Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. дискретных реализаций двух стационарных н стационарно-связанных нормальных слу. чайных процессов с експаненциальяыми авто- и взаимно корреляционными функциями вида (2.115). При другом подходе к синтезу формирующего фильтра нужно сначала найти спектральную матрицу соответствующего дискретного многомерного случайного процесса [1Цп]!!. В рассматриваемом 136 где 2 2 2. 2 2 2 2 | 2 а1! — — (1 — р!!) а1!! адг — — (! — Р!2) а|,аыг; а22 — (! — Ртз! «22, Произведя факторизацию спектральной матрицы -!! р (г) 1! аналогично факторизации спектральной матрицы [! 6 (в) !1, получим Уа„(г — р„) О (1 — Р т)(' — Р ) а„(г — р„) а (г — г|) (г — г|) г,г, Уа (1 — р г)1 Уаы (1 Р|аг) (! Рвг) (2.1 !6) абсолютная величина которых больше единицы, где 2 2 2 4 а = а1!аж Р!2 — а12Р||Р|1 р = а|2 [Ры (~ +Р22) + 011(1+ О!!Н 2а!1а22 Р|, (1+ Р12)! 4 ' 2 2 2 2 2 1 - а! 4 (1 + р!2)1 а!2 (1 Р'!) (! + Рщ ) Передаточной матрице |(2Л16) соответствует следующий рекуррентный алгоритм формирования дискретных реализаций процессов 21[а] и Яз[п] из реализаций независимых последовательностей х1[л] и хз[п] независимых нормальных случайных чисел с параметрами (О, 1) (дискретный двумерный белый шум) я„[а] = — рв Уа„х, [а] + Уамх, [л — 11+ -»- (Р + рв) Е11 [и) — рмр 411 [а — 2»; 3м [л] = — — рф1х1 [л] + рг — х1 [л — Ц + р а„ + 2Р,з3з, ]л — Ц вЂ” Р~айм [л — 2]1 йза [л] ~ — '' х, [л] — ~ — а (г, + г,) х, [л — Ц + ха [л — 2] + г а,1 г г,г,а„ + (2ры + раз) йы ]л — Ц вЂ” 2ры (р1з + 2ри) фаз [л — 2] + р[арзДаа [л — 3].
Написанные рекуррентные уравнения легко получить, если произвести идентификацию передаточных функций К.и(г), К„ы(г) и К*и(г) матрицы (2.116). Рассмотренный пример показывает, что факторизация спектральных матриц осуществляется сравнительно просто, если удается аналитически найти нули соответствующих полиномов. Прн факторизации спектральной матрицы непрерывного двумерного процесса это не представляло труда, так как для определения нулей требовалось решать только квадратные и биквадратные уравнения. При факторизации спектральной матрицы дискретного двумерного процесса были квадратные уравнения и возвратное уравнение четвертой степени, также допускающее аналитическое решение. В других, более сложных случаях нули иолинома не всегда удается найти аналитически.
В этих случаях прибегают к численным методам решения уравнений л-й степени. В общем виде процесс факторизации можно реализовать на ЦВМ как стандартную программу. Для этой цели кроме приведенного здесь могут быть использованы и другие алгоритмы факторизации (91, 95, 97). Следует заметить, что все существующие в настоящее время алгоритмы факторизации спектральных матриц, вообще говоря, весьма трудоемки. По определению (71, 90), случайный процесс $(г) со стационарными й-ми приращениями (СПСП-й) — это такой слуЧайНЫй ПрОцЕСС, й-я раЗНОСтЬ КОтОрОГО а1„'(р) яВЛяЕтСя Стационарным случайным процессом, где а (г) = а (1) =3 (1) — с (Р— Ы).
Такому определению, как нетрудно видеть, удовлетворяют случайные процессы, у которых математическое ожидание ла(1) является полнномом ]з-й степени и л-я производная 91а1(1) представляет собой стационарный случайный процесс. В дальнейшем положим лз(1) — О. СПСП используются, например, при описании траекторий движения некоторых целей в радиолокации (2), когда скорость, ускорение или более высокие производные закона движения целей можно считать стационарными случайными процессами.
Другим примером СПСП является набег фазы генератора, модулированного по частоте стационарным случайным процессом (59, 71). С точки зрения цифрового моделирования в качестве основной характеристики СПСП й удобно использовать корреляционную функцию Й-й разности процесса: Яы'(а, йу)=М(а1",-'(()амм)(1 — т)). (2.117) Рассмотрим моделирование случайных процессов со стационарными уг-ми приращениями по заданным корреляционным функциям их й-х приращений. Для получения моделирующих алгоритмов выразим А-ю разность а'„",' (1) СПСП-я через значения самого процесса Цу). Для СПСП-1 ааг (У) — 3 (~) 3(~ ~)ю т а 139 2.10.
Моделирование иестациоивриых нормальных случайных процессов со стационарными приращениями В данном параграфе рассматривается моделирование специального класса нестационарных нормальных случайных процессов, а именно случайных процессов со стационарными приращениями (СПСП). 138 для СПСП-2 ~~ (1)=$(Р) — 23(Ф вЂ” а()+3(Р—,2И), вообще, для СПСП-й, как нетрудно показать, а„",' (1) = ~; ( — ц С„3(у — лабу), где С"= а) — биномиальные коэффициенты. От. к е! (и — и)! сюда Е(!)=в!„' (1) — ~' ( — 1)»С Е(Ю вЂ” лгД().
Переходя к соответствующим дискретным функциям, получим Е [и] = е,'",~,[п] — Е ( — 1) С"„Е[п — лх]. (2.118) Например, для случайного процесса со стационарными третьими приращениями Е [и]=а~~! [л]+ЗЕ[и — 1] — ВЕ[а — 2]+Е[и — 3]. Согласно (2.1!8) передаточная функция дискретного линейного фильтра, формирующего из А-й разности СПСП-А дискретные значения самого процесса, имеет вид К.
(а) =, (2.119) Итак, дискретные реализации СПСП-й можно формировать по рекуррентному алгоритму, используя дискретные значения е,'~! [л] й-й разности процесса, Поскольку й-я разность является стационарным случайным процессом с корреляционной функцией (2.117), для формирования ее дискретных значений можно использовать рассмотренные выше алгоритмы. Таким образом, для моделирования случайного процесса со стационарными А-ми приращениями можно использовать следующий способ. На ЦВМ с помощью рассмотренных выше алгоритмов моделируется стационарный дискретный случайный процесс е, [п]с корреляно цнонной функцией (Е(')[и, 1]=г(')(ид1, д(), а из него согласно рекуррентному уравнению (2.118) формируется требуемый случайный процесс. При выработке начального значения 8[О] процесса Е[а] предыдущие 140 его значения Я вЂ” а], я=1, л, можно либо положить равными. нулю, либо задаться ими, исходя из начальных условий решаемой задачи, например при моделировании траекторий целей, движущихся со случайным стационарным ускорением (СПСП-2), для нахождения Е[ — ~1], Е[ — 2] можно использовать заданные в качестве исходных начальные значения положения цели и ее скорости.
~На практике случайный процесс со стационарными приращениями не всегда удобно характеризовать с помощью корреляционной функции его А-й разности. В ряде случаев в качестве основной характеристики СПСП-й целесообразно использовать корреляционную функцию й-й производной процесса, являющейся стационарным случайным процессом.:В связи с ~этим представляет. интерес рассмотреть моделирование СПСП-й по их заданной Й-й производной. Пусть 141") (т) и 0 ю (и) — корреляционная функция и энергетический спектр й-й производной случайного процесса Е(!) со стационарными й-ми приоащеннями.
Требуется, используя Жю(т) или 6~ю(м), найти алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций случайного процесса Е(!). Для получения такого алгоритма достаточно найти связь между корреляционной функцией Янн(т) й-й производной СПСП-й и корреляционной функцией Р~ (т) А-й разности процесса, чтобы потом воспользоваться рекуррентной формулон (2.118). Эту связь можно найти следующим образом. Случайный процесс Епч(4), который является й-й производной от ОПСП-А, наблюдается на выходе линейной системы с передаточной функцией К~(р) =р", когда на вход системы воздействует процесс Е(!).
Обратно, зная Енн(Г), можно восстановить исходный случайный процесс Е(1) (с точностью до начальных условий, которые в дальнейшем положим нулевыми), пропуская Епо(!) через линейную систему с передаточной функцией К() т. е. через интегриоующее звено Й-го порядка. В свою очередь, й-я разность е',' (1) процесса Е(г) может быть получена путем пропускания его через линейную 141 где 142 / 1, ]е] ~ Ы~2, [О, ]е!)в1/2; й ( й,,) ]Л1 — /ей ]е/=~З1, о. ] ])з1 систему из одинаковых последовательно соединенных звеньев, состоящих из элемента задержки на М и вычитающето элемента (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
