачи о нахождении канонического вида (59) и базиса ортогональной матрицы A порядка 3. Читатель должен обосновать каждый его шаг с использованиемизложенной теории. Мы считаем, что матрица A является матрицей ортогонального оператораϕ в некотором ортонормированном базисе трехмерного евклидова пространства V .Во-первых, посчитаем ε := det A. Это дает нам элемент в правом нижнем углу в (59). Изинвариантности следа матрицы оператора получаем tr A = ε+2 cos α, откуда cos α = 12 (tr A−ε).

Вкачестве sin α можно выбрать любое значение, удовлетворяющее основному тригонометрическомутождеству cos2 α + sin2 α = 1. Далее находим собственное подпространство Vε с собственнымзначением ε.Заметим, что если dim Vε > 1, то наш оператор диагонализируем в ортонормированном базисе, поэтому соответствующий оператор ϕ не только ортогонален, но и самосопряжен (и значит160исходная матрица A не только ортогональна, но и симметрична).

Это отвечает случаю, когдаα = 0 или π.Пусть w — нормированный собственный вектор с собственным значением ε. Тогда ортогональное дополнение hwi⊥ двумерно и ϕ-инвариантно, причем ограничение ϕ на него являетсясобственным (сохраняющим ориентацию) ортогональным оператором, значит имеет в ортонормированном базисе в hwi⊥ матрицу поворота на угол α или −α, в зависимости от выбранногопорядка базисных векторов. Пусть {u, v} — некоторый ортонормированный базис в hwi⊥ , тогда{u, v, w} — ортонормированный базис в V , в котором ϕ имеет матрицу вида (59), но, возможно, спротивоположными знаками у синусов (ведь когда мы выбирали одно из двух (в общем случае)значений sin α, отвечающих cos α, у нас был произвол в выборе знака), и теперь выбор знака уsin α нужно согласовать с выбором ориентации базиса в плоскости hwi⊥ ({u, v} или {v, u}).

Дляэтого нужно проверить, будет ли Au (здесь и далее векторы u, v, w отождествляются с соответствующими столбцами) равно cos α u + sin α v, или же cos α u − sin α v, во втором случае нужновместо {u, v, w} взять базис {v, u, w} (или изменить знак у синуса).Задача 9.32. Опишите преобразования евклидова пространства, которые являются одновременно самосопряженными и ортогональными.Решение. Пусть ϕ : V → V — такое преобразование. Так как ϕ является самосопряженным, тоV является ортогональной прямой суммой его собственных подпространств. Так как ϕ являетсяортогональным, то возможны только собственные значения ±1.

Таким образом, (за исключениемтривиальных случаев ϕ = ±idV ) V = V1 ⊕ V−1 , причем V−1 = (V1 )⊥ . Если v = v + + v − —соответствующее разложение вектора v ∈ V , то ϕ(v) = v + − v − , откуда следует, что ϕ являетсяортогональным отражением относительно подпространства V1 .Задача 9.33. !Пусть V — евклидова плоскость, и оператор ϕ : V → V имеющего матрицуcos α sin αв некотором ортонормированном базисе V . Без вычислений укажите его диаsin α − cos αгональный вид и геометрический смысл.9.8Полярное и сингулярное разложенияВ данном разделе мы докажем теорему о существовании полярного разложения произвольногоневырожденного линейного оператора евклидова пространства, которое можно рассматриватькак далекое обобщение представления ненулевого комплексного числа z в показательной формеreiα , где r, α ∈ R и r > 0.Связь между самосопряженными операторами и билинейными симметрическими (квадратичными) функциями, описанная в Предложении 9.11, позволяет перенести на самосопряженныеоператоры такие понятия, как положительная (полу)определенность и т.д.Определение 9.34.

Сапосопряженный оператор ϕ : V → V на евклидовом пространстве V называется положительным (соответственно неотрицательным), если соответствующая ему квадратичная функция qϕ положительно (соответственно неотрицательно) определена.161Предложение 9.35. Пусть ϕ : V → V — произвольный (не обязательно самосопряженный)линейный оператор на евклидовом пространстве V . Тогда оператор ϕ∗ ϕ неотрицателен, причемон положителен тогда и только тогда, когда ϕ невырожден.Доказательство.

Во-первых проверим, что ϕ∗ ϕ самосопряжен. Действительно, (ϕ∗ ϕ)∗ = ϕ∗ ϕ∗∗ =ϕ∗ ϕ. Далее, для любого v ∈ Vqϕ (v) = (v, ϕ∗ ϕ(v)) = (ϕ(v), ϕ(v)) = |ϕ(v)|2 ≥ 0,что по определению означает, что ϕ∗ ϕ неотрицателен. Заметим, что невырожденность ϕ равносильна условию |ϕ(v)|2 > 0 ∀v 6= 0, что в свою очередь равносильно положительности ϕ∗ ϕ.Предложение 9.36.

Самосопряженный оператор ϕ : V → V неотрицателен (соответственно положителен) тогда и только тогда, когда все его собственные значения неотрицательны(положительны).Доказательство. Для самосопряженного ϕ существует ортонормированный базис, в котором егоматрица Aϕ = diag(λ1 , . . . , λn ). Тогда матрица H соответствующей квадратичной функции qϕравна Aϕ и сама квадратичная функция в соответствующих координатах имеет вид qϕ (v) =Pn2i=1 λi vi . Ясно, что она положительно (неотрицательно) определена тогда и только тогда, когдавсе λi > 0 (соответственно ≥ 0).Задача 9.37.

Характеристики

Список файлов лекций