Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 20
Текст из файла (страница 20)
В рассматриваемом случае речь идет о синтезе многомерного формирующего фильтра. М-мерный линейный фильтр определяется как линейная динамическая система с Ж входами и М выкодами [35). Если ~[х(1) ~[=Цхх(1) Ц „—, — входное воздействие и [~у(1) Ц =Цу„(1) ~[ х,— — реакция системы, то связь между входом н выходом У-мерного линейного непре- 128 для непрерывного времени и Цй Ц 'У для дискретного времени, 9 — 160 129 рыйного фильтра описывается с помощью передаточной матрицы в виде Ц У(р) Ц = Ц К(р) Ц Ц Х (р) Ц, где ЦХ(р) Ц =Ц Хь(р) Ц и [[У(р) Ц =Цуь(р)Ц, й=1, А1 — изображения входного и выходного сигналов со-, ответственно в смысле преобразования Лапласа; Ц К(р) Ц = 1=1, У = Ц Кы (р) Ц ' — передаточная матрица У-мерного а=1, 1У фильтра, у которой элементы Км(р) являются передаточными функциями каналов 1-й вход — й-й выход.
Аналогично описывается связь вход — выход в дискретных Ж-мерных линейных фильтрах: Ц У„(г) Ц = Ц К (г) Ц Ц Хя (г) Ц, где [[Х.(г)[[ и [[У.(г)Ц вЂ” изображения в смысле дискретного преобразования Лапласа входного и выходного сигналов; [[К,(г) Ц вЂ” передаточная матрица дискретного М-мерного фильтра. Структурная схема многомерного фильтра на примере двумерного фильтра приведена на рис. 2.9, согласно которому У~(р) =Кп(р) Х~(р) + Ко(р) Хз(р), Уз(р) =Кг~(р) ХАр) +Км(р) Хз(р). (2.107) Видим, что каждый из выходных сигналов у~(г) и уз(г) является суммой линейных оператдров от входных сигналов х~(1) и ~~(1). Аналогичные соотношения имеют место и в общем случае.
В этом и состоит иденти4икация передаточных матриц [35). Пусть воздействие на входе М-мерного линейного фильтра представляет собой А1-мерный белый шум, т. е. случайный процесс с корреляционной матрицей вида Ц й 8 (т) Ц , (1, й=1. Где Еы = ~ Ь (с) — дельта-фУнкциЯ. У-мерный белый ы=(о, а~А шум определен здесь как совокупность У независимых между собой 4-коррелированных случайных процессов. Можно показать (см., например, (351), что при воз- Рис. 2.9.
действии белого шума спектральная матрица процесса на выходе У-мерного фильтра для непрерывного и дискретного времени соответственно связана с передаточной матрицей фильтра соотношениями (! 6(в) (! = (! К()в) (! !! К ( — )в) (! (2.108) (!Р(а) ((=!!К«'() !! (!К (а ')!!' где символом Т обозначена транспоннрованная матрица, Следовательно, для получения У-мерного случайного процесса с заданной спектральной матрицей нужно прбпустить У-мерный белый шум через У-мерный формирующий фильтр, передаточная матрица которого удовлетворяет уравнениям (2.108).
Для нахождения передаточной матрицы по заданной спектральной матрице требуется разбиение последней на два сомножителя вида (2.108). Эта процедура называется факторизацией спектральных матриц. Она может быть реализована по известным алгоритмам (35, 70). Многомерная фильтрация белого шума осуществляется достаточно просто: каждая составляющая Еь(1), й= 1, У 130 ,случайного процесса (! Е(1) (! на выходе У-мерного фильтра 1=1, У с передаточной матрицей ((Кы(р)!! ' получается пуз=1, л' тем суммирования по 1 составляющих х~(1), 1=1, У входного процесса !(х1(1) !!1=1, У, профильтрованных од- 'номерными фильтрами с передаточными функциями Км(р) (см. формулу (2.!07)). Алгоритмы одномерной фильтрации рассмотрены выше.
При данном способе моделирования возможны два пути; 1) заданную спектральную матрицу непрерывного У-мерного. случайного процесса можно непосредственно подвергнуть факторизации для получения передаточной матрицы непрерывного формирующего фильтра, а за- тем, используя описанные выше точные илн приближен- 'ные методы дискретизации непрерывных, фильтров, осу- ществить многомерную фильтрацию непрерывного бело- го шума; 2) по заданной спектральной матрице !(6(в)!! непрерывного У-мерного процесса !!Е(1) !1, используя г-преобразование, можно найти спектральную матрицу !(г (г) !! соответствующего дискретного случайного про- цесса Щп)!! (см.
$ 2.3), далее путем факторизации ()Р(г)(! найти передаточную. функцию дискретного фор- мирующего фильтра, а затем произвести многомерную фильтрацию дискретного белого шума. Наибольшие трудности встречаются при факториза- . ции спектральных матриц. В настоящее время разрабо- таны алгоритмы факторизации лишь рациональных спектральных матриц, т. е. таких матриц, элементы ко- торых являются дробно-рациональными функциями аргументов р или,г. Опишем, опуская доказательства, один яз алгорит- мов факторизации рациональных спектральных матриц, взятый из (70]. Пусть задана рациональная спектральная матрица 0„ (в) ° .
. 01л (в) ~! 6(в) /! = ......,... ° пл, (в)... 6лл (в) Матрица !(6(в) !! может быть приведена к виду ~ 6 (в) $ = М1) в) (! ~К( — )са) В путем следующих преобразований, 9' ' имеют внд (2.! 10) С матрицей ЦЕ<')(а) Ц проделываются те же преобразования, что с исходной матрицей ЦЕп) (а) Ц = Ц 6 (а) Ц. При продолжении этого процесса на т-м шаге получается диагональная матрица Ц 6ьа) (в) Ц = Ц В (а) Ц = Ц 0а) (в) Ц такая, что Ваа — О, /г=т+1, У, 3.
Находится вспомогательная матрица Ц В(а) Ц = Ц Ва,(а) Ц элементы которой имеют следующий вид: В ( )=О, 1>й, Ва)))) Вы(в)= а', 1(Й, г)о (2.111) Вв (а) = 1, 133 1. Определяется ранг матрицы л), затем один из главных миноров порядка т располагается в левом )ерхнем углу матрицы Ц6(е)) Ц. 2. Матрица Ц6(а) Ц приводится к диагональному виду. Для этого к л-й строке матрицы Ц6(в)Ц, я=2, Ф, прибавляется первая строка, умноженная на — 6ы/6,), затем к 1-му столбцу. прибавляется первый столбец, .множенный на — 6н/6)), получается матрица Ц 6п) (а) Ц вЂ” ~~~" (в) О ~~, (2 109) где элементы матрицы Ц Е') (а) Ц =- Ц Е'~)(а) Ц 'где В', определяются из рекуррентных соотношений Вп — ') вр — и Вен=В' и .
и 81) )) ) — !,) — ) (2.112) 4. Находятсч вспомогательные полиномы С)( )=П( — „'н), где в')), э=1, 2, ...,— нули полиномов Яа)(в), й=1, т, лежащих в нижней полуплоскости, считаемые столько раз, какова нх максимальная кратность, причем Яа) (а) — знаменатели дробно-рациональных функций, представляющих собой элементы матрицы ЦВ(в) Ц: Вы(в) =— Ри (в) Яа) (в) 5. По способу, рассмотренному в а) 2.9, п. 2, дробно- рациональные функции 0п (в) ! С, (в) (' представляются в виде А,(в) =( —,' " „~, где полиномы Р,(в) и Я)(в) не имеют нулей в нижней полуплоскости.
На этом процесс факторизации заканчивается, Окончательно передаточная матрица формирующего фильтра записывается в виде Цй.(1-) Ц=ЦД.. (1-) Ц,'= —,'„= =~~В(в)С)(а) '(") ~~,' (2.113) Здесь описан алгоритм факторизации рациональных спектральных матриц непрерывных многомерных про- 133 цессов. Факторизация спектральных матриц дискретных процессов осуществляется аналогично, только вместо корней, расположенных в нижней полуплоскости, берутся корни, расположенные в единичном круге. Пример 1.
Пусть задан двумерный непрерывный стационарный центрированный случайный процесс ИИ(4)Ц с корреляционной мат- рицей ап аэ Ь',!+:е* Ьг, +в* Иб(-) И=Г" (е) "(")11= (2.114) ае ае 622! + е' „( ег И б (е) Ц = Ц б!'! (е) Ц = а„ б„а ЬЙ+еэ ' где аы, Ьэь 6=1, 2, 1='1, 2, — некоторые положительные константы, причем а„=ам, Ьгз=Ьзь Корреляционная матрица, соответствующая спектральной матрице (2.1!4), имеет внд г — ь„! ° 1,г — 6„1 Эм!т! эг Š— аи!т11~ 2! 22 и где э!! 21 ' эш — 2! " '!г=- эш — 26 эыээгг — автокорреляционные и взаимно корреляционный моменты процессов $~(!) и Иэ(!) соответственно; г — коэффициент взаимной корреляции процессов Иг(!) и Цэ(!) в совпадающие моменты времени. Коэффициенты Ьы, Ьз, н 6|з представляют собой в данном случае ширину (на уровне 0,5) энергетических спектров бы(е),.
бэр(е) и взаимного энергетического спектра бш(е) процессов $2(!) и $з(!). Требуется произвести факторизацию спектральной матрицы (2.1!4) для получения передаточной матрицы формирующего фильтра. Будем осуществлять процедуру факторизации поэтапно в соответствии с приведенным выше алгоритмом факторизации. 1.
В данном саучае рант спектральной матрицы ш=2. '2. Для приведения матрицы Цб(е)Ц к диагональной требуется один шаг. По формулам (2.109) и (2.110) получаем 3. В соответствии с выражениями (2.111) н (2.112) вспомогательная матрица !1В~(е) Ц имеет внд 1 0 1 0 ИВ( )И= ~~,м а„(Ь2, +е') г аы (Ь! +е*) жно найти лишь один бю б 4. 'В рассматриваемом случае пу вспомогательный полинам Сг(е).
з(ля этого требуется найти корни знаменателя у элемента Вм(е) матрицы ИВ(е)11, т. е. корни полинома ее+ Ьгг. Эти корни равны е!1!3=~)6 э Следовательно Сс(е) е+!Ьи. 5. На заключительном этапе требуется произвести факторизацию дробно-рациональных функций А )— аы )С (е))' (Ьп+е)(е+)Ь„)(е-)Ь„) 2 (62 + 62 2+е' аы (6,2+ее)э аеч+ Ье'+ с а„,'(Ьг!2+ Еэ)э(ьеэ+Е*) ГДЕ а=а„ае — а!2! 6=2а„аеЬ 2 — а,г܄— а!2622! С=а„аеЬ г— 2, 2 2 2 2 2. 4 —, ьнь 2 2 В дапном случае корни числителей и знаменателей у дробно рациональных функций Аг(е) и Аз(е) легко вычисляются. Используя кор.
ни, лежащие в верхней полуплоскости (корни с положительнымн мнимыми частями), получим уаы 1~ — и )( — иы ~ 'ра (е — е,) (е — е,) .А,(е) = уа„( — )ь„) ( — )ье) где е, и е, — это те из корней — 6 ~ Р 6' — 4ас 2а 134 б!2 2 0 бе — б ы аээ а!2 (Ь!! + еэ) 0 622 + е а„(62!2+'е') полииома ае'+Ье'+с, которые имеют положительную мнимую часть. 135 примере эта маприца имеет вид 2 аз ат 1! [[К(1 )[[= [1 — Р, гР Уа„( +1Ь„) (в — 1 ь11) (в — 1 61 1) ав Уа|1 (6|1+в«) (в+)Ь„) 11 — Р гР 2 'щ 2 а!2 Уа (в-в,) (в — в,) ! ! — Рве[' [! — р 'Р— Ь щ Рж=е а„в+1Ь„ К" (1 в) = у,— „( — )Ь„) [! К,(г) !! =- Здесь г, и г, — зто те из корнеи !! К (р) [! = 21 [и[ =$„[а), 21 [а1 = 211 [а) + ь«1 [и1. где ()комчательяо передаточная матрица формнрующво фильтра в соответствии с (2.113) запишется в аиде а|1 (Ь11+ в ) (в — 1 Ь11) (в — 1 Ь|1) Уа„(|а — 1 Ь„)1 (в )Ьв) Передаточную функцию Км,()в) а матрице [!К()в)!! можно несколько упростить, умножив числитель и знаменатель на (в+1Ьц) (в— — 1Ь|1) и сократив полученное выражение на (в|1+в«) и (Ь|2+|о'), тогда Путем непосредственной подстановки легко убедиться, что матрица [1К()в) [! удовлетворяет условию !! К 0 ) [! [[ К ( — 1 )![Р = !!К11()в) О !!!!К|,( — )в) К|1( — )в) !! Злементы КыЦв) передаточной матрицы !!К(1в)[! представляют собой передаточные фу|нкции двумерного формирующего фильтра по каналам «!-й вход — й-й выход» в смысле преобразования Фурье.
Для получения передаточных функций н смысле преобразования Лапласа перейдем от переменной ]в к переменной р=)в: Уа|| (р — ь!1) (р+ Ь„) (р+ Ь„) О ав (р — Ь1,) )' а (р — 1 в,) (р — )е|,) Уа„(р+ Ь„)' Уа„(р+Ь!ьР (р+Ьв) На рис. 2.9 показана структурная схема двумерного формирующего фильтра, яа выходе которого образуется двумеряый случайный процесс с требуемыми спектральными характеристиками, если на вход фильтра воздействует белый шум. Заменяя непрерывный двумерный фильтр соответствующим дискретным фильтром, получим алгоритм для формирования на ЦВМ дискретных реализаций двумерного случайного нормального процесса, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
