Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для простоты выберем преобразование у=((х) монотонным и положим, что моделируемый и исходный процессы имеют параметры (О, 1), так что Я(т) =г(т), Ро(т) = го(т) . 1. Функция у=~((х) должна удовлетворять очевидному равенству )Щ(х))= ЯГо(х) =Ф(х), (2.85) где )о' (у) и Ж, (х) — интегральные законы распределения случайных процессов $(1) и $о(г) соответственно; Ф(х)= к = — 1 е ~~~ оУ вЂ” интеграл вероятностей (функция Лап)к ко,) ласа).
Уравнению (2.85) соответствует нелинейное дифференциальное уравнение, связывающее функции 1(х) и ш(х): Уравнения (2.85) и (2.86) в редких случаях удается решить аналитически. Для получения преобразования у=)(х) можно использовать численное решение уравнения (2.85) на ЦВМ. Для этого нормальную функцию плотности с параметрами (О, 1) следует заменить усеченной функцией, ограничив интервал возможных значений аргумента х в (2.85) некоторыми пределами ( — х„ х,), вероятность выхода за которые пренебрежимо мала, например взяв х,=4. Задавшись дискретными значениями хь аргумента х из интервала ( — х„х„,), для получения таблицы значений уз=~(хь) искомой функции нужно для каждого хь подобрать такой уь чтобы )у'(уь) =Ф(х ), Последнее можно сделать методом итераций.
2. При известном преобразовании у=!'(х) зависимость г=!р(га) в соответствии с определением корреляционной функции как математического ожидания произведения й(4)$(1+с) =Яд(1)))!($о(1+тЦ имеет вид г = ~ ~ 1 (х,) ) (х,) !с, (х„х„г,) с(х,!(х, = хз — 2к~к,к,+.Р ! ' Я з Оэ со г !! — з! ~ ) (х!) 1(х!)е г(х,дх„(2.87) 2!! ),«1 з где !со(х!, хь «4) — двумерная нормальная функция плотности вероятностей значений х! и хз исходного случайного процесса в сечениях, отстоящих друг от друга на величину т, такую, что коэффициент корреляции между х! и хз равен гь Выражение (2.87) неудобно для дальнейшего исцользования, так как интеграл в нем часто не удается вычислить в конечном виде, к тому же функция 1(х) чаще всего будет задана в виде таблицы значений, получаемых на первом этапе. Более приемлемой формой задания функции г=!р(г,) является представление ее в виде ряда по степеням гь Этот ряд нетрудно получить, если разложить двумерную функцию ш4(х!, хь го) в ряд по орто- 114 гональным полиномам Эрмита.
Искомое разложение функции !р(«4) имеет вид (50) ~о И кч а го «=у с (2.88) где 00 с,„ Для нахождения зависимости г=!р(га) в общем случае нужно путем численного интегрирования выражения (2.89) на ЦВМ с использованием таблицы значений уь=г(хь) найти коэффициенты с . При этом бесконечный ряд (2.88) приближенно заменяется конечным. В качестве номера и, на котором следует остановить процесс вычисления коэффициентов с можно взять то значение т=т„когда впервые выполнится неравенство ! — ~~~<., э=! где е — достаточно малая величина, например а=0,01. З.,При известных коэффициентах с для получения коэффициента корреляции «4(т) исходного нормального случайного процесса нужно решить уравнение с 2 с „7) т1 0 с = †' ( )(х) Н (х) е ~! 4(х; (2.89) '«' 2ь,) Н (х) — полнномы Эрмита.
Для нахождения полиномов Н (х) существует рекуррентная формула Н э, (х) = хН (х) — тН, (х), причем первые три полинома таковы: Н,(х)=1, Н,(х)=х, Н,(х)=х' — !. Поскольку предполагается, что моделируемый процесс 5(() имеет параметры (О, 1), то в ряде (2.88) сз=О и относительно г,. Численное решение этого уравнения с целью нахождения таблицы значений функции га= =ср — '(г) можно осуществить на ЦВМ методом итераций.
По найденной зависимости ср — '(г) легко определяется корреляционная функция исходного процесса: га(т) =српФ(т)1 Функция га(т) ввиду численного решения уравнений для ее получения будет таблично заданной. 4. Для нахождения алгоритма, позволяющего формировать на ЦВМ дискретные реализации стационарного нормального процесса с корреляционной функцией г,(т), таблично заданную функцию га(т) нужно аппроксимировать функцией вида (2.50) *1, чтобы получить потом рекуррентный моделирующий алгоритм, или решить нелинейную систему типа (2.9) для моделирования исходного процесса путем скользящего суммирования. Можно испольэовать также алгоритм скользящего суммирования с весовой функцией, полученной путем разложения в ряд Фурье квадратного корня из спектральной функции исходного процесса $а(1), но для этого требуется найти преобразование Фурье от таблично заданной корреляционной функции га(т).
Для проведения подготовительной работы в данном случае можно составить стандартную программу. Алгоритм этой, программы следует из приведенных .выше соотношений. Затруднение принципиального характера состоит в том, что в общем случае не представляется возможным доказать существование решения уравнения (2.88) относительно го, В тех случаях, когда заданная корреляционная функция неотрицательна, решение уравнения (2.88) как легко видеть, всегда существует. Ввиду того что подготовительная работа при данном способе моделирования ненормальных стационарных случайных, процессов, вообще говоря, довольно трудоемкая, моделирование процессов с распространенными типами одномерных законов распределения целесообразно рассмотреть специально.
Подготовительную работу для моделирования этих процессов, как,показано в следующем параграфе, можно существенно упростить, если н Способ такой аппронсимапии имеется в приложении к раба. те (бб). !16 в конкретных случаях использовать особенности функции г=~р(га) и применять несколько отличные от описанных нелинейные преобразования исходных нормальных случайных, процессов, в частности одновременное нелинейное преобразование двух нормальных случайных процессов. 2.8. Моделирование стационарных случайных процессов с распространенными одномерными законами распределения В этом параграфе рассматриваются возможные алголя моделирования на ЦВМ ненормальных старитмы для ечаю иионарных случайных процессов с часто, встр щцион р мися одномерными законами распределения и з д я и за анными корреляционными функциялтн.
1. Случайный процесс с равномерным распределением Пусть требуется формировать на ЦВМ дискретные реализации стационарного случайного, процесса, равномерно распределенного в интервале ( — а, а) и имеющего корреляционную функцию И (т) = †, г (т), (2.90) 1з 2а Г )(Х)=2а)Ф(Х) — 1 ~~==~ ГЕ Яс((, 2! Г2 а (2.9!) где Ф(х) — функция Лапласа. Корреляционную функцию случайного процесса $( ), Ч1 получаемого с помощью преобразования (2.91), удается 117 где г(т) — коэффициент корреляции процесса.
Для получения случайного процесса й(1) с равномерным распределением из нормального случайного процесса $а(4) достаточно, как известно, подвергнуть, последний нелинейному преобразованию с характеристикой нелинейности типа «сглаженный ограничитель». Точное выражение для функции )(х) в случае, когда исходный нормальный процесс имеет параметры (О, 1) и требуется получить равномерно распределенный в интервале ( — а, а) процесс, имеет вид выразить в замкнутой форме через корреляционную функцию го(т) исходного нормального случайного процесса (см., например, 180), стр. 213 — 214): й (о) = — агсз!п — ' 2а' . г, (о) 2 Отсюда, для того чтобы получить заданную корреляционную функцию ло(т) равномерно распределенного случайного процесса, нужно брать исходный случайный процесс с коэффициентом корреляции го (ч) = 2 з)п ~ 2, А (ч) ~ = 2 яп ~ 8 г (ч) 1 ° (292) Легко, видеть, что коэффициент корреляции го(т) почти совпадает в (2.92) с коэффициентом .корреляции г(т).
Лействительио, поскольку аргумент у синуса в (2.92) изменяется в пределах от — и/6 до л(6, замена функции синуса на этом интервале прямой линией внесет несущественную погрешность. Поэтому практически можно считать, что го(т) =г(т), т. е. сглаженный ограничитель, превращающий нормаль'- ный случайночй процесс в процесс с равномернгкм распределением, почти не искажает энергетический спектр исходного процесса.
Оценим искажения корреляционной функции по величине максимума разности го аг(го) =го — — агсз!и 2 . л Отсюда видим, что максимальная погрешность в коэффициенте корр еляции менее 2%. Такой погрешностью неб ечь. во многих практических случаях можно пране речь. График ошибки Лг как функции го показан на рис. 2.6. Тат м образом, можно использовать следуюл 'гв-г Рис. 2.Ь. щий алгоритм моделирования случайного процесса с равномерным в интервале ( — а, а) распределением и заданной корреляционной функцией (2.90): на ВМ ф ируются реализации стационарного нормального случайного процесса $о(1) с параметрами (О, ) орм эффициентами корреляции г(т), которые путем нелинейного безынерционного преобразования ( . ) рвращаются в реализации процесса с желаемыми характеристиками.
2. Релеевский случайный процесс Одномерная функция плотности, среднее значение и дисперсия процесса этого типа определяются соотношениями: 1!8 аг„„„,—.— 0,6 — — агсяп у 1 — —, =0,016. Исследование функции Лг(го) на экстремум показывает, что максимум ошибки Лг в интервале ( — 1, 1) наблюдается при г,=+ 2 ~/! — —,="+-0,6, причем величина максимума равна Оо оо (2.93) где оо — параметр распределения.
В задачах статистической радиотехники релеевский случайный процесс появляется обычно при рассмотрении огибающей стационарного узкополосного нормального шума !60, 80). В связи с этим релеевский процесс в(1) выражается через два одинаковЫх независимых стацио- 16 ния пригоден лишь для случаев, когда заданный коэффициент корреляции «(т) не принимает отрицательных значений, иначе в формуле (2.96) появятся мнимые величины. и ример 1. 'Пусть для моделирования задан релеевекий случайный процесс, корреляционную функцию которого можно аппроксимировать экспонентай: г(ч) = е 12.97) г] одстанляя (2.97] в формулу (2.96], найдем нормированную корреляционкую функцию исходных вормальпых случайных процессов г, [т) = е И спользуя готовый алгоритм для моделироваиия нормального случайного процесса с экспаненциальной корреляционной функц ией ( б .
2. ], получим следующий алгоритм длн моделирования данного релеевскаго случайного процесса: Е [л] = а, ]«« Е1 [л]+$ [л] = а, 1«([/! — р' х, [л] + рЕ, [л — !]]'+ (у 1 — р'х, [л]+рЕ,[л — 1])я. ге =е (2.98] д р =; х, [л), х, [л] — последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами 10,1). 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
