Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Т алго итм р выделения квадратурных составляющих запи- шется ~в виде У,[п]=и[пй], У,[п]=и[пй — '(], 1=1, 2,... (3.126) Итак, для моделирования на ЦВМ операций детекти- же рования узкополосного процесса и(1) согласно пре иному методу требуется два основных вида цреобра- едло- зований: выборка значений колебания и(1) в дискрет- 3.126 и ных равноотстоящих точках по формулам (3.124)— ( . ) и вычисление дискретных последовательностей 232 значений параметров этого колебания (амплитуды, фазы и т. д.) в соответствии с алгоритмами (3.113), (3.119). Заканчивая рассмотрение данного метода, целесообразно сделать следующее замечание.
Рассмотренные алгоритмы, позволяют по имеющейся записи узкополосного процесса выделить в дискретной форме его заранее неизвестные законы модуляции. При этом должно быть точно зафиксировано начало отсчета времени, т. е. положение нуля на оси времени при модуляции и при детектировании должно быть одним и тем же. Реально это соответствует когерентному детектированию, когда в качестве опорного напряжения в фазочувствительных.детекторах используется высокостабнльная несущая. Оценим, к чему приведет детектирование по описанному методу пря произвольном выборе начала отсчета времени, эквивалентном тому, что вместо точек фиксации 1„=пб(„ 1 х , =-[и — — ~ М, мгновенных значений колебания и«) 4 и— берутся точки г'„=Г„ +0, 1'„ , =г„ , + 0„ где 0 — произвольно взятое значение временного сдвига из интервала времени (О, йг,).
Сдвиг точек фиксации равносилен замене колебания на входе цифрового детектора и(г)=(у«)сс [м.1+у «Н колебанием и« вЂ” 0) =и« вЂ” 0) соз [м,(+у. « — О) — м,0]. Поскольку функции У(1) и 1р (1) медленно меняются по сравнению с сов во(, погрешностью за счет временнбго сдвига этих функции на величину, не большую периода несущей, .практически можно пренебречь, т. е. можно считать, что и« вЂ” 0)=У«)сов [в,1+Ь„«) — М, гле Чч=юой — случайная фаза, равномерно распределенная в интервале (О, 2п).
Следовательно, цифровое детектирование,по данному методу прн произвольном выборе начала отсчета времени эквивалентно детектированию колебания с яеизвест- ззз ной (случайной) начальной фазой несущей частоты, что реально соответствует детектированию, когда в фазочувствительных детекторах вместо вькокостабильной несущей в качестве опорного напряжения попользуется гармоническое колебание высокостабильного источника, независимого от генератора несущей. При таком детектировании амплитудные и частотные законы модуляции выделяются, очевидно, с той же точностью как н при строго когерентном детектировании, а фазовый закон модуляции может быть выделен лишь с точностью до постоянной составляющей ~рв При детектировании колебаний со случайной равномерно распределенной начальной фазой нестабильность нуля времени, очевидно, никак не сказывается на статистических характеристиках выходного эффекта цифрового детек.
тора. 3.7. Оценка погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем При приближенной замене непрерывных систем, дискретными системами возникает погрешность, в результате которой истинные значения о]п] сигнала п(Г) на выходе непрерывной системы в точках 1„=пег отличаются от вычисленных значений п.(п] на выходе дискретной системы. Ошибка Ло]п]г п[п] — п.1п], обусловленная дискретизацией, будет, вообще говоря, тем меньше, чем меньше шаг дискретизации М. В пределе при Лй — +О процессы в непрерывной и эквивалентной дискретной системах совпадают. Однако при уменьшении шага дискретизации увеличивается объем вычислений, поэтому шаг Л4 целесообразно выбирать как можно большим, но удовлетворяющим заданной точности вычислений. В настоящее время, к сожалению, не представляется возможным указать достаточно простой общий способ выбора значения шага дискретизации, обеспечивающего заданную точность при различных методах дискретизации.
Можно лишь сказать, что ошибка вычисления дискретных значений сигнала на .выходе непрерывной системы будет мала, если шаг дискретизации приближенно удовлетворяет условиям теоремы Котельникова. Для использования этой теоремы нужно знать ширину спектра сигнала и ширину полосы пропускання системы. Однако эта теорема ие дает ответа на вопрос, какова аЗ4 будет величина ошибки .прн заданном шаге дискретизации в реальных условиях, когда функции не имеют строго ограниченного спектра.
Г1оэтому задача оценки погрешности дискретизации является предметом самостоятельных исследований. В общем случае погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем зависит от шага дискретизации, метода дискретизации, вида входного сигнала, характеристик системы и, наконец, от выбранной числовой меры погрешности. Такое разнообразие факторов, влияющих на погрешность, существенно затрудняет ее количественную оценку.
Поэтому обычно задачу оценки погрешности дискретной аппроксимации сужают. В первую очередь это относится к ограничению класса входных сигналов: оценку .погрешности ~проводят при некоторых типовых (стандартных) воздействиях. Часто погрешность дискретной аппроксимации непрерывных систем оценивают прн воздействии в виде единичного скачка (оценка погрешности путем сравнения переходных процессов в непрерывной и дискретной системах (85, 109]). Суть такого метода состоит в следующем.
При выбранном шаге дискретизации вычисляется переходная характеристика дискретной системы и сравнивается с аналогичной ~переходной характеристикой чепрерывной системы. В качестве меры погрешности может быть выбрано, например, среднеквадратпческое отклонение кривых. Если при выбранном шаге дискретизации различие переходных процессов велико, то, уменьшая шаг, можно добиться приемлемой точности дискретной аппроксимации. Переходная характеристика дискретной линейной системы строится путем расчета,по рекуррентным формулам вида (3.24) при и]п]=1, п=О, 1, 2,, и нулевых начальных условиях, что легко осуществляется, например, с помощью настольной клавишной вычислительной машины.
Для построения переходной характеристики непрерывной системы могут быть использованы хорошо известные из теории линейных систем автоматического регулирования методы (см., например, ]45]), в частности метод получения переходной характеристики путем оты! скання оригинала изображения — К(р), где К(р) — передаточная функция системы. 235 Х ( м, 7( (е — )мы ) К ()и) (3.!27) которое при выбранном шаге дискретизации, равно отг рмоники на выходе ношению комплексной амплитуды га мон дискретной системы к когяплексной амплитуде гармони- Если построение переходного процесса в непрерывной системе затруднительно, то шаг дискретизации практи- чески можно выбрать следующим образом.
Строится последовательность переходных характери- стик дискретной системы для ряда уменьшающихся (на- пример, в два ~раза) значений шага дискретизации М. После этого выбирается то значение Ж, начиная с кото- рого переходная характеристика практически не изме- няется с уменьшением Лй В основу такого, приема поло- факт, что при Ы вЂ” ~0 процессы в эквивалентной импульсной системе совпадают с процессами в непре- рывной системе, В качеств стае стандартного сигнала используется также гармоническое колебание (оценка погрешности путем сравнения частотных характеристик непрерывной и дис- кретной систем (85)). Нетрудно найти общую формулу для такого сравне- ния. Действительно, частотная характеристика непре- рывной системы с передаточной функцией' К( ) й' (р) есть ()а).
астотная характеристика эквивалентной дис- кретной системы с передаточной функцией К„(г), как известно (85), получается из К.(г) путем замены г на — ).ьс е, т. е.. К (уо) = К (г) при г=е мы Функции К(уо) и К„(е ~ м) имеют аналогичный смысл: для непрерывных систем К()а) означает то, что гармониче- ское колебание е) ", , поданное на вход системы, вызывает на выходе в установившемся режиме гармоническую реак- цию и(()=К()ы)е; для дискретныхснстем К ( м ) )ы чает то, что дискретная гармоника е' " на входе системы вызывает на выхо де системы в установившемся режиме дискретную гармонику о(п) =К (е )"ы) ) м" ить по О погрешности дискретной аопроксимаци и можно су- д отношению частотных характеристик ки на выходе исходной нейрерывной системы пря одном и том же гармоническом воздействии с частотой е на входах обеих систем.
В области частот, где Дд (~ч1 Д() — 1 — (К ()в йс)$вв0 агцК()м. й() ~ 0 будут малы соответственно амплитудные и фазовые погрешности дискретной аппроксимации. Зная ~передаточную функцию К(р) и ее дискретный эквивалент К. (г) при различных методах дискретной аппроксимации (э'3.2; 3.3), в каждом конкретном случае по формуле (3.127) можно довольно просто рассчитать 1погрешность дискретизации в частотной области, Примеры использования формулы (3.127) для оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации интегрирующего авена ~первого порядка даны в (851. В некоторых работах (20, 251 оценивается ошибка дискретной аппроксимации непрерывных систем при стационарном случайном воздействии на входе.
Поскольку случайный процесс, представляет собой целый ансамбль сигналов, оценка погрешности при случайном воздействии дает некоторую усредненную величину погрешности по ансамблю сигналов, а не по одному какому-нибудь элементарному сигналу. Это является важным доводом в пользу такого рода оценок. Ниже рассматриваются вопросы оценки среднеквадратической ~погрешности дискретной аппроксимации непрерывных систем, когда в качестве стандартного входного сигнала используется стационарный случайный процесс. Случайный сигнал является более сложным по структуре, чем элементарные стандартные сигналы в виде единичной ступеньки или гармонического колебания, но, несмотря на это, он позволяет найти довольно простые оценки погрешности, а при некоторых условиях даже более простые, чем при классических стандартных сигналах.
Пусть задана некоторая линейная непрерывная система с постоянными ~параметрами с передаточной ~функцией К(р) и импульсной переходной характеристикой й(ч), на вход которой воздействует стационарный случайный процесс 4(Е) с энергетическим спектром 6(ы). 237 Рассмотрим методы дискретизации заданной системы, которые соответствуют замене ее эквивалентной импульсной системой по схеме, представленной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
