Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 23
Текст из файла (страница 23)
!В общем случае — это функция четырех переменных. Для моделирования марковского случайного процесса достаточно знать условную :плотность вероятностей перехода (2.135) и плотность вероятностей ш(Еа, (а) начального значения Еа в момент времени (о, при этом получение дискретных реализаций процесса сводится, очевидно, к следующему. Формируется реализация (йа случайной величины й(1) с функцией плотности е)(йо, (о), затем формируется реализация (й( случайной величины Е( с функцией плотности п)(Е), () ]й(ь 1о) и т.
д, В результате получается последовательность чисел изображающая дискретную реализацию ))Е(( ) марковского случайного процесса й(й) с заданной условной ПЛОтНОСтЬЮ ВЕРОЯтНОСтЕй ПЕРЕХОДа Еав(4, 9 -Ь (н, Г -))" Для получения следующей реализации процесса повторяется та же операция; в результате получается последовательность чисел 2Е((о), 29((1), ...
и т. д. Прн моделировании марковских случайных процессов для ~формирования на ЦВМ случайных чисел с заданным 149 законом распределения могут быть использованы методы, рассмотренные в $ 1.4. В более общем случае рассматриваются У-мерные марковские процессы, т. е. У взаимосвязанных между СОбОй ПрОцЕССОВ й1(4), ..., $п(4), В СОВОКуПНОСтн ОбЛадающих марковскими свойствами. Эти процессы характеризуются условной плотностью вероятностей перехода из состояния $1 ь ..., $нп 1 в момент времени ! в состояние 41„, ..., йн„в момент времени 4„, которая имеет вид гв (йа и "' Ев ~ !и 11п1п-о ''' Ев ~ 1и-1) =шп(п1 и " ~ йв„1~ и-о - $в„е 1п, (п ). (2.136) Моделировапие У-мерных марковских процессов по заданной условной плотности вероятностей перехода (2836) в принципе ие отличается от моделирования рассмотренных выше одномерных (простейших) марковских процессов, однако получение У-мерных дискретных реализаций с ростом У усложняется, так как на каждом шаге требуется !формировать реализации У-мерных случайных векторов.
Последнее, как было показано в э !1.5, вообще говоря, является непростой задачей. Другим обобщением одномерных марковских процессов являются одномерные марковские проЦессы У-го порядка, отличающиеся от простейших марковских процессов тем, что плотность вероятностей перехода в очередное состояние зависит не от одното, а от У предшествующих состояний. ~Показано (78), что марковский процесс У-го порядка можно рассматривать как компоненту У-мерного марковского процесса, поэтому моделирование марковских процессов У-го порядка может быть сведено к моделированию У-мерных марковских процессов. Выше шла речь о моделировании марковских процессов общего вида; на характеристики про~пессоа не накладывалось других ограничений, кроме указанных выше..В приложениях распространенными являются марковские процессы, которые удовлетворяют дополнительным условиям, чаще всего, условию нормальности ,распределения, стационарностн (однородности), а также условию нормальности и стационарности одновременно.
1БО В этих случаях моделирование марковских процессов уп. рощаепся. Действительно, у стационарных марковских случайных процессов плотность вероятностей перехода вида (2.135) и (2.136) зависит лишь от разности Лй„=4„— (п ь Это упрощает процесс моделирования (в особенности для одномерных марковских процессов), так как уменьшается число аргументов функции шд(заэ $п — ь (п гп-1) которую требуется хранить в памяти ЦВМ прн моделировании. Число аргументов при переменном шаге дискретизации уменьшается на одну, а при постоянном — на две единицы.
Функция шп имеет в этих случаях вид !ВО Йп $п-Ь а)(п) И ШВ(эп $п-Ь Л() СООтастетВЕННО, ГДЕ Лй = сон з1. При.моделировании нормальных марковских процессов, у которых плотности вероятностей перехода вида (2.'135) и (2.136) являются нормальными, на каждом шаге требуется !формировать реализации только нормальных случайных величин (одномерных нли У-мерных соответственно), что осуществляется, как было показано в первой главе, сравнительно просто. Можно показать (78), что нормальные марковские процессы У-го порядка являются нормальными случайными процессами, й-с производные которых стацнонарны и имеют рациональный спектр (см.
8 2.!О), а при к=0— просто стационарными нормальными случайными процессамн с рациональным спектром. Методы моделирования таких процессов по нх корреляционно-спектральным характеристикам были рассмотрены в 8 2.3; 2.4; 2.6; 2.9; 2,10. В частности, марковским стационарным нормальным процессом 1-то порядка является экспоненциально-коррелированный процесс, который неоднократно упоминался выше ($2,3, пример 2; % 2.6, табл. 2.2, № 1 и др.).
Этим единственным яропессом и исчерпывается класс марковских стационарных нормальных процессов 1-то порядка (781. К марковским ста~ционарным нормальным процессам относятся процессы № 2 — 5 в табл. 1.2, 8 2.6 (процессы 2 го ~порядка). Три примера марковских нормальных нестационарных процессов рассмотрены в $2.10 (случайный процесс со стационарной экспоненциально-коррелированной первой производной и винеровские процессы 1-го и 2-го порядка). Вопросы моделирования марковских стационарных И! нормальных случайных процессов У-го порядка с переменнным шагом рассмотрены в работе(66).
Специальным классом ма~рковскнх случайных процессов являются марковские цепи (7). Они отличаются от рассмотренных выше марковских процессов тем, что множество возможных состояний их является дискретным и, в частности, конечным (конечные цепи Маркова). Марковские цепи характеризуются матрицей вероятностей перехода ! 7'а(~., ~.,)!! (2.137) из состояния $~(1„1) в момент времени 1„1 в состояние зА(1„) в момент времени 1„, |где $; — величина с дискретным множеством значений 4ь 4ь .. Моделирование марковских цепей по заданной матрице вероятностей перехода (2.137) в принципе осуществляется так же, как и моделирование марковских процессов по заданной условной плотности вероятностей пере.
хода. Отличие состоит только в том, что вместо реалнза. ций непрерывных случайных величин на каждом шаге требуется формировать реализации дискретных случайных величин (с 'бесконечным нли конечным множеством значений). (2.138) где ть=тА- гА-ь се=0, 152 2.12. Моделирование случайных потоков Потоки событий, происходящих в случайные моменты времени 1ь 1А)ть ..., 1 )1„ь ..., являются специфичным классом случайных процессов. Случайные потоки широко используются в качестве математических моделей в задачах, связанных с исследованием систем массового обслуживания (1О, 391, в задачах приема импульсных сигналов (6, 73), в задачах надежности (89] и т.
п. Возможны, различные эквивалентные способы задания случайных потоков (6, Щ Наиболее удобным для моделирования способом задания, потоков общего вида является задание их с помощью многомерной плотности вероятностей интервалов между моментами наступления событий ю(ть ° ., ти), При таком задании случайных потоков моделирова« ние нх в общем случае сводится, очевидно, к формированию на ЦВМ,реализаций случайных векторов 1!~!й= ав1,п с законом распределения (2.138), для чего могут быть использованы методы, описанные в $1,5, 1.6, Моменты наступления событий получаются при этом по простой рекуррентной формуле йА =тА-~+'сы Случайные потоки столь общего вида встречаются в приложениях весьма редко. Обычно рассматриваются так называемые потоки с ограниченным последействием (39), у которых интервалы ть ..., т„между событиями статистически независимы в совокупности, т. е.
Ш(то -с тл)=Ш,(к,)®з(тэ)- Агп( ). Эти потоки задаются последовательностью одномерных законов распределения шА(п), й=1, 2, ... Потоки с ограниченным последействием, у которых шд(т) = шз(т) =... твм(т) = в (т), называются рекурренгными (сгационарными) потоками. Они задаются двумя законами распределения ш,(т) и ав(т). ~Потоки, у которых гв~(т) =ш(г), определяются единственным законом распределения со(т) и называются просто рекуррентными,(стационарными) потоками (39).
К таким потокам относится, в частности, широко распространенный пуассоновекий (простейший) поток, у которого закон распределения интервалов между событиями показательный ш(т)=Ае А', к~0. (2.139) Видим, что потоки с ограниченным последействием в соответствии с терминологией $1.! являются непосредственно заданными случайными процессами, поэтому моделирование их является довольно простой задачей. Действительно, для получения реализаций последовательности моментов наступления событий 1ы й= 1, 2,..., в этих случаях достаточно сформировать последовательность реализаций ты к= 1, 2, ..., случайных величин с заданными законами распределения шА(т) соответственно и вычислить моменты наступления событий по формуле (А=тА ~+тА. Моделирование рекуррентных потоков упрощается еще и тем, что случайные величины тА (кро1зз ме, может быть, тз) имеют одинаковый закон распределения.
Для формирования на ЦВМ реалнзеций случайных величин с заданными законами распределения можно использовать методы,,рассмотренные в $11А. В частности, при моделировании пуассоновского потока реали. зации случайных величин т» с показательным законом распределения .(2.139) можно получать с помощью алгоритма (см. $1.4) 1 ча= — — „1п ха.
где ха — независимые случайные числа, равномерно распределенные.в интервале (О, 1). Таковы методологические основы моделирования случайных потоков. Более подробные сведения о моделировании потоков и конкретные примеры моделирующих алгоритмов имеются, например, в (!О). 2.13.
Моделирование случайных полей Случайными полями называются случайные функции многих переменных (71). В дальнейшем будут рассмат- риваться четыре переменные: координаты х, у, х, опреде- ляющие положение точки в простраистве, и время к. Случайное поле будет обозначаться как Е(г, 1) =Е(х, у, г, 1)'1. Случайные поля могут быть скалярными (одно- мерными) и векторными (У,-мерными).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
