Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 31
Текст из файла (страница 31)
200 Для увеличения точности следует стремиться применять методы 'дискретной аппроксимации, позволяющие использовать информацию о полюсах передаточной функции (методы дискретной аппроксимации повышенной точности). К ним относятся методы, описанные в пп.1 — 4 этого параграфа. Если передаточная функция имеет высокий порядок и нахождение ее полюсов связано с большими трудностями, то методы повышенной точности следует применять к отдельным звеньям системы, полюсы которых известны или легко находятся.'Подготовительная работа при этом усложняется незначительно, ибо она, как уже отмечалось, сводится к расчету по готовым формулам.
В тех случаях, когда полюсы найти не удается и в качестве элементарных звеньев системы приходится использовать интегрирующие звенья, методы дискретной аппроксимации повышенной точности теряют свои заметные преимущества в точности; однако возможность применения их не исключается (табл. 3.2).
В этом смысле методы повышенной точности являются универсальными и более перспективными. При прочих равных условиях наибольшей точностью среди, описанных методов дискретной аппроксимации обладают, по-видимому, метод Рагаззини — Бергена и метод, предложенный автором, в случае, когда интеграл У„(я+2) вычисляется способом Симпсона (формула (3.68)), так как первый основан на линейной интерполяции, а второй — на квадратичной интерполяции функций по дискретным точкам. Эти виды интерполяции обладают большей точностью, чем ступенчатая интерполяция (метод Цыпкнна — Гольденберга) и интерполяция с помощью 6-функций (метод я-преобразования), и могут быть рекомендованы как наиболее перспективные.
Метод Цшпкина — Гольденберга несколько уступает им по точности. Наименьшей точностью при аппроксимации интегрирующих звеньев порядка выше 1-го обладает метод Тастнна, так как он соответствует повторному применению формулы трапеций. Для увеличения точности дискретной аппроксимации непрерывных передаточных функций в принципе возможно применение интерполирующих функций более высокого порядка, чем линейная и квадратичная [49, 63).
Однако,при этом заметно усложняются алгоритмы. Поэтому приемы дальнейшего уве- 201 личения точности дискретной аппроксимации часто не оправдывают себя. Практически бывает выгоднее несколько уменьшить шаг дискретизации, чем применять алгоритмы, основанные на высших интерполяционных формулах. Заметим, что приведенная здесь сравнительная характеристика методов дискретной аппроксимации основана на качественной оценке их точности. Задача количественной оценки погрешности различных методов дискретной аппроксимации является довольно сложной.
Методы решения 'этой задачи излагаются в 2 3.7. 3.4. Моделирование узкополосных линейных систем Рассмотренные выше алгоритмы позволяют находить. мгновенные значения сигнала на выходе линейной динамической системы по известным мгновенным значениям сигнала на входе и удобны для применения при цифровом моделировании вндеотрактов радиоустройств, следящих систем и т, д. В радиотехнической практике широко распространены узкополосные высокочастотные линейные системы типа резонансных усилителей нфильтров промежуточной частоты. Узкополосные (избирательные) линейные системы можно определить как системы, у которых импульсная переходная характеристика представляет собой колебание с некоторой средней частотой о>о, равной средней (резонансной) частоте системы, и с медленно меняющимися по сравнению с созе>о( огибающей Н(1) и фазой >ро(4) Ь (1) = Н (1) соз [о>,1+ уо (1)! = Ре Н (1) е >"', (3.81) >т„и> где Н(1)=Н(1)е комплексная огибающая импульсной переходной хаоактеристики.
Г!ри исследовании процессов в избирательных системах, как поавило, рассматриваются случаи, когда входной сигнал и(г) [а следовательно, и выходной сигнал о(>)) также поедставляют собой колебания с медленно меняющимися комо >ти и> плексными огибающими 1)о (1) = Н' (1) е и Ч' (1) = о = Уо (1) е и с некоторой средней (несущей) частотой <о„ мало отличающейся от резонансной частоты о>о, т.
е. 202 о,. и(г)=[те()о(1)е>"'=ЙеН(1)е " е е>"'~; о, о(Е)=)теЧ'(г)е>"'~=йеУ(1)е ". е~~~е~ь", где 0 = о>, — ио — расстройка несущей частоты входного сигнала относительно резонансной частоты системы, причем Г2 ~~ >оо; Н (Е), ~р (1), У(Е), » (1) — законы амплитудной и фазовой модуляции входного и выходного сигналов. В дальйейшем расстройку частоты сигнала будем учитывать как дополнительное линейно изменяющееся слагаемое закона фазовой модуляции. Комплексный закон модуляции сигнала будем записывать в виде 1)(1)=Н(2)е ", Ч(1)=У(Г)е ", (3,82) где у„Я='2 (г)+Ш, р„(1)=>2 (г)+к1г. При исследовании избирательных систем обычно интересуются на мгновенными значениями сигнала на выходе системы, а мгновенными значениями его медленно меняющихся параметров — огибающей У(1) нфазы>р,(1), т.
е. мгновенными значениями его комплексной огибаю- и(ей Ч(1). В связи с этим задачу цифрового моделирования избирательных линейных систем целесообразно ставить как задачу нахождения алгоритмов, позволяющих вычислять на ЦВМ дискретные значения Ч[л)= = Ч(пИ) комплексной огибающей сигнала на выходе системы по известным дискретным значениям Щп) = =Г)(и>>>2) входного сигнала изаданным характеристикам системы. Для вычисления дискретной комплексной огибающей выходного сигнала в принципе можно использовать описанные выше алгоритмы, с помощью которых можно найти последовательность мгновенных значений выходного сигнала, а затем, воспроизводя на ЦВМ операции амплитудного и фазового детектирования, можно найти дискретную огибающую У[л) и дискретную фазу >Гамп) выходного сигнала.
Однако такой путь связан с большим объемом вычислений. Во-первых, для обеспечения требуемой точности при дискретном представлении быстро осциллирующих функций нужно выбирать очень малый шаг 203 дискретизации, который часто во много раз меньше времени наблюдения процессов в моделируемой системе, что приводит к необходимости формирования очень большого числа дискретных значений процессов. Так, например, для воспроизведения иа ЦВМ одной реализации узкополосного сигнала длительностью 10 мксгк, имеющего среднюю частоту 1г — — 30 Мгц, при шаге дискретизации Ы=1/2Д, т. е. при двух выборках на период средней частоты, требуется вычислить 600 дискретных значений сигнала.
' Во-вторых, моделирование операций детектирования требует дополнительных вычислений. Ясно, что такой прием моделирования обладает явной избыточностью, т. е. значительная часть операций является излишней.- Весьма эффективным способом сокращения объема вычислений .при цифровом ~моделировании избирательных радиосистем является применение метода огибаю- а(их, позволяющего свести преобразование узкополосных процессов прн их прохождении через избирательные линейные системы к преобразованию медленно меняющихся комплексных амплитуд.
4. Метод огибающих..Комплексные линейные фильтры Приведем некоторые, необходимые для дальнейшего сведения, относящиеся к методу огибающих. Согласно методу огибающих 13Ц комплексная амплитуда ЧЯ сигнала на выходе узкополосной линейной системы выражается через комплексную амплитуду 11(1) входного сигнала следующим интегральным соотношением: ЧЖ=Ф РН()()И„' — )(ч, (3.83) СО где Н ® — комплексная огибающая импульсной переходной характеристики системы. Выражение (3.83) является комплексным аналогом интеграла свертки (3.3) (интеграла. Дюамеля). Простой вывод формулы (3.83) имеется в работе (88).
В частном случае, когда входной сигнал точно настроен на среднюю частоту системы н имеет лишь ампли- 204 тудную модуляцию 1ф,(1) — 0), а импульсная переходная характеристика системы не имеет фазовой модуляции (~рь(1) — = 0), огябающие в выражении (3.83) будут вещественными: 60 2 В этом случае формула свертки для амплитуд отличается от формулы свертки для мгновенных значений лишь множителем Ъ Следует отметить, что равенство (3.83) является приближенным. Однако погрешностью метода огибающих можно пренебречь, если функции 1)(1) и Ч(1) медленно . меняются по сравнению с созвг(.
Это условие выполняется, если ширина спектра колебания и(1), ширина полосы пропускання линейной системы, на которую оно воздействует, и расстройка частоты входного сигнала по отношению к средней частоте системы малы по сравнению с частотой аь Абсолютные значения полосы и расстройки роли не играют. если функции 1)(О и н11) имеют рассмотренные в 5 3.2 односторонние'или двусторонние ограничения во времени, то пределы в интеграле (3.83) будут иметь такой же вид, как н в интегралах (3.4) — (3.8). В частности, если $)Я=О при 4<0 и узкополосная система физически осуществима (Н(1) = — 0 при 1(0), то Ч(1)= —,' ~Н(.) и',К вЂ”.) 1. (З.84) о Если же импульсная переходная характеристика системы имеет конечную длительность (нлн допускает аппроксимацию функцией, ограниченной во времени), то т и(()= —,' ~Н(.)и(1 — )(., (3.86) о где Т вЂ” длительность импульсной переходной характеристики.
Существенным достоинством формулы комплексной свертки (3.83) является то, что она позволяет прн линейных преобразованиях высокочастотных процессов 2сп оперировать лишь с их медленно меняющимися законами модуляции практически без потери точности н информации, заключенной в высокочастотных колебаниях. При этом несущая частота, не содержащая информации, исключается из рассмотрения. В этом и состоит сокращение избыточности при использовании метода огибающих.
Комплексную свертку (3.83) можно рассматривать как описание поведения так называемого линейного комплексного фильтра [34, 43], преобразующего комплексный сигнал (3(() в комплексныйсигнал У®,при этом НО(3) = ! =- — Н (г) — импульсная переходная характеристика комплексного фильтра. В операторной форме процесс комплексной фильтрации можно записать в виде У(р) =К(р) (3(р), где )3(р) и У(р) — изображения по Лапласу входного и выходного комплексных сигналов соответственно; К(р) — передаточная функция комплексного фильтра [нзображенне по Лапласу функции НО(()]. Комплексный сигнал $3(г) имеет вполне определенный физический смысл, если его рассматривать как пару вещественных сигналов: %31(3) = Не $3(~), $3,(4) =(ш%3((), представляющих собой вещественную и мнимую части комплексного сигнала (квадратурные компоненты сигнала).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
