Лекции Линал Ершов (1188212), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Будет ли такой оператор диагонализируемым?108Задача 6.49.1) Найдите собственные значения и собственные векторы оператора ϕ, заданного в некотором базисе матрицейA = (a1 , . . . , an )T (b1 , . . . , bn ) 6= O.2) Найдите критерий диагонализируемости преобразования ϕ.Решение. Интерес представляет случай, когда n > 1. Заметим, что матрица A имеет указанныйвид тогда и только тогда, когда rk A = 1. Тогда dim ker ϕ = n − 1 > 0 и V0 := ker ϕ — собственноеподпространство, отвечающее собственному значению 0.С другой стороны, dim Im ϕ = 1 и в координатах Im ϕ = h(a1 , . .

. , an )T i. Если у ϕ есть собственное значение λ 6= 0, то соответствующий собственный вектор должен быть пропорционален(a1 , . . . , an )T , значит данный столбец тоже является координатным столбцом собственного вектора, то есть A(a1 , . . . , an )T = λ(a1 , . . . , an )T . С другой стороны, из вида матрицы A получаемA(a1 , . . . , an )T = ((a1 , . . . , an )T (b1 , . . . , bn ))(a1 , .

. . , an )T =!nXTT= (a1 , . . . , an ) ((b1 , . . . , bn )(a1 , . . . , an ) ) =ai bi (a1 , . . . , an )T ,(38)i=1Pnоткуда λ = i=1 ai bi .PТаким образом, если ni=1 ai bi = 0, то у ϕ имеется только одно собственное значение 0, и ϕне диагонализируем (поскольку пространство, на котором он действует, в этом случае не естьсумма собственных).

Кстати, в этом случае Im ϕ ⊂ ker ϕ.PЕсли же λ = ni=1 ai bi 6= 0, то у ϕ помимо собственного значения 0 есть еще одно собственноезначение λ и пространство, на котором действует ϕ, представляется в виде суммы собственныхподпространств V0 и Vλ , и значит оператор ϕ диагонализируем.Можно было бы рассуждать немного по-другому. Если оператор ϕ ранга 1 диагонализируем,то его единственное ненулевое собственное значение должно равняться tr ϕ и, значит, в силуPPинвариантности следа, также и tr A = ni=1 ai bi , поэтому в этом случае ni=1 ai bi 6= 0. Вообщедля оператора ранга 1 характеристический многочлен χϕ (t) согласно доказательству Следствия6.42 делится на tn−1 и, значит, имеет вид (−1)n tn−1 (t − λ) для некоторого λ ∈ K. Тогда если ϕ недиагонализируем, то по Теореме 6.44 λ = 0, а по формуле (33) λ и есть tr ϕ.Задача 6.50. Пусть характеристические многочлены матриц A и B равны.

Следует ли изэтого, что эти матрицы являются матрицами одного и того же оператора в разных базисах(то есть что B = C −1 AC для некоторой невырожденной матрицы C)? Тот же вопрос придополнительном предположении что A и B диагонализируемы.6.5Теорема Гамильтона-КэлиВ предыдущем параграфе мы видели, что не любой оператор диагонализируем даже в случаеалгебраически замкнутого поля K (такого как поле комплексных чисел C). Однако в последнемслучае всегда можно найти базис, в котором матрица оператора имеет так называемую жордановунормальную форму. Мы докажем ослабленную версию теоремы о жордановой нормальной форме,а именно существование у оператора матрицы треугольного вида.109Предложение 6.51.

Для оператора ϕ в конечномерном пространстве V над алгебраическизамкнутым полем K существует такой базис в V , в котором матрица ϕ является верхнетреугольной.Доказательство. Докажем Предложение индукцией по n := dim V. Если n = 1, то Предложениеочевидно. Пусть n > 1. Так как поле K алгебраически замкнуто, у ϕ существует собственноезначение λ ∈ K, то есть Vλ := ker (ϕ − λidV ) 6= 0. Тогда Im (ϕ − λidV ) 6= V и, значит, dim (Im (ϕ −λidV )) ≤ n − 1.

Пусть U ⊂ V — какое-либо n − 1-мерное подпространство в V , содержащееIm (ϕ − λidV ). Покажем, что оно ϕ-инвариантно. Действительно, ∀ u ∈ Uϕ(u) = ϕ(u) − λu + λu = (ϕ − λidV )(u) + λu ∈ U,поскольку (ϕ − λidV )(u) ∈ U и λu ∈ U.Так как dim U = n − 1 < n, то по предположению индукции существует базис {e1 , . .

. , en−1 } вU , в котором матрица B оператора ϕ|U верхнетреугольная. Дополним его произвольным! образомB Cдо базиса {e1 , . . . , en−1 , en } в V . В нем матрица A оператора ϕ будет иметь вид, где C —0 dстолбец высоты n − 1, а d — матрица порядка 1, и A, очевидно, является верхнетреугольной.Замечание 6.52. Заметим, что геометрический смысл доказанного Предложения состоит в существовании у оператора ϕ цепочки вложенных ϕ-инвариантных подпространств230 = V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . .

⊂ Vn−1 ⊂ Vn = Vтаких, что dim Vk = k, 0 ≤ k ≤ n (см. Задачу 6.18). С этой точки зрения шаг индукции состоитв доказательстве того, что у оператора ϕ на n-мерном пространстве V существует n − 1-мерноеинвариантное подпространство Vn−1 , после этого индуктивное предположение можно применитьк оператору ϕ|Vn−1 на Vn−1 .Как обстоят дела с существованием треугольной матрицы у преобразования вещественноговекторного пространства? Нетрудно заметить, что необходимым условием является вещественность всех характеристических чисел (корней характеристического многочлена) такого преобразования.

Действительно, у треугольной матрицы на главной диагонали стоят характеристическиечисла. Оказывается, это условие является и достаточным.Задача 6.53. Докажите, что если у преобразования ϕ вещественного пространства V всехарактеристические числа вещественны, то в V существует базис, в котором ϕ имеет верхнетреугольную матрицу. (Указание: для доказательства шага индукции воспользуйтесь Предложением 6.41).В доказательстве следующей Теоремы нам пригодится следующая Задача.Пусть ϕ — оператор на V , U ⊂ V — его инвариантное подпространство, а p(t) — некоторыймногочлен.

Тогда можно вычислить многочлен p(ϕ) от оператора ϕ, это снова будет операторна V , причем легко убедиться, что U будет его инвариантным подпространством. Затем можно23Такая цепочка называется флагом.110оператор p(ϕ) ограничить на U и получить оператор p(ϕ)|U : U → U .

А можно выбрать другой порядок действий: сначала ограничить ϕ на U , а потом вычислить многочлен p(ϕ|U ), снова получивнекоторый оператор на U . Утверждение заключается в том, что p(ϕ)|U = p(ϕ|U ). Доказательствоследует непосредственно из определений.Задача 6.54.

Пусть ϕ : V → V — линейный оператор, U ⊂ V — ϕ-инвариантное подпространство. Пусть p(t) ∈ K[t] — многочлен. Тогда p(ϕ)|U = p(ϕ|U ) как линейные операторы на U.Если подставить матрицу оператора в его характеристический многочлен, получится нулеваяматрица. Говорят, что многочлен p(t) аннулирует (квадратную!) матрицу A, если p(A) = 0 (справа стоит нулевая матрица того же порядка, что и A). Заметим, что если p(t) аннулирует матрицуA оператора ϕ в каком-то базисе, то он аннулирует его матрицу и в любом другом базисе, таккак p(C −1 AC) = C −1 p(A)C для любой невырожденной матрицы C. Поэтому корректно говоритьоб аннулирующем многочлене самого́ оператора.Теорема 6.55.

Характеристический многочлен χϕ (t) аннулирует оператор ϕ.Доказательство. Теорему докажем сначала для алгебраически замкнутого поля K.Снова будем пользоваться индукцией по n := dim V. При n = 1 Теорема очевидна: t−λ аннулирует ϕ = λidV . Пусть n > 1. Выберембазис {e1 , . . . , en } в V , в котором ϕ имеет верхнетреугольнуюµ1 ∗ ∗ . . .

∗ 0 µ2 ∗ . . . ∗ матрицу  0 0 µ3 . . . ∗  . Заметим, что µ1 , . . . , µn — все собственные значения ϕ, только..... . ...  ...... 0 0 0 . . . µnне обязательно попарно различные. Характеристический многочлен χϕ (t) равен (t−µ1 ) . . . (t−µn ).Пусть U := he1 , . . . , en−1 i ⊂ V. Из вида матрицы (конкретно из того, что в последней строчкевсе элементы кроме µn равны нулю) следует, что подпространство U ⊂ V ϕ-инвариантно. Легко также видеть, что Im (ϕ − µn idV ) ⊂ U.

Так как оператору ϕ|U отвечает левый верхний блокпорядка n − 1 приведенной выше треугольной матрицы, то χϕ (t) = χϕ|U (t)(t − µn ), и χϕ (ϕ) является композицией двух операторов, ϕ − µn idV и χϕ|U (ϕ), причем образ первого содержится вU , а ограничение второго на U есть χϕ|U (ϕ)|U = χϕ|U (ϕ|U ) (см. Задачу 6.54), а последний оператор χϕ|U (ϕ|U ) равен нулю по предположению индукции. Значит Im (ϕ − µn idV ) ⊂ ker (χϕ|U (ϕ)),поэтому χϕ (ϕ) = χϕ|U (ϕ) ◦ (ϕ − µn idV ) = 0, и шаг индукции тем самым доказан.Если поле K не является алгебраически замкнутым (например K = R), то воспользуемсятем, что его всегда можно вложить в алгебраически замкнутое поле L.

Например, вещественнуюматрицу A можно рассматривать также как комплексную, и для нее Теорема верна (то естьχA (A) = 0). Но характеристический многочлен χA (t) не зависит от того, рассматриваем мы Aкак вещественную или комплексную матрицу, а значит Теорема верна и для исходного поля K.Задача 6.56. Докажите, что если оператор ϕ невырожден, то его обратный ϕ−1 являетсямногочленом от ϕ.Многочлен минимальной степени со старшим коэффициентом 1, аннулирующий данный оператор ϕ, называется минимальным многочленом оператора ϕ и обозначается µϕ (t).111Используя алгоритм Евклида (деления с остатком) легко показать, что µϕ (t) | χϕ (t) (болееточно, минимальный многочлен делит любой аннулирующий).Заметим, что минимальный многочлен может как совпадать (с точностью до множителя ±1)с характеристическим, так и отличаться от него.

Например, для тождественного оператора idVна n-мерном пространстве V характеристический многочлен равен ±(t − 1)n , в то время какминимальный равен t − 1. Еще пример: характеристические многочлены нулевого оператора иоператора дифференцирования на пространстве R[x]n равны ±tn+1 , в то время как минимальныйв первом случае t, а во втором — совпадает с характеристическим.Последний пример подсказывает, что наличие кратных корней у минимального многочлена— препятствие к диагонализируемости. Это действительно так.Предложение 6.57. Оператор ϕ над алгебраически замкнутым полем K диагонализируем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен µϕ (t) не имеет кратных корней.Доказательство.

Характеристики

Список файлов лекций