Лекции Линал Ершов (1188212), страница 31

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 31)

Билинейная функция α : V × V → K называется симметричной (соответственно кососимметричной), если α(u, v) = α(v, u) (соответственно α(u, v) = −α(v, u)) длялюбых u, v ∈ V .Очевидно, билинейная функция симметрична (кососимметрична) тогда и только тогда, когдаее матрица в некотором (а значит в любом) базисе симметрична (кососимметрична).Например, билинейные функции из Примеров 7.2, 7.3, 7.4 симметричны, из Примеров 7.6 и 7.7кососимметричны (для доказательства кососимметричности последней нужно воспользоватьсяформулой интегрирования по частям), а из Примера 7.5 симметрична (кососимметрична) тогдаи только тогда, когда матрица A симметрична (кососимметрична).Равенство11(41)α(u, v) = (α(u, v) + α(v, u)) + (α(u, v) − α(v, u))22показывает, что любая билинейная функция единственным образом представляется в виде суммысимметричной и кососимметричной (это также следует из существования разложения пространства матриц порядка n в прямую сумму подпространств симметричных и кососимметричных).Пример 7.16.

Если α(u, v) = f1 (u)f2 (v) — билинейная функция ранга 1 (см. Пример 7.13), то1α+ (u, v) := (f1 (u)f2 (v) + f2 (u)f1 (v))2(42)будет симметричной, а1α− (u, v) := (f1 (u)f2 (v) − f2 (u)f1 (v))(43)2— кососимметричной билинейными функциями. Из того, что любая билинейная функция является суммой функций ранга 1 следует, что любая симметричная (соответственно кососимметричная)билинейная функция является суммой форм вида (42) (соответственно вида (43)).Чтобы мотивировать следующее определение, обратимся к конкретному примеру билинейнойфункции — скалярному произведению в евклидовом пространстве.

Вместо того, чтобы рассматривать скалярное произведение как функцию двух аргументов, можно рассмотреть функцию“скалярный квадрат вектора” v 7→ (v, v) = |v|2 от одного аргумента. Заметим, что если намизвестны скалярные квадраты всех векторов, мы можем восстановить и их скалярные произведения, используя теорему косинусов. Как мы вскоре увидим, это — общее свойство симметричных116билинейных функций и отвечающих им “скалярных квадратов”. По-научному, скалярные квадраты называются квадратичными функциями.Определение 7.17.

Квадратичной функцией на векторном пространстве V называется функцияq : V → K, для которой существует билинейная функция α : V × V → K такая, что q(v) =α(v, v) ∀ v ∈ V.То есть любая билинейная функция α задает квадратичную функцию qα , которая получаетсяиз α ограничением области определения с V × V на диагональ ∆V := {(v, v) | v ∈ V } ⊂ V × V. Изопределения непосредственно следует, что для любой квадратичной функции q на пространстве Vи любого скаляра λ ∈ K верно равенство q(λv) = λ2 q(v) ∀v ∈ V . В базисе квадратичная функцияPявляется выражением вида q(v) = i,j aij vi vj , то есть однородным многочленом степени 2 откоординат вектора.Заметим, что если α кососимметрична, то ей отвечает нулевая квадратичная функция.

Болееобщо, если две билинейные функции отличаются на кососимметричную функцию, то они определяют одну и ту же квадратичную функцию. Сейчас мы докажем, что по квадратичной функцииqα однозначно восстанавливается симметричная компонента билинейной функции α (см. формулу(41)).Действительно, если α — билинейная функция, то для соответствующей квадратичной функции qα и для любой пары векторов u, v ∈ V имеемqα (u + v) = α(u + v, u + v) = α(u, u) + α(u, v) + α(v, u) + α(v, v) == qα (u) + α(u, v) + α(v, u) + qα (v),откудаα(u, v) + α(v, u) = qα (u + v) − qα (u) − qα (v).В частности, если α симметрична, то1α(u, v) = (qα (u + v) − qα (u) − qα (v)).2(44)Положим по определению αq (u, v) = 12 (q(u + v) − q(u) − q(v)). Очевидно, что так определеннаябилинейная функция αq симметрична.Предложение 7.18. Сопоставленияα 7→ qα ,q 7→ αqопределяют взаимно обратные биекции между множествами симметричных билинейныхB + (V ) и квадратичных функций Q(V ).Доказательство.

Во-первых, проверим, что композицияB + (V ) → Q(V ) → B + (V ),α 7→ qα 7→ αqαтождественна. Действительно, qα (v) = α(v, v) и11αqα (u, v) = (qα (u + v) − q(u) − q(v)) = (α(u + v, u + v) − α(u, u) − α(v, v)) =221171= (α(u, u) + α(u, v) + α(v.u) + α(v, v) − α(u, u) − α(v, v)) = α(u, v) ∀u, v ∈ V.2Во-вторых, проверим, что композицияQ(V ) → B + (V ) → Q(V ),q 7→ αq 7→ qαqтождественна. Действительно,11qαq (v) = αq (v, v) = (q(2v) − 2q(v)) = (4q(v) − 2q(v)) = q(v), ∀v ∈ V.22Заметим теперь, что для произвольных множеств X, Y отображения f : X → Y и g : Y → Xтакие, что g ◦ f = idX , f ◦ g = idY являются взаимно-обратными биекциями, то есть f и gбиективны и g = f −1 , f = g −1 .Из доказанного Предложения следует, что все понятия, относящиеся к симметричным билинейным функциям (матрица, ранг, невырожденность и т.д.) переносятся на квадратичные функции. В дальнейшем изложении из соображений удобства мы будем иногда говорить о симметричных билинейных, иногда — о квадратичных функциях.Заметим, что так как матрицей квадратичной функции по определению является матрицасоответствующей ей симметричной билинейной функции, тоXXXq(v) =aij vi vj =aii vi2 + 2aij vi vj .i,j7.2ii<jПриведение билинейных симметричных (квадратичных) функций к диагональному видуНачиная с этого момента все рассматриваемые билинейные функции, если не оговорено противное, предполагаются симметричными.Для изучения билинейных функций полезно привлечь геометрические ассоциации, связанные с конкретным примером билинейной функции — скалярным произведением в евклидовомпространстве.

Например, условие ортогональности двух векторов в евклидовом пространстверавносильно тому, что их скалярное произведение равно нулю. Это мотивирует следующее определение.Определение 7.19. Векторы u, v ∈ V называются ортогональными относительно α, еслиα(u, v) = 0. Условие ортогональности векторов записывается u ⊥ v.Заметим, что так как α по предположению симметрична, то отношение ортогональности симметрично (то есть u ⊥ v ⇔ v ⊥ u).Определение 7.20.

Ортогональным дополнением к подпространству U ⊂ V относительно αназывается подпространствоU ⊥ := {v ∈ V | α(u, v) = 0 ∀ u ∈ U } ⊂ V.Очевидно, чтоV ⊥ = Ker α.118Предложение 7.21. Если функция α невырождена, тоdim U ⊥ = dim V − dim Uи (U ⊥ )⊥ = U.Доказательство. Если {e1 , . . . , ek } — базис в U, тоU ⊥ = {v ∈ V | α(ei , v) = 0, i = 1, . . . , k}.(45)Продолжим {e1 , . . .

, ek } до базиса {e1 , . . . , en } во всем пространстве V , пусть A — матрица α в этомбазисе. Равенство (45) теперь означает, что в выбранном базисе в V условие v ∈ U ⊥ равносильнотому, что координаты v удовлетворяют СЛОУ, матрица которой образована первыми k строкамиматрицы A. Так как α невырождена, то и матрица A невырождена, в частности, ее строки линейнонезависимы. Отсюда dim U ⊥ = n − k, где n = dim V, k = dim U, тем самым доказано первое изсоотношений.Дважды применяя доказанное соотношение, имеемdim (U ⊥ )⊥ = n − dim U ⊥ = n − (n − k) = k = dim U.С другой стороны, очевидно, что U ⊂ (U ⊥ )⊥ (действительно, любой вектор из U ортогоналенлюбому вектору из ортогонального дополнения к U ), поэтому U = (U ⊥ )⊥ (ср.

Теорему 4.18).Задача 7.22. Докажите, что если функция α невырождена, то для подпространств U, W вVU ⊂ W ⇔ U ⊥ ⊃ W ⊥.Если α — билинейная функция на V и U ⊂ V — произвольное подпространство, то очевиднымобразом определяется ограничение α|U , являющееся билинейной функцией на U .Определение 7.23. Подпространство U ⊂ V называется невырожденным относительно α, еслиограничение α|U невырождено.Очевидно, что Ker α|U = U ∩ U ⊥ , поэтому подпространство U невырождено тогда и толькотогда, когда U ∩ U ⊥ = 0.Очень важно понимать, что из невырожденности α на всем пространстве не следует невырожденность ее ограничения на любое подпространство. Причина в том, что для ограниченияα|U мы рассматриваем “скалярные произведения” векторов u ∈ U только на векторы из U , но может так оказаться, что несмотря на то, что α|U (u, u0 ) = α(u, u0 ) = 0 ∀u0 ∈ U, во всем пространствеV найдется такой вектор v ∈ V , что α(u, v) 6= 0.

Вот конкретный пример.Пример 7.24. Рассмотримбилинейную симметричную функцию α на двумерном пространстве V!1 0с матрицейв базисе {e1 , e2 }. В координатах она записывается как α(u, v) = u1 v1 − u2 v2 .0 −1Очевидно, что α невырождена, но тем не менее скалярный квадрат α(e1 + e2 , e1 + e2 ) вектораe1 + e2 равен нулю.

Поэтому ограничение α|he1 +e2 i на одномерное подпространство he1 + e2 i ⊂ Vнулевое. На самом деле he1 + e2 i⊥ = he1 + e2 i. То же верно и для вектора e1 − e2 .!0 20000Выбирая новый базис {e1 , e2 } в V , e1 = e1 + e2 , e2 = e1 − e2 , получаем для α матрицу,2 0из которой видно, что ограничения α на одномерные подпространства he01 i и he02 i нулевые (причемV = he01 i ⊕ he02 i!), в то же время сама α невырождена.119Как показывает следующее Предложение, если бы ограничение невырожденной α на любоеподпространство было бы невырожденным, это сильно облегчило бы жизнь. Очевидно, что это,например, верно в случае, когда K = R и α(v, v) > 0 ∀ v ∈ V, v 6= 0 (такие α называютсяположительно определенными).Предложение 7.25. Подпространство U ⊂ V невырождено относительно α тогда и толькотогда, когда V = U ⊕ U ⊥ .Доказательство.

Характеристики

Список файлов лекций