Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 22
Текст из файла (страница 22)
2.10) Передаточная функция такого звена К(р)=1 — е Р . Следовательно, передаточная функция фильтра, преобразующего Е<в1 (1) в в1в1 (1), имеет вид К, (р) = К, (р) К" (р) = —, (1 — е ~~~)в = ( ) а частотная характеристика в~И им в а1п (1 — е " )" е 2 Отсюда получаем, что энергетический спектр 61в1 (ее, Ы) Й-й разности в~~а~ (1) СПСП-й связан с энергетическим спектром 61в1(в) я-й производной соотношением еМ 2 6(в1(м И) 6<В1(„)]К (]еа) )е 61ь1 (еа) — ° (2.120) 2 Нетрудно убедиться, что корреляционная функция Д~ '(е, Ы) является при этом многократной сверткой вида Л!']( ьО= =)~~" (е) Ф йе(е~ б() 4с ье(е~'111) 4с " 'Х" ье(% М = 2в раа = Я1в1 (е) )(.
й, (е, М) ф lт, (е, Ы) ф . а]с Ь, (е, Ы), (2.121) Таким образом, для моделирования СПСП-й по его й-й производной, имеющей энергетический спектр 61ю (м), можно использовать следующий способ, На ЦВМ моделируется дискретный случайный процесс в1в' [н, Ц =в1,' (иМ, Ы), порождаемый непрерывным стационарным случайным процессом с энергетическнмспектром 61 ' (в», Ы) н функцией корреляции )1~ ' (в, М), й1 1М ева11/ Рис. 2.10. определяемыми выражениями (2.120), (2.121), а затем по рекуррентному алгоритму (2.1'18) ~формируется дискретный случайный процесс Яи], изображающий- требуемый непрерывный случайный процесс Е(1) со стационарными я-мн приращениями.
Для описания случайных процессов со стационарными 'первыми приращениями в теоретических исследованиях обычно используется так называемая структурная функция [59, 7Ц Р (8) = М ([в," ' (1)]') = М ([Е (1) — Е (1 — 8)]'] которая представляет собой ~зависимость днсперсии,разности значений процесса, разделенных интервалом времени Л8= 8.
Структурная функция Р (8) является четной функцией, причем Р(0) =О. Корреляционная функция и'~~~ (в, 8) разности в1" (Ф) СПСП-1 связана со структурной функцией зависимостью [59, 7Ц )(~" (в, 8) г [Р(в В)+Р('+8) 2Р(е)] Отсюда получаем; что если требуется синтезировать случайный процесс $(1) со стационарными первыми приращениями и с заданной структурной функцией Р(О), то для этого можно использовать следующий алгоритм: Е [и] =в1'1 [и]+Е [и — Ц, где в1,! [и) — дискретный случайный процесс с корреляционной функцией )~."'[~ 1[= —, Р! — 1[+0[и+ Ч вЂ” 2Т) [~0 Полученные алгоритмы для моделирования СПС)П.й не обладают методической погрешностью, если алгоритм формирования й-й разности процесса не имеет .меч(одичесмой погрешности. ~При моделировании СПС!П-й по его й-й производной нетрудно получить приближенные алгоритмы. Действительно, поскольку случайный процесс со ста~ционарными й-ми приращениями можно рассматри.
вать как й-кратный интеграл по его л-й производной, то, формируя дискретные реализации й!а![и) производной $!а!(1) и подвергая их га-кратному суммированию (дискретному интегрированию), получим приближенные зна. чения процесса й(1). Например, приближенный алгоритм формирования случайного процесса со стационарными первыми 'приращениями при замене непрерывного интегрирования дискретным по способу прямоугольников имеет вид Ци) =(й)(й!!![и)+б[ — Ц. (2.122) Уравнению (2.122) соответствует дискретная передаточная функция К„, (з) = —, И (2.123) В качестве дискретного интегрирующего звена й-го порядка при приближенном моделировании СПСП-й можно использовать цепочки, состоящие из й звеньев с передаточными ~фунюциями (2Л23), т.
е. фильтр с 'передаточной функцией д !А 'гаа (З) (! а )г Тогда рекуррентный алгоритм для формирования $ [и) нз 5!а! [и) запишется в виде $ [и[ — — '' 1!а! [и) б(» ч~~~~ ( 1)'"С™м б [и — Уг[, сабом прямоугольников приводит к довольно быстрому накоплению ошибок. Для уменьшения ошибок нужно использовать другие известные алгоритмы й-кратного дискретного интегрирования повышенной точности. Дискретные передаточные функции интегрирующих звеньев Й-го орядка этого типа даны в табл.
ЗЛ. иближениые алгоритмы моделирования СПСП-п, основанные на интегрировании й-й производной процес. са, неудобно использовать 'в случаях, когда производная й!а!(1) представляет собой белый шум. Процессы с й-й производной в виде белого шума являются частным слу. чаем СПСП-Ф. Это так называемые зинеровские процессвг А го порядка ["г, 8). Моделирование винеровских процессов целесообразно производить с помощью точных алгоритмов, приведенных раньше.
Рассмотрим теперь примеры моделирования случайных процессов со стационарными приращениями. Пример 1. Пусть для моделирования задан нормальный случайный процесс $(1) со стационарными первыми ирирагдениями н с корреляционной функцией производной я!г! (г) = а'е В соответствии с (2.!2!) корреляционная функция дискретных вяачеНяй рааиаетн аа!Г1(!) ПрОцЕССа В(1) В тОЧКаХ 1„=ПИ раВНа гв л!'! !и, !] = и!!! (вК щ = ~ Лгг! (пы — й) Ьг (й) гй Ы = 1аге.— ".!"" !(Д! (В!)ЛЕ= — гм 1 гшг ) !а а! (1 — !л() пл, — ! где в = в а(, х = 9/Ш. Полученный интеграл легко вычисляется.
В результате имеем 2аг — (е ' + в, — 1), п = О. 2 кг! ! (п, Ц = (2. 125) )9-)бб Это наиболее простой, но наименее точный алгоритм, так как повторное приближенное интегрирование спо- И( 2а',, !» ! сг!!г! [л) а (сйвг — 1) е ', (л(~ 1, Ф где 2 с= ~ (сйю — Ц; М (2.126) В связи с этим можно записать Е [л) = в!)! ) ]л) + $ [л — Ц, где Р (г) = свв [Р (г) — а], (а.
+ а,г) (ав+ а, г-') Рв (г) (1 — рг) (1 — рг - ) (2.129) Я)в) (т) =)Чвб (т), где Отсюда !!), [ увЫ, л=О, О, ]л[)0. аз вар а,=— а, (2. 131) а,+а,г К„,(г)=— Е [л] = Е [л — Ц + ~У~Й х [л]. 1Ов 147 )г)!)[л)=Ф!)(лЫ) — корреляционная функция дискретных значений производной процесса 9(!). Отсюда видяо, что в. данном случае корреляционная функция Я!!)[л, Ц с точностью 'до множители с совпадает с корреляционной функцией У')[л) при всех л, кроме л=О. В точке л=О, как нетрудно убедиться, )Р!!) [О, Ц ( )Е)0 [0]. Р(1~) [л, Ц =се'(е " !"! — ай [л]), (2.127) Я(0 [О] — )Р!!) [О, Ц зйм — ы — )р!в) ]0] сй ю — 1* (2" 128) Лнскреткыч случайный процесс вщ [л] с корреляционной фуикэлей (2.127) имеет, очевидно, спектральную плотность где Р(г) определяется формула!г (2.69) при р=е " .
Путем несложных преобразований можно произвести факторизацию спектра!аной плотности Р,(г), в рсзугьтате получим , 1 — р'+ а (1 + р') — У [1 — р' + а (1 + р')]' — 4а'р' а,= св' 2 (2.130) Из формулы (2,129) иепосредствывно следует выражение для передаточной функции дискретного фильтра, формирующего из дискретного белого шума х[л] с параметрами' (О, 1) последовательность значений вдз [л) первой, разности моделируемого процесса; Поскольку в соответствие с (2.119) передаточная функщщ фильтра формирующего иэ значений разности в ! [л) значнння В [л) моделяруемого процесса Е(1), равна 1 К (г)= — 1 ° $1 г~ то сквозная передаточная функция от х [л] к Е [л] имеет внл а,+а,г К„,1 (г) = К, (г) К,вй(г) 1 (1.[ ) г+ гв Таким образом, приходкм к следующему рекуррентному алгоритму формированйя дискретных значений Цл) случайного процесса со стациоиариымн первыми приращениями йэкспоиенциальной корреляционной функцией ~производной [см, !(2.124)]; ва!З) [л) =а,х[л]+а,х [а — Ц+рвЯ) [л — Ц нли ]л] =а,х [л]+а,х [л — Ц+ (1 + р) Е[а — 1] — рЕ [л — 2), (2.132) где х[л] — дискретный белый шум с параметрами (О, Ц; ав и а!— коэффициенты, определяемые по формулам (2.130), (2Л31) и |(2.128).
Результаты, полученные из рассмотрения данного примера, будут использованы в четвертой главе. Пример 2. Рассмотрим моделирование винеровского случайного процесса 1-то порядка. Первая производная его является белым шумом со спектральной плотностью Мв. Поскольку корреляционная функция производной процесюа является б-функцией то, очевидно, согласно (2,121) )Рв! (' Д!) = йрвй (') = ~ !!) !К,(Д! ] [), ] [~Д), О, ]ч] ) 44. Как и следовало ожидать, случайный процесс вд! [л) является в дан(!) нем случае дискретиьгм белым шумом с дисперсией УвШ. Используя зто, в соответствии с общим алгоритмом (2218) получаем следующий алгоритм для формирования дискретных реализаций вииеровского случайного процесса 1-го порядка: (2.!33) ]л! >1. (2.135) — п)е(~ Š— ~ ( -) 2й)вд(а )((2) ( 1! Д) Д(з 6 ! о, (2.134) ]и]= 1, !и]) !.
где р 6 г' б $/2 — р'3 Е з Е ( ( ) з Е ) Е ( ) е(2) (л] = азх (и] + а,к (и — 1]. 148 Пример 3. Найдем параметры рекуррентного алгоритма для мокелирования вииероиского случайного процесса 2-го порядка. Согласно формуле )(з)2! ), полагая )(~ ) (с) = )уй (с), по )учим (2) СО г(2)(л, П=й), ~й,(лд! — 3)й,(е)ай= — Ое а( Ы л), ~ (д( — ]й]рае=йл,$(д( — враз, и=о, — а( о й), $(д( — е)(з — д() л, ]л]=1, о После вычисления втементарных интегралов в (2.133) найдем Корреляционной функции (2.134) соответствует спектральная плотность дискретного случайного процесса ад( вида (2) 2 ! 2 1т й)~Д(~ ~1+ 4 + 4 ) й)ьд(~]аз+%а ]2' 42) йг'г2 — р'3 1 1 аа —— Отсюда для формирования последовательности значений ед(() ]л! полу- чаем следующее рекуррентное уравнение: Окончательно для моделирования винеровского процесса 2-го порядка в соответствии с (2.!18) имеем алгоритм $(л! = ед()) ]л! + 2Е (и — !] — Е (л — 2! = = а,к (л] + аьк (л — 1! + 2Е ]л — 1! — Е (и — 2).
2.11. Моделирование марковских случайных процессов Важное теоретическое и практическое значение имеют марковские случайные процессы (7, 18). С точки зрения моделирования на Ц~ВМ марковские случайные процессы — это одни из наиболее простых процессов. Действительно, марковским называется случайный процесс й,((), у которого условная плотность вероятностей п)($„,(„]й,'), („), ..., $), 4)) значений й„= =й()„) в произвольный момент времени („»(, ) удовлетворяет соотношению и) (Е„, („ ] Е„ „ („ „ ..., Е„ (,) = м)(Е„, ( / Е„ „ 1„ ,) = т. е. зависит лишь от значения процесса в один из предшествующих моментов времени (78!. Время г может быть как непрерывным, так и дискретным. Условная плотность вероятностей (2)135) называется плотностью вероятностей перехода из состояния Е„ ) в момент времени 1„, в состояние 9„ в момент времени 4„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
