Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 37
Текст из файла (страница 37)
3.1 (5 3.2). К таким методам относятся метод зпреобразования (9 3.3), который эквивалентен дискретизации непрерывной свертки с использованием формулы прямоугольников (9 3.2); метод Цыпкина — Гольденберга; метод Рагаззини — Бергена (9 3.3). Рис. Злв. Различие между выходными сигналами непрерывной и эквивалентной импульсной системы образуется,в результате неточного восстановления входного сигнала интерполирующим фильтром в схеме рис. 3.1. Ошибку выходного сигнала Ло(1) = о(1) — о„(1) в этом случае можно рассматривать как выходной сигнал схемы,,показанной на рис. 3.10,а, которая, очевидно, эквивалентна схеме, представленной на рис. 3.!О,б.
Ошибка Лп(Г) является результатом преобразования ошибки интерполяции входного сигнала Ли(Г) заданной линейной системой. Корреляционно-спектральные характеристики ошибки Ли(1) при различных видах интерполяции стационарных случайных сигналов были найдены в 9 1.7. Зная их, легко можно найти характеристики ошибки выходного сигнала.
238 если 6 (а) — энергетический спектр Действительно, если,„а— ь ия искоо сигнала, то диспе ия ошибки интерполяции входног мой ошибки равна а = — ( 6 (а) Ыа= — ~ 6 (оо) (К (!а) ('с(а, о где 6,(а)=6 „(аы )а ), 'К ('а))о — энергетический'спектр иско- мой ошибки. о ного сигнала в расУчитывая, что дисперсия выходного сиги сматриваемом случае равна о = — 1 6(а)) К фо)) Ча, о о л (1.42) для вычисления энергетиче- и используя формулу, .
с кого спектра ошибки о бки интерполяции входного сигнала, общее выражение для р нахождения ва атической погре относительнои среднекв др , возникающей в результате з ходпого сигнала, воз» " з прерывной линейной системы эквивале системой о о до — о (а = К (!а)) )- — Ф(а) !Ко(!а)1*11~ ()~л 'о 1 $ 0 (а)~К (!а)1 "о' о (3.128) е К 'а) — частотнаЯ хаРактеРистика Р инте полируюгде о(1а Ф( ) ергетический спектр дискре™О- щего фильтра; ~а! — эне го сл чайного процесса иИ ы Ло целесообразно принять в качестве мер ти " ации непрерывных ти иск етной аппроксим о м ла '3 128) позволяет найти точлинейных систем. Формула, .
поза шага дисмого типом пеРедаточной фУнкции о' )а инте ного с, лучайного сигнала н от передаточной унк 239 К()ь2) заданной непрерывной системы. К сожалению,это выражение является довольно громоздким. Однако имеется возможность найти более простые приближенные оценки величины Л2. Действительно, если частота дискретизации входного сигнала в несколько раз превышает полосу пропускания системы, а спектр сигнала в области высоких частот убывает достаточно медленно, то в пределах полосы пропускания энергетический спектр ошибки интерполяции входного сигнала можно принять постоянным и равным 0,„(0) (см.
рис, 1.7, на котором оплошмыми линиями (О, 1, 2, 3, 4) показаны примеры энергетических спектров О „ (е)) и пунктиром — частотная характеристика системы). Тогда =2„))) — 1))()) ))'и =0„)0)~юф)й, )3122) о ~ 1 К (12)) (г,(<,) Д2 = а„„(0) „' (3.130> ~6(м)1(К()мН и о Величина С) „(О) может, быть вычислена по формуле (1.44). Поскольку у наиболее распространенных типов интерполирующих фильтров коэффициенты ~передачи па нулевой частоте Ко(0) одинаковы и равны 2М (см.
табл. 1.1), то согласно формуле (1.44) а,„(0> =Д(а;(0) а(0>, (3.131> Из соотношений (!.129) — (1.131) следует, что погрешность дискретной ап)проксимации слабо зависит от типа интерполирующего фильтра. На это указывалось в (18>. Однако этот эффект не имеет абсолютного характера: он наблюдается только при выполнении указанных выше условий. В частности, им нельзя пользоваться в случаях, когда спектр входного сигнала в области частот выше частоты д~нскретизации резко убывает или же равен нулю, 240 Дополнительное упрощение оценки величины Ь' можно получить, если учесть следующее обстоятельство. Пусть Ь = 24,/а' — отношение дисперсии ошибки интерполяции входного сигнала к дисперсии самого сигнала. После прохождения процессов Ли(4) и и(1) через заданную линейную систему отношение их дисперсий будет равно искомой величине Л2.
Спектр ошибки интерполяции входного сигнала обычно в несколько раз шире спектра самого сигнала, следовательно, у ароцесса Ли(() доля дисперсии, приходящаяся на высокочастотные составляющие, болыпе чем у процесса и(1). При прохождении этих процессов через заданную систему (при условии, что она пропускает в основном низкие частоты) высокочастотные составляющие отфильтровываются (см. рис.
1.7), так что отношение дисперсии этих процессов уменьшается. Следовательно, в этих случаях (3.132) Таким образом, при достаточно широких условиях относительная погрешность выходного сигнала Ь', возникающая в результате замены непрерывной системы дискретной системой, не превышает относительной погрешности интерполяции входного сигнала Ьз,. Величина Ь может бытьнайдена по формулам, выведенным в $ 1,7, в частности по~формулам (1.48). Рассмотрим теперь несколько иное использование приведенной здесь методики нахождения )погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем. Пусть в качестве моделируемой системы задана некоторая линейная непрерывная следящая система с передаточной функцией К(у). Если и(1) и и(() — входной и выходной сигналы системы соответственно, то ошибка слежения будет равна Ли2(г) =и(() — о(4).
При замене непрерывной следящей системы эквивалентной импульсной следящей системой ошибка слежения будет равна Ли„(() =и(1) — и. ((). Погрешность дискретной аппроксимации в этом случае можно оценить, сопоставляя дисперсии 2 „и а „ошибок 2 2 ~0 пи, (г) и Ьи (г) при случайном стационарном входном сигнале. 16 — 160 241 ,',,= — '~а( )!1 — К(1 )1' ( . о Для ~вычисления .дисперсии ошибки Лыч(1) можно воспользоваться формулой (1.42), если заменнть,в ней Ко()ю) произведением Ко()ш)К()ш), т. е, заменить передаточную функцию иитерполирующего фильтра переда- Рис.
3.11. точной функцией приведенной непрерывной части. В ~этом легко убедиться, сравнивая рнс. 3.11 н 1.6, на которых показаны схемы формирования ошибок Ли,(4) н Лио(1) (на рнс. 1.6 зто Ли(1)1 соответственно. Отношение искомых дисперсий будет равно в з эьи, эьио 1 (--' ~б(в) ~1 — б1 Ве К, ()в) К()в)~ + б( Ф(в)~Х о $ О (в)!1 — К ()в)11 Ив о эс)К,()в) КВв)[бв (3.133) Величина А наряду с величиной Лз может служить еще одной мерой погрешности дискретной аппроксимации непрерывных следящих систем.
Пример 1. Рассмотрим применение полученных выше соотношений для оценки погрешности цифрового интегрирования стационарного экспоненцяально-коррелнронан~ного случайного процесса и(1). Корреляционная функция н энергетический спектр его, а также 242 Дисперсию ошибки Ьиэ(1) можно, очевидно, выразить в виде энергетнче ий спе р со твующего ди рш ог, случайного процесса и[п) выражаются формулами ~(!.47) . Величину интеграла г о= ~ и(1) й( (3.134) о можно РассматРивать как величину сыпала о(1) в 1=7 блюдоемого яа выходе непрерывной линейной системы, импульсная переходная характеристика и передаточная функция которой имеют соответственно вид [1, 0~! ~Т, Тз1птвТГ2 Т72)* Вычисление интеграла (3.!34) по различным формулам численного интегрирования с равным шагом дискретизации соответствует, как легко видеть, замене данной непрерывной системы эквивалентной импульсной системой по схеме рнс.
1.4 с различными типами ннтерполирующих фильтров. В частности, яри использовании формулы прямоугольников и формулы трапеций передаточные функции кнтерпалнрующих фильтров будут иметь ннд, показанный в табл. 1.1 (№ 1, 2, 3). В результате дискретизации вычислеяное значение о. интеграла (1.
134) будет отличаться от его истинного значения о. Приведенных характеристик достаточно, чтобы, подставив их в выражения ~(3.129)з(3.132), найти соответствующие оценки погрешности цифрового интегрированна случайного процесса. Рассмотрим, в частности, случай, когда интервал интегрирования Т в несколько раз болыпе времени корреляции процесса и(1).
Эта означает, что полоса праяускаяня системы с передаточной функцией (31ЗБ) существенно меньше ширины спектра входного сигнала и(Г) н тем более меньше ширины спектра ошибки интерполяции этого сигнала (й 1.7, рис. '1.7). 'В таком случае согласно формулам (3.!29), '(ЗЛ31) дисперсия ошибки цифрового интегрированна (дисперсия разности до=о — о.) яе зависит ат типа ннтерпалнрующего Фильтра (т. е. метода интегрирования) л равна г 'ь - [ь1Ф (0) — О (0)) ~ йз (1) а = [й(ф (0) 6 (0)1 т Отсюда, используя выраженая (1.47) н (3.133), легко получим зй (3.130) Дисперсия самого интеграла (1.134) равна оэ г = — ~ О (в) [ К Вв) [' г(в = эс 8 [' з1п' (вТ72) Ыв 2 ( Т+ — „г В о 1ба В рассматриваемом случае Ты„>) 1, следовательно, е "! 0 и 2 из — (ю Т вЂ” 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
