Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При выработке начальных значений ЯО! реализаций случайных процессов № 1 — 5 в качестве Ц вЂ” 1], К вЂ” 2! брались выборочные значения независимых нормальных- случайных чисел с параметрами (О, 1). «Я поз >О гг«7 1 ( о l -3 «1«/ 40 4 г«7 3 г / 0 -г г — $ «йп с1Ь! «з г 0 -г О Вп С«О Впгппгспгоптгпгоп ОО Сп 70 УО 40 «0~7 40 05 47а7 г / О / / / / а -г о во го во 70074 17«/ т г о — г гп гого 40 Рис.
2.5. 1Ов На рис. 2.5 показаны начальные участки реализаций длиной в 400 дискрет некоторых случайных процессов из табл. 2.2; для удобства реализации изображены непрерывной линией. Рядом с реализациями изображены заданные корреляционные функции (сплошная линия) вместе с корреляционными функциями, вычисленными на ЦВМ по этим реализациям (пунктир).
Графики помечены теми же номерами, что и корреляционные функции в табл. 2.2. Значения параметров у„ и у, выбраны так, чтобы интервалы корреляции у всех моделируемых процессов были примерно одинаковыми. Из рисунка видно хорошее совпадение заданных и выборочных корреляционных функций. Случайный процесс с корреляционной функцией № 2 неднфференцируемый, поэтому его реализации имеют не такой гладкий характер, как остальные четыре,реализации дифференцирусмых случайных процессов. Между реализациями № 2 и 3, а также между реализациями № 6, 7 можно заметить определенное сходство, которое объясняется тем, что реализации формировались на ЦВМ путем преобразования одной и той же дискретной реализации белого шума.
В начале реализаций № 2, 3 видны довольно большие отрицательные выбросы. Эти выбросы являются результатом искажения начальных участков моделируемых процессов из-за переходного процесса. Действительно, начальные условия выбраны так, что только случайные процессы № 1 и № 5 — 9 являются с самого начала стационарными. Для того чтобы избавиться от переходного процесса при моделировании случайных процессов № 2 — 4, нужно при вычислении их начальных значений Ц01 в качестве х(0)с яь х( — 1)=ты с( — 1)=тз, 'Я вЂ” 2)=тс вместо независимых случайных чисел, как это было принято выше, взять четырехмерный случайный вектор !! тх |! й=1,4 с корреляционной матрицей !!~„!! '="=(!М(т,т;)!!'="= а=1,4 а=1,4 о о о О 1 О а, о о ! Я 111 о .,0(В Элементы этой матрицы легко находятся, если в соотношении М(тхт!) выразить чз=Е[ — Ц и чэ — — Е[ — 2] в соответствии с рекуррентными алгоритмами № 2 — 5 и учесть, что х[и] — последовательность некоррелированных случайных величин, а Е[и] — последовательность случайных величин с заданной корреляционной функцией )г[и].
Рассмотренный прием нетрудно распространить на рекуррентные алгоритмы более высокого порядка. В заключение укажем на некоторые приемы, позволяющие расширить класс моделируемых стационарных нормальных случайных процессов путем несложных преобразований рассмотренных выше алгоритмов. Известно, например, что при суммировании нескольких независимых стационарных нормальных случайных процессов образуется стационарный нормальный случайный процесс, корреляционная функция которого равна сумме корреляционных функций слагаемых.
Отсюда, если корреляционная функция процесса является суммой двух или более корреляционных функций из табл. 2.2, то дискретные реализации этого процесса можно формировать путем суммирования двух или более независимых реализаций, получаемых по приведенным алгоритмам. Если, например, корреляционная функция моделируемого процесса имеет вид )7 (ч) = 17, ( !) + Л, (т) = а, е "" 1 ' ' соз е„( + то алгоритм для формирования его дискретных реализаций запишется в виде Е [и] = Е, [и]+ Е, [и), (2.81) где Е, [и] = а,амх, [и]+ а,апх, [и — Ц вЂ” Ь„Е, [и — Ц— — Ь„Е, )и — 2); Е, [и] = а,амх, [и) + ч,а„х, [и — Ц вЂ” Ь„Е, [и — Ц— — Ь„Е, [и — 2]; х![и), хци] — независимые между собой последовательности независимых нормальных случайных чисел с параметрами (О, 1). 11О Параметры алгоритмов (2.81) находятся по формулам, приведенным в табл.
2.2 для алгоритма № 2, при у*! = !э*!Ж у*2 = ы*эо1 уО! гв!!!о( т02 =ч!!!зо(. Рассмотрим еще один прием преобразования. Из теории случайных процессов (см., например, [78)) известна следующая теорема. Если Е!(1) и Ы1) — два одинаковых стационарных нормальных центрироваиных и независимых случайных процесса с корреляционными функциями К'(т), то случайный процесс Е(1) =Е!(1) з)п !з1+Ез(1) соз !э( (2.82) будет также стационарным нормальным центрированным случайным процессом, но с корреляционной функцией )7(т) =Г(т) совет. (2.83) Этот факт позволяет легко моделировать нормальные случайные процессы с корреляционной функцией вида (2.83), если известен алгоритм для моделирования нормального случайного процесса с корреляционной функцией )г'(т).
Для этого в соответствии с формулой (2.82) нужно выработать дискретные реализации Е![и] и Ез[и] независимых случайных процессов с корреляционной функцией )Е'(т) (например, с помощью алгоритмов, приведенных в табл. 2,2), затем по правилу Е [и]=Е, [и) з(пуи+Е, [и) созуи, (2.84) где у=яК преобразовать реализации Е![и] и Ез[и] в реализацию 6и] случайного процесса с корреляционной функцией (2.83). Для вычисления дискретных тригонометрических функций з[и]=з(пуи и с[и]=сов ул целесообразно воспользоваться рекуррентным алгоритмом (1.3), тогда алгоритм (2.84) запишется в виде Е [и] = Е, [и) (с [Ц э [и — Ц + г [Ц с [и — Ц) + + Е, [и] (с [Ц с [и — Ц вЂ” з [Ц з [и — Ц).
2.7. Моделирование ненормальных стационарных случайных процессов Ненормальный случайный процесс задается обычно своим многомерным распределением или конструктивно в виде некоторого преобразования от случайных параметров и детерминированных функций. В последнем слу- 111 чае вероятностный процесс согласно классификации, данной в $1.1, является параметрически заданным и моделирование его сводится к формированию реализаций случайных параметров с последующим их преобразованием.
Задача моделирования усложняется, если ненормальный процесс задан многомерным законом распределения. При небольшом числе дискретных точек эту задачу можно решить как задачу формирования реализаций случайного вектора по заданному многомерному распределению (см. 5 1,5), применяя классический универсальный способ, основанный на использовании условных плотностей вероятностей, или многомерный метод Неймана. Однако при формировании реализаций большой длины практическое значение этих способов существенно ограничено.
В этом и следующем параграфах рассматривается более узкая задача моделирования ненормальных стационарных случайных процессов, а именно моделирование процессов по их одновременно заданным корреляционным функциям и одномерным законам распределения. Эта задача сравнительно просто решается путем специально подобранных нелинейных преобразований соответствующих нормальных стационарных случайных процессов. В общем случае для получения случайного процесса с заданным одномерным законом распределения и заданной корреляционной функцией можно использовать следующий способ (52).
Пусть в качестве исходного выбран нормальный стационарный случайный процесс $о(1). Как известно, всегда существует такое нелинейное безынерционное преобразование. у=1'(х), которое превращает нормальную функцию плотности шо(х) процесса 4о(1) в заданную функцию плотности и(у). Если исходный процесс 4о(1) имеет корреляционную функцию Ро(т), то преобразованный процесс $(1) будет иметь корреляционную функцию )т(т), отличающуюся от функции Ро(т) и связанную с ней некоторой зависимостью Р=кр(((о).
Вид этой зависимости определяется преобразованием д=((х). Для того чтобы корреляционная функция пре- 112 6 —.180 тю[1(х)) ~~"~=ш,(х)==е ~" (2.86) ~х ' ~2 о 1И образованного процесса была требуемой, нужно выбрать корреляционную функцию исходного процесса равной Ро=ор '()к), где <р-'(Я) †функц, обратная функции кр(Яо). Таким образом, при использовании этого способа подготовительная работа состоит из следующих этапов: 1) нахождение по заданной функции плотности в(х) преобразования у=1(х), 2) получение па найденной функции у=~(х) зависимости Р=~р(Яо), 3) решение уравнения Д=~р((со) относительно ото, т. е. определение корреляционной функции Ио(т) исходного нормального случайного процесса $о(1), 4) отыскание алгоритма для моделирования нормального процесса $о(1) с корреляционной функцией Ио(т). После того как подготовительная работа закончена, моделирование случайного процесса с требуемыми характеристиками сводится к формированию дискретных реализаций Яи) нормального случайного процесса оо(1) и преобразованию этих реализаций по формуле м=лы )).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
