Лекции Линал Ершов (1188212), страница 43

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 43)

Докажите, что оператор ϕ на евклидовом пространстве положителен тогдаи только тогда, когда его матрица A в некотором (а значит и любом) ортонормированномбазисе положительно определена.Задача 9.38. Пусть среди собственных значений вещественной симметричной матрицы Hпорядка n k положительны, l отрицательны и n − k − l равны нулю. Что тогда можно сказать про собственные значения матрицы H 0 = C T HC, где C — произвольная невырожденнаяматрица?Положительные операторы похожи на положительные действительные числа, в частности,из любого такого оператора можно извлечь единственный арифметический (положительный)квадратный корень.Предложение 9.39.

Для любого положительного оператора ϕ : V → V существует единственный положительный оператор ψ : V → V такой, что ψ 2 = ϕ.Доказательство. Пусть V = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ . . . ⊕ Vλs — разложение пространства V в ортогональную прямую сумму собственных подпространств самосопряженного оператора ϕ. Будем считатьчто 0 < λ1 < λ2 < . . . < λs , в этом случае указанное разложение единственно. На каждом собственном подпространстве Vλi ⊂ V оператор ϕ действует как скалярный оператор умножения насоответствующее собственное значение λi , то естьϕ = ⊕si=1 λi idVλi162(60)(см. формулу (56) и пояснения под ней). Так как все λi > 0, для каждого собственного значения λi√√существует единственный арифметический квадратный корень λi и оператор ψ := ⊕si=1 λi idVλiявляется положительным самосопряженным, причем ψ 2 = ϕ.Пусть ψ 0 — еще один положительный самосопряженный оператор такой, что ψ 02 = ϕ, и пустьV = Vµ1 ⊕ .

. . ⊕ Vµr — разложение в ортогональную прямую сумму собственных подпространствψ 0 , причем 0 < µ1 < . . . < µr . То есть ψ 0 = ⊕ri=1 µi idVµi , тогда ψ 02 = ⊕ri=1 µ2i idVµi , что в силу ψ 02 = ϕ√должно совпадать с (60). То есть Vµi = Vλi , µi = λi и r = s, и значит ψ 0 = ψ.Корень из самосопряженного оператора без условия положительности не единственен. Рассмотрим, например, в качестве положительного самосопряженного ϕ тождественный операторна евклидовой плоскости V .

Мы знаем, что помимо ±idV самосопряженными операторами ψ,удовлетворяющими условию ψ 2 = idV , является всевозможные ортогональные отражения относительно одномерных подпространств. То есть уравнение X 2 = idV имеет континуальное множество решений в пространстве самосопряженных операторов, но только одно из них (а именносам тождественный оператор) является положительным. То есть неединственность корня в общем случае связана с неединственностью квадратного корня из положительного действительногочисла а также с тем, что собственное подпространство размерности больше 1 с положительнымсобственным собственным значением λ можно расщепить в ортогональную прямую сумму соб√ственных подпространств корня с собственными значениями ± λ.Задача 9.40.

Пусть ϕ и ω — самосопряженные операторы, причем ϕ положительный. Докажите, что оператор ϕω диагонализируем.Решение. Пусть ψ — положительный квадратный корень из ϕ. Очевидно, что операторы ϕω иψ −1 ϕωψ диагонализируемы или не диагонализируемы одновременно. В то же время ψ −1 ϕωψ =ψωψ, а последний оператор, очевидно, самосопряжен.Предложение 9.41. Для любого невырожденного оператора ϕ : V → V на евклидовом пространстве V существуют и единственны такие положительный ψ и ортогональный ϑ операторы на V , что ϕ = ϑ ◦ ψ.Доказательство. Из Предложения 9.35 мы знаем, что для невырожденного оператора ϕ оператор ϕ∗ ϕ положительный самосопряженный. Пусть ψ — положительный корень из ϕ∗ ϕ, которыйсогласно предыдущему Предложению существует и единственен.Проверим, что оператор ϕψ −1 ортогонален.

Действительно,(ϕψ −1 )∗ ϕψ −1 = (ψ ∗ )−1 ϕ∗ ϕψ −1 = ψ −1 ψ 2 ψ −1 = idV .Поэтому мы полагаем ϑ := ϕψ −1 и получаем требуемое разложение ϕ = ϑψ.Проверим единственность. Если ϕ = ϑψ, то ϕ∗ ϕ = ψϑ∗ ϑψ = ψ 2 , откуда однозначно восстанавливается положительный самосопряженный ψ. А тогда ортогональный ϑ однозначно задаетсяравенством ϕψ −1 .Следствие 9.42. Любую невырожденную вещественную матрицу A можно единственным образом представить в виде произведения U B, где B — положительно определенная симметричная, а U — ортогональная матрицы.163Приведем алгоритм нахождения матриц B и U для данной невырожденной вещественнойматрицы A.

Будем считать, что A — матрица невырожденного оператора ϕ в некотором ортонормированном базисе.Если уже получено требуемое разложение A = U B, то AT A = B T U T U B = B 2 . Заметим, чтоматрица AT A симметричная положительная (это матрица положительного самосопряженногооператора ϕ∗ ϕ в ортонормированном базисе), поэтому существует такая ортогональная матрицаC, что Λ = C T AT AC — диагональная матрица Λ = diag (λ1 , . . .

, λn ), причем все λi > 0 (как собственные значения положительного самосопряженного оператора ϕ∗ ϕ). Поэтому AT A = CΛC T√√√√и оператор с матрицей B = C ΛC T , где Λ := diag ( λ1 , . . . , λn ), является положительнымсамосопряженным (поскольку данная матрица симметрична и все ее собственные значения по√√ложительны). Кроме того, B 2 = AT A, поскольку B 2 = C ΛC T C ΛC T = CΛC T = AT A. Значит,оператор с матрицей B является искомым арифметическим квадратным корнем из AT A.

Теперьортогональная матрица U однозначно находится из соотношения U = B −1 A.Посмотрим, какую геометрическую картину дает полярное разложение для невырожденного линейного оператора на евклидовом пространстве. Пусть {e1 , . . . , en } — ортонормированныйбазис из собственных векторов положительного самосопряженного оператора ψ, и µi — соответствующие собственныe значения. Пусть S(V ) = {v ∈ V | |v| = 1} — единичная сфера пространства V .

Тогда в координатах относительно базиса {e1 , . . . , en } она задается уравнениемPnPn2vi ei ∈ S(V ) поi=1 vi = 1. Посмотрим, куда она переходит под действием ψ. Для v =PPni=1 2PnPnw2wiлучаем w := ψ(v) = i=1 µi vi ei = i=1 wi ei , откуда vi = µi , поэтому 1 = i=1 vi = ni=1 µ2i —iуравнение n-мерного эллипсоида с полуосями µi . То есть ψ единичную сферу отображает в указанный эллипсоид. Дальнейшее применение ϑ к указанному эллипсоиду как-то его поворачиваети (возможно) отражает, но не меняет его геометрию (длины полуосей).Вернемся снова к матричной форме полярного разложения A = U B как в Следствии 9.42.√Через D обозначим введенную выше матрицу Λ, тогда B = CDC T , где C — ортогональнаяматрица. Подставляя это выражение в полярное разложение получим, что для невырожденнойвещественной матрицы A существуют такие ортогональные матрицы U1 , U2 , что A = U1 DU2 гдеD — диагональная матрица, на диагонали которой стоят арифметические квадратные корни изсобственных значений матрицы AT A.

Это так называемое сингулярное разложение матрицы A.Задача 9.43. Выясните, насколько однозначно сингулярное разложение? (Ответ: матрица Dопределена однозначно с точностью до перестановки диагональных элементов. При заданнойматрице D матрицы U1 и U2 определены с точностью до преобразования U1 7→ U1 U, U2 7→U −1 U2 , где U — ортогональная матрица, коммутирующая с D).9.9ДобавлениеВ данном разделе мы докажем важное утверждение о том, что у любого линейного оператора навекторном пространстве конечной положительной размерности над полем R существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Затем, используя этот результат, мы дадимеще одно доказательство существования собственного вектора у самосопряженного оператора, атакже доказательство существования канонического вида ортогонального оператора.164Мы знаем, что любой оператор на пространстве положительной размерности над полем Cимеет собственный вектор. Это выводится из алгебраической замкнутости C: любой многочленf (t) ∈ C[t] положительной степени имеет корень в C (а значит раскладывается на линейныемножители f (t) = a0 (t − λ1 ) . .

. (t − λn ) ).Для многочленов с вещественными коэффициентами нам известно, например, что всякий такой многочлен нечетной степени имеет вещественный корень, что приводит к существованиюсобственного вектора у любого оператора на вещественном пространстве нечетной размерности.Однако многочлен четной степени над R может не иметь вещественных корней, то есть на линейные множители над R он, вообще говоря, не раскладывается, но, как мы знаем, он раскладываетсяна линейные и квадратичные множители.

Это связано с тем, что неприводимые многочлены надR — не только многочлены первой степени, но также второй степени с отрицательным дискриминантом.Пусть f (t) ∈ R[t] — многочлен второй степени с отрицательным дискриминантом, пусть егостарший коэффициент равен 1. Тогда над полем C он раскладывается на линейные множители:f (t) = (t − λ)(t − λ) = t2 − (λ + λ)t + |λ|2 . Здесь мы использовали тот факт, что если многочленf (t) ∈ R[t] имеет корень λ ∈ C\R, то также его корнем будет и λ (это легко выводится из свойствкомплексного сопряжения).Когда мы изучали инвариантные подпространства линейных операторов, мы доказали такойрезультат: характеристический многочлен ограничения оператора на инвариантное подпространство делит характеристический многочлен самого оператора. Нельзя ли это утверждение обратить? Если бы это можно было сделать, то, поскольку вещественный многочлен положительнойстепени, не имеющий вещественных корней, обязан делиться над R на многочлен второй степени, то мы бы доказали в этом случае существование двумерного инвариантного подпространства.По-существу, мы именно это сейчас и сделаем.Итак, пусть ϕ : V → V — линейный оператор, где V — векторное пространство над полем R,причем dim V ≥ 2.

Характеристики

Список файлов лекций