Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Последнее наиболее просто осуществляется при моделировании разомкнутых систем, содержащих только последовательно включенные звенья. Моделирующие алгоритмы для таких систем получаются путем суперпознции (типа «функция от функцинь) алгоритмов, моделирующих отдельные звенья систем. Выходной сигнал в этих случаях выражается в явном виде через входной сигнал. Более сложной является задача моделирования замкнутых нелинейных функциональньсх систем, содержащих один или несколько контуров обратной связи. Алгоритмы, описывающие функционирование замкнутых систем в целом, также получаются путем соответствующей комбинации алгоритмов, описывающих отдельные звенья систем, но при этом выходной сигнал, вообще говоря, не выражается в явном виде через входное воздействие.
Значения выходного сигнала при моделировании замкнутых нелинейных систем могут быть найдены путем решения на каждом шаге нелинейных алгебраических уравнений. Однако это затруднение, как будет показано ниже, во многих случаях можно обойти путем введения в цепи обратной связи элемента запаздывания на величину шага дискретизации. При этом моделирование замкнутых нелинейных 'функциональных систем принципиально не отличается от моделирования разомкнутых систем. В данной главе рассматриваются вопросы цифрового моделирования линейных динамических звеньев (нли систем в целом, если эти системы линейны), нелинейных безынерционных звеньев и нелинейных систем, содержащих линейные динамические и нелинейные безынерционные звенья.,Моделирование последних рассматривается как,при отсутствии, так и при наличии замкнутых контуров.
165 В этой главе основное внимание уделено задаче цифрового моделирования непрерывных систем как наиболее сложной и важной задаче. Импульсные системы можно рассматривать как разновидность непрерывных систем, у которых воздействия прерываются во времени (чаще всего периодически). Поэтому для моделирования импульсных систем, в особенности тех, у которых интервалы между воздействиями (импульсамн) соизмеримы с длительностями импульсов (системы с малой скважностью или квазинепрерывные системы), можно применять те же методы, что и для моделирования непрерывных систем.
Задача моделирования так называемых амплитудно- импульсных систем 1-го рода (851, у которых информация заключена лишь в амплитудах имлульсных сигналов, является, по существу, упрощенным вариантом задачи моделирования непрерывных систем, когда задан шаг дискретизации и метод дискретной аппроксимации (см, % 3.2, п. 2, % 3.3). Какие-либо специальные методы моделирования импульсных систем в этой главе не рассматриваются. 3.2. Цифровые модели непрерывных линейных динамических систем, основанные на дискретной свертке Рассмотрим непрерывную линейную динамическую систему с постоянными параметрами. В качестве основ- ных характеристик системы обычно используются пере- даточная функция К(р) в смысле преобразования Лап- ласа и импульсная переходная характеристика Ь(1), представляющая собой реакцию системы на б-функцию.
В общем случае функции К(р) и Ь(1) являются, как из- вестно, парой 'функций, сопряженных по Лапласу: К ()у) = ~ Ь (1) е и 'г(г, с+1с Ь (1) = — ~ К (р) е" ' Ф)з. с — 1 Если 'функция Ь(() абсолютно ннтегрируема, то ха- рактеристики К(р) и Ь(1) связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье; 1бб са К ()и) = ~ Ь (О е '"' с(г, со (3.2) Ь (1) = — ~ К ()ю) е1ыйе. Формулы (3.2) являются частным случаем 1формул (3.1).
Для того чтобы при нулевых начальных условиях определить реакцию линейной системы на сигнал произвольного вида, достаточно иметь характеристики К(р) нлн Ь(1). ~При моделировании в качестве основной характеристики линейной системы удобно использовать импульсную .переходную характеристику Ь(1), с помощью которой можно довольно просто выразить сигнал о(1) на выходе системы через входной сигнал и(1): о(г) =и(1) з(сй(1)= )'и(с)Ь(г — с)с(с= ~ и (1 — ч) Ь (с) д с. (З.З) Согласно формуле (3.3) сигнал на выходе линейной,системы является результатом скользящего интегрирования входного сигнала с весовой функцией Ь(2) ..Формула (3.3) называется, как известно, интегралом Дюамеля, а также ~формулой свертки.
В дальнейшем ~будет использоваться последний термин. ~В формуле (З.З) предполагается, что подынтегральные функции заданы на всей осн, прн этом они могут быть неограниченными и ограниченными во времени. В последнем случае значения функций вне области задания полагаются тождественно равными нулю, Пфи различных односторонних и двусторонних ограничениях во времени функций и(1) и И(1) пределы интегрирования можно уточнить. В наиболее распространенных частных случаях ограничений по времени формула (З.З), как нетрудно показать, имеет следующий вид. 1.
Сигнал и(1) неограничен во времени. Функция И(1) имеет одностороннее ограничение: И(1) — = О при 1<О (зто условие всегда имеет место для физически осуществимых линейных систем), о (1) = $ и (ч) И (! — ч) Н с = ~ И (ч) и (1 — с) с(с. (3.4) — сс о 167 2. Сигнал и(1) яеовраяячея во времени. Функция й(1) ямеег двустороннее отраяячеяяе; й(1) — = 0 пря 1<0 я 1>Т, а т о- ] ыы -ц -]из г- и' г — т 3. Функции и(1) я й(з) имеют односторояяее ограничение: и(1) =0 яря 4<О я й(1) — 0 пря 1<0, о (1) = г 1 О, 1<0, (3.6) ] а (ч) й(1 — ч) дч ] й(ч) и(1 — ч) йч, Ю) О.
о о 4. Сигнал и(1) ямеот двустороннее ограничение: и(Е) =0 цря 1<0 я яря !>Т, функции й(1) ограничена с одной стороны: й(1) О цря 1<0, 10, 1<О, г (3.6) и (т) й (1 — т) г(т = ~ й (ч) и (1 — ч) г(ч, О ~ 1 чк Т, о о т и (ч) й (1 — т) йт = ~ й (т) и (1 — т) гИ, 1.л Т. о г — т и(1) = (з.т) 6. Функции и(1) я й(г) имеют одинаковое двустороннее ограяячеяяе: и(1) — й(1) — 0 пря 1<0 в пря 1> Т, О, 1<0, с ( ~ и (т) й (1 — ч) г(ч = ~ й (т) и (1 — ч) йч, О ~1 ~ Т, о о и (ч) й (т — ч) П = 1 й (ч) и (1 в ) И~, Т«ЫЛТ, г — т г — т 1> 3Т.
о (1) = Выражения (3.4) — (3.8) представляют собой .непрерывные математические модели линейных динамических систем с постоянными параметрами. Одним из принципов получения цифровых моделей непрерывных систем является переход от уравнений (3.3) — (3.8) к соответствующим дискретным эквивалентам. Рассмотрим методы дискретизации этих уравнений. 168 (3.8) Формула ~(3.6) используется, например, пря аяалязе прохождвяяя ямпульсяого сигнала через согласованный с ням оптямальный фильтр (88).
(. Дискретизация с использованием формул численного интегрирования Наиболее простым по своей идее способом получения цифровых моделей непрерывных систем является замена интегралов вида (З.З) — (3.8) соответствующими суммами. Для замены интегралов суммами существует большое количество методов (методы численного интегрирования). Рассмотрим применение формул численното интегрирования на примере выражения (3.5), когда функция Й(4) имеет двустороннее ограничение (функцию ЙЯ, неограниченную вправо, можно приближенно заменить ограниченной, если Й('() — эО при ( — ьоо). Дискретные значения сигнала на выходе системы в точках г„=аЛ~( равны т о [и] = ~ Й (ч) и (пй( — с) с(ч. о Пусть дискретный входной сигнал п[п]=и(пМ) задан с тем же шагом Лв и пусть Ж в целое число раз меньше Т, т.
е. ТлМ=Тт. При достаточно малом М последовательность ц[п] проще всего найти, заменяя интеграл суммой по способу прямоугольников, основанному на замене подынтегральной функции ступенчатой кривой: и — 1 и [и].= о, [и] = йг ~~~~ Й [Й]и [п — Й], (3.9) а=о где Й[Й]= Й (ЙМ) — дискретная импульсная переходная ха рактеристика . Аналогично осуществя яетея дискретизация и других уравнений (3.4) — (3.8).
Например, уравнению (3.4) соответствует следующий дискретный эквивалент: а — ! оа [п] - М ~ Й [Й] и [и — Й], (3.(О) Согласно алгоритму (3.9) преобразование дискретного входного процесса и[п] в дискретный выходной процесс о[п] осуществляется путем скользящего суммироваяия первого е весовой функцией а[Й]=ИИ[Й], равной 9 точностьк1 до множителя М дискретной импульсной 169 переходной характеристике системы, другими словами, путем дискретной свертки функций и[п] и а[п]=оп]. Существует ряд других методов численного интегри- рованна, более точных по сравнению со способом пря- моугольников (см„например, [3]). Из них часто приме- няются метод трапеций и метод Симпсона (формула па- рабол).
При использовании метода трапеций формулы (3.9) и (3.10) имеют соответственно вид оо [и] = 2„' с [Ь] Ь'[Ь] и [и — Ь], о=о о ц, [п] = х~~~ с [Ь] Ь [Ь] и [и — Ь], (3. 1 2) о=о где с [Ь]= — со [Ь[, со [Ь] = 1, 2, 2, ..., 2, 2, 1. При использовании метода Симпсона нужно выбрать параметр Ж четным и вычисления производить по формуле а„[п] = ~ с [Ь] Ь [Ь] и[п — Ь], (3.!3) где с [Ь] = — с, [Ь], с,[Ь] = 1, 4, 2, 4, ..., 2, 4, 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
