Лекции Линал Ершов (1188212), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Она содержит n! слагаемых, каждое из которых является произведением, в которое входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы A (последнее потому что (k1 , k2 , . . . , kn ) — перестановка чисел1, 2, . . . n). Таким образом, если мы выбираем i-ю строку, то (14) можно записать в видеdet A =nXaij uj ,j=1где uj (позднее мы отождествим их с алгебраическими дополнениями, ср.

Теорему 3.36) не зависятот элементов i-й строки матрицы A. Например, для i = 1 имеем:Xdet (A) =sgn(k1 , k2 , . . . , kn ) a1k1 a2k2 . . . ankn =(k1 ,k2 ,...,kn )∈Sn= a11Xsgn(1, k2 , . . . , kn )a2k2 . . . ankn + a12(1,k2 ,...,kn )∈SnXsgn(2, k2 , . . .

, kn )a2k2 . . . ankn + . . .(2,k2 ,...,kn )∈Sn+a1nXsgn(n, k2 , . . . , kn )a2k2 . . . ankn(n,k2 ,...,kn )∈Sn(каждая из n сумм в правой части содержит (n − 1)! слагаемых, то есть всего слагаемых n!).Осталось доказать, что функция, определяемая формулой (14) — кососимметричная функциястрок матрицы A.

Посмотрим что с ней происходит при перестановке i-й и j-й строк матрицы.Разобьем множество всех перестановок на пары, получаемые друг из друга транспозицией ki иkj . Согласно Предложению 3.11, произведения a1k1 a2k2 . . . ankn , соответствующие перестановкамиз одной такой пары, входят в выражение (14) с противоположными знаками. При перестановкеi-й и j-й строк они поменяются ролями и, следовательно, все выражение умножается на −1.Более подробно, пусть A0 — матрица, полученная в результате перестановки указанных строк,а a0rs — ее элементы. Для определенности предположим, что i < j. В разложение определителяматрицы A0 произведение a01k1 .

. . a0iki . . . a0jkj . . . a0nkn входит со знаком sgn (k1 . . . ki . . . kj . . . kn ). Ноa01k1 . . . a0iki . . . a0jkj . . . a0nkn = a1k1 . . . ajki . . . aikj . . . ankn , и если последнее произведение переписатьв порядке возрастания номеров строк исходной матрицы A, то оно равно a1k1 . . . aikj . . . ajki . . . anknи входит в разложение определителя матрицы A со знаком sgn (k1 . . . kj .

. . ki . . . kn ), который поПредложению 3.11 противоположен знаку sgn (k1 . . . ki . . . kj . . . kn ).В доказательстве Теоремы нами получена важная формула (14), называемая формулой полного разложения определителя n-го порядка.45Задача 3.22. Убедитесь, что при n = 2, 3 формула (14) дает известные выражения для определителей второго и третьего порядков.Задача 3.23.

1) Имеются ли в формуле полного разложения определителя матрицы A =(aij ) пятого порядка слагаемые a15 a12 a34 a21 a43 , a55 a12 a34 a21 a43 ? 2) С какими знаками входят в формулу полного разложения определителя матрицы пятого порядка слагаемыеa12 a21 a34 a45 a53 , a15 a23 a34 a41 a52 ?Пример 3.24.

Из (12) легко получить, что0 0 . . . 0 λ1 0 0 . . . λ2 0 n(n−1) = (−1) 2 λ1 . . . λn .det . . . . . . . . . . . . . . . . . . .λn 0 . . . 0 0Задача 3.25. Докажите, что для любой квадратной вещественной матрицы A верно равенство det (E + hA) = 1 + h tr A + O(h2 ) при h → 0. Какой геометрический смысл (с точки зренияориентированных объемов) имеет эта формула?Предложение 3.26. При элементарных преобразованиях строк, введенных в Определении 2.15,определитель меняется следующим образом. При элементарных преобразованиях типа I от неменяется, при преобразованиях типа II — умножается на −1, при преобразованиях типа III —умножается на c.Доказательство. В случае элементарного преобразования типа I i-я строка преобразованнойматрицы A0 равна ai + λaj (при этом остальные строки такие же как у исходной матрицы A).Используя линейность определителя по i-й строке, получаем, что det A0 равен сумме det A и λ,умноженной на определитель матрицы, у которой две одинаковые строки (а именно i-я и j-я,равные aj ).

В силу кососимметричности определителя по строкам последний определитель равеннулю.Поведение определителя при элементарных преобразованиях типа II и III следует непосредственно из его кососимметричности и линейности по строкам.Предложение 3.27. Для любой матрицы A ∈ Matn (K) и элементарной матрицы S имеемdet (SA) = det(S)det(A).В частности, определитель невырожденной матрицы равен произведению определителей элементарных матриц, в произведение которых она раскладывается.Доказательство. Напомним, что если элементарная матрица S отвечает элементарному преобразованию строк ς, то ∀ A ∈ Matn (K) имеем ςA = SA. Отсюда det(ςA) = det(SA). В частности,полагая A = E, из Предложения 3.26 получаем, что detS равно 1, −1 и c, если ς — элементарноепреобразование типа I, II и III соответственно. Осталось еще раз применить Предложение 3.26.Предложение 3.26 дает эффективный метод вычисления определителей.

А именно, мы знаем,что любую квадратную матрицу с помощью элементарных преобразований строк можно привести46к верхней треугольной матрице, причем при каждом элементарном преобразовании Предложение3.26 позволяет контролировать изменение определителя. То есть достаточно научиться считатьопределители верхних треугольных матриц.Предложение 3.28. Определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.Доказательство.

Согласно формуле (14) каждое слагаемое в разложении определителя являетсяпроизведением, в которое входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Впервом столбце единственный элемент, который может быть ненулевым у верхней треугольнойматрицы это a11 , если мы его выбираем, то из второго столбца мы можем взять элемент не изпервой строки, единственный такой элемент, который может быть отличен от нуля это a22 ит.д.Задача 3.29. Вычислите определитель из Примера 3.24 с помощью перестановок строк.Следующая теорема дает обещанный ранее критерий невырожденности матрицы.Теорема 3.30.

Матрица A невырождена тогда и только тогда, когда det A 6= 0.Доказательство. Если для какой-то матрицы определитель отличен от нуля (равен нулю), топоскольку максимум что с ним может произойти при элементарных преобразованиях строк —умножение на ненулевое число, он также отличен от нуля (соотв. равен нулю) на всем классестрочно эквивалентных ей матриц.Из предыдущего мы знаем, что матрица невырождена тогда и только тогда, когда ее классстрочной эквивалентности содержит строгую верхнетреугольную матрицу (т.е.

такую верхнетреугольную матрицу, у которой на главной диагонали стоят ненулевые элементы), определителькоторой согласно предыдущему Предложению отличен от нуля.Если же исходная матрица вырождена, то она строчно эквивалентна такой верхнетреугольнойматрице, у которой на главной диагонали обязательно есть нули, и значит ее определитель опятьже в силу предыдущего Предложения равен нулю.Следующая наша цель — доказательство того, что свойства определителя (полилинейность,кососимметричность) относительно столбцов такие же как относительно строк.Мы знаем, что в выражение (14) входят все произведения матричных элементов по одному из каждой строки и из каждого столбца. Как определить знак, с которым произведениеai1 j1 ai2 j2 .

. . ain jn входит в (14), не упорядочивая его по возрастанию номеров строк?Лемма 3.31. Пусть (i1 , i2 , . . . , in ) и (j1 , j2 , . . . , jn ) — две произвольные перестановки. Тогда произведение ai1 j1 ai2 j2 . . . ain jn входит в выражение (14) со знаком, равным произведению их знаковsgn(i1 , i2 , . . . , in ) sgn(j1 , j2 , . . . , jn ).Доказательство. Для того, чтобы выяснить, с каким знаком входит в (14) рассматриваемое произведение, нужно расположить его сомножители в порядке возрастания номеров строк.

Этогоможно добиться, последовательно меняя местами два сомножителя. При каждой такой перемене47в перестановках, образуемых номерами строк и столбцов, происходят транспозиции, так что произведение их знаков не меняется. Таким образом, если полученное в результате произведениебудет иметь вид a1k1 a2k2 . . . ankn , тоsgn(k1 , k2 , . . . , kn ) = sgn(i1 , i2 , . .

. , in ) sgn(j1 , j2 , . . . , jn ),а это и означает, что рассматриваемое произведение входит в (14) с указанным знаком.Теорема 3.32. det AT = det A.Доказательство. Определитель матрицы AT , как и определитель матрицы A, есть алгебраическая сумма всевозможных произведений n элементов матрицы A, взятых по одному из каждойстроки и из каждого столбца. Единственное, за чем надо проследить — это то, что одинаковыепроизведения входят в det A и det AT с одинаковыми знаками.В силу предыдущей Леммы для перестановок (i1 , i2 , .

. . , in ) и (j1 , j2 , . . . , jn ) произведение ai1 j1 ai2 j2 . . . ain jn входит в разложение определителя матрицы A со знакомsgn(i1 , i2 , . . . , in ) sgn(j1 , j2 , . . . , jn ). Если мы упорядочим сомножители этого произведения по номерам столбцов, то получим al1 1 al2 2 . . . aln n для некоторой перестановки (l1 , l2 , . . . , ln ), причемsgn(i1 , i2 , . . . , in ) sgn(j1 , j2 , . .

. , jn ) = sgn (l1 , l2 , . . . , ln ) (опять же в силу предыдущей Леммы). Тоесть al1 1 al2 2 . . . aln n = aT1l1 aT2l2 . . . aTnln входит с тем же знаком sgn (l1 , l2 , . . . , ln ) в разложение определителя det AT что и в разложение определителя det A.Заметим, что из доказанной Теоремы снова легко вывести Следствие 2.33.Следствие 3.33. Определитель есть полилинейная кососимметрическая функция столбцовматрицы. Любая такая функция пропорциональна определителю с коэффициентом, равным еезначению на единичной матрице.Теорема 3.34. (об определителе матрицы с углом нулей). Пусть матрица A имеет вид!B D,A=0 Cгде B и C — квадратные матрицы порядков k и n−k соответственно.

Тогда det A = det B ·det C.Доказательство. Для фиксированных матриц C ∈ Matn−k (K) и D ∈ Matk×(n−k) (K) определимфункцию fD,C : Matk (K) → K формулой!B DfD,C (B) = det∀ B ∈ Matk (K).0 CФункция fD,C является полилинейной и кососимметричной функцией столбцов матрицы B, поэтому fD,C (B) = det(B)fD,C (E). Аналогично, для фиксированной матрицы D ∈ Matk×(n−k) (K)определим функцию gD : Matn−k (K) → K формулой!E DgD (C) = det∀ C ∈ Matn−k (K).0 C48Функция gD является полилинейной и кососимметричной функцией строк матрицы C, поэтомуgD (C) = det(C)gD (E).

Характеристики

Список файлов лекций