Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 24
Текст из файла (страница 24)
~В общем случае скалярное 'поле Е(г, й) задается со- вокупностью своих У-мерных распределений пз(Е„..., Е,)г(Е, ...гХЕ, =Р(Е„<Е(г„, 1„)(Е +Л), и=1 У, а векторное поле ЕЕа(г, 1))!й=!,У, — совокупностью своих УУ(У;мерных распределений ш(Его..., Е,„; Е„...„Е, '.-' Е, " Е,, )с(Еы.. г(Ея =Р(Еа,~Е«(г„, Ф„) (Е „+НЕ „) й= 1,У,. и В этом параграфе векторы обзиачакзгся так, как это принято в векторной алгебре. Такое обозначение в теории полей является более привычным и наглядным, чем матричное обозначение. 1б4 Если статистические характеристики поля не изменяются при изменении начала отсчета времени, т. е.
они зависят только от разности «=уз †,, то такое поле называется стационарным. Если перенос начала координат не влияет на статистические характеристики поля„ т. е. они зависят юлько от разности р=г, †то такое поле называется однородным по пространству. Однородное поле изогролно, если его статистические характеристики не изменяются при изменении направления вектора р =гз — гь т. е.
зависят лишь от длины р= (р) этого вектора. Примерами случайных полей являются электромагнитное поле при распространении электромагнитной волны в статистически неоднородной среде, в частности электромагнитное поле сигнала, отраженного от флюктуирующей цели (это, вообще говоря, векторное случайное поле); объемные диаграммы направленности антенн и диаграммы вторичного излучения целей, на формирование которых оказывают влияние случайные параметры; статистически неровные поверхности, в частности земная поверхность и,поверхность моря,при волнениях, и ряд других арнмеров. ~В данном параграфе рассматриваются некоторые вопросы моделирования случайных полей на ЦВМ.
Как и ранее, под задачей моделирования понимается разработка алгоритмов для 1формирования на ЦВМ дискретных реализаций поля, т. е. совокупностей выборочных значений поля Е(г,„, 1„)=Е(хе уз гы (и) где г = (хь уь ха) — дискретная пространственная координата; 1„ — дискретное время.
~При этом полагается, что исходными при моделировании случайного поля являются независимые случайные числа. Совокупность таких чисел 'будет рассматриваться как случайное Ь-корреяированное лоле, называемое в дальнейшем б-лолам. Случайное б-поле в это элементарное обобщение дискретного белого шума на случай нескольких переменных. Моделирование 6-поля иа ЦВМ осуществляется весьма просто.' простраиствеинозременнбй координате (г 4„) ставится в соответствие выборочное значение х,(г 1„) числа из датчика нормальных случайных чисел с параметрами (О, 1).
1бб Задача цифрового моделирования случайных полей является новой в общей проблеме разработки системы эффективных алгоритмов для имитации различного рода случайных 'функций, ориентированной на решение статистических задач радиотехники,,радиофизики, акустики и т. д. методом моделирования на ЦВМ. ;В самом общем виде, если известен У или УХУ!- мерный закон распределения, случайное поле можно моделировать на ЦВМ как случайный У или УХУгмерный вектор, используя приведенные в первой главе алгоритмы.
Однако ясно, что этот путь даже при сравнительно небольшом числе дискретных точек по каждой координате является очень сдожным. Например, моделирование плоского (не зависящего от г) скалярного случайного поля в 1О дискретных точках по координатам х и у и для 1О моментов времени сводится к 'формированию на ЦВМ реализаций 1ООО-мерного случайного вектора. Упрощения алгоритма и сокращения объема вычислений можно достичь, если, подобно тому, как это было сделано ло отношению к случайным процессам, разрабатывать алгоритмы для моделирования специальных классов случайных полей. Рассмотрим возможные алгоритмы моделирования стационарных однородных скалярных нормальных случайных полей. Случайные поля этого класса так же, как и стационарные нормальные случайные процессы, играют очень важную роль в приложениях [71).
Такие поля полностью задаются своими пространственно-временными корреляционными функциями Я (р, г) = М ($ (г, т) й (г+ р, 1+ с)) . (Здесь и в дальнейшем предполатается, что среднее значение поля равно нулю.) Столь же полной характеристикой рассматриваемого класса случайных полей является функция спектральной плотности поля сг(з, ю), представляющая собой четырехмерное преобразование Фурье от корреляционной 'функции ]7(р, т) (обобщение теоремы Винера — Хинчнна !7Ц): .ОР ьз О (в, ю) = ~ ~ ]7 (р, ч) е 1(эг+"7!г(рпГч, — ьэ -со где вр — скалярное произведение векторов а =(з„, з„, з,) и р =(р„, р„, р,); с(р = г(р„Ырвг(р,.
Цри этом 1бб ч) ! ~ ~ 6(з, ю) е] (ар+"')г(ас( ° (2п)' И(г, !) = — ! ) К(]з, )ы) а папы ! ! !эх+а! (2п)ь ) ) — сΠ— га и передаточной функции К(!в, !ы).= ) ~ Ь(г, Г) с паг(ю. Процесс лнпсйной пространствснно-врсмеинбй фильтрации поля $,(г, 6 можно записать в виде четырехмерной свертки: $,(г, Г) =$, (г, !) зКЬ(г, !) = ~ ~ $, (г — р, ! — г)Ь(р, г)прс(ч= — га — га со ОЭ ) $, (р, г) Ь (г — р, ! — т) г!рг(ч, (2.140) — ьз — зэ где $,(г, !) — поле на выхода ПВФ с вмпульсной переходной характсрнстнкой Ь(г, Г).
При этом 6т(в ю)=6~(в, ю)]К(]а, ]ы)]", (2.!4!) Нз(р* т) =Кг(р ") Э]СЬ(р* ч) Э(СЬ( — р. — 'г) (2.142) где 6, (в, в), 6,(в, ю), ]1,(р, з), ]гз(р, т) — функции спектральной плотности и корреляционные функции полей па входе и на выходе ПВФ соответственно. доказательство соотношений (2,!4!), (2.!42) полностью совпадает с доказательством аналогичных соотношений для стационарных случайных процессов. 157 Функция спектральной плотности 6(з, ы) случайного поля и энергетический спектр 6(ю) стационарного случайного процесса имеют аналогичный смысл, а именно: если случайное поле Цг, !) представить в виде суперпозицни пространственно-времепнйх гармоник са сплошным спектром частот, то интенсивность их (суммариая дисперсия амплитуд) в полосе частот (ю, ш+пю) и полосе просгранствсниых частот (в, зч Ыз) равна 6 (з, ш) Пэпю.
Случайное поле с интенсивностью 6(а, ю)папы можно получить из случайного поля $(г, Г), имеющего спектральную плотность 6(в, ы), если пропустить поле Цг, Г) через пространственно-времсннбй фильтр с коэффициентом передачи, равным единице в полосе (ю, ю+г(ы), (з, э+Па) и равным нул1о вне этой полосы. Пространственно-времеинйс фильтры (!ПВФ) являются обабщс. ннсм обычных,(времсннйх) фильтров.
Линейныс ПВФ, как и обычные фильтры, описываются с помощью импульсной переходной характсрнсгики (87] Аналогия гармонического разложения и фильтрации случайных полей с гармоническим разложением и фильтрацией случайных процессов позволяет предложить для их моделирования аналогичные алгоритмы.. Нусть требуется построить алгоритмы для моделирования на ЦВМ стационарного однородного по пространству скалярного нормального поля $(г, 1) е заданной корреляционной функцией )т(р, и) или функцией спектральной плотности 6(з, в). Если поле $(г, г) задано в конечном пространстве, ограниченном пределами О(х~х~!, О<у<У, 0<я<2, и рассматривается на конечном интервале времени (О, Т), то для формирования на ЦВМ дискретных реализаций этого поля можно .использовать алгоритм, основанный на каноническом разложении поля ~в пространственно-временнбй ряд Фурье и являющийся обобшением алгоритма (1.31): $(г, 1„)=,Ч; А»соз(йв,г +йе,г„)+ »=о +В»з(п(йв,г +йа11»).
(2.143) Здесь А» и В» — случайные независимые между собой нормально распределенные числа с параметрами (О, о„) каждое, причем дисперсии о„определяются из соотношений: 2 1 о,=- —., ~~Я(г, )дгд~= во хггг =т~„~ ~~~~Я(», у, г, )с(хсГус1гао; (2.144) оооо й г 2 2 о тхтт 1~Я(г' ъ)соз(йв,с+Ьво)дгс(2 й=1, 2, ..., 5 о где К=(Х, "г, 2) — вектор, изображающий предел интегрирования по пространству; йв,=~ —., — „, — ), Йо = —— =(,х„' т' х)' =т дискретные частоты гармоник, по которым производится 156 каноническое разложение корреляционной функции в пространственно-временнбй,ряд Фурье. Если область разложения поля во много раз больше его пространственно-временнбго интервала корреляции, то дисперсии легко выражаютея через спектральную функцию поля (ем й 16 и 3) о= зтХЛ.
' тХтг Формирование дискретных реализаций й(г г„) при моделировании случайных полей по данному методу осушествляется путем непосредственного вычисления ихзначений по ~формуле (2,143), в которой в качестве А» и В» берутся выборочные значения нормальных случайных чисел с параметрами (О, а'»), при этом бесконечный ряд (2Л43) приближенно заменяется усеченным рядом. Дисперсии о2» вычисляются предварительно по формулам (2Л44) или (2Л45)., Рассмотренный алгоритм хотя и не позволяет фор.
мировать реализации случайного поля, неограниченные по пространству и по времени, однако подтотовительнаи работа для его получения довольно простая,,в особенности при использовании 'формул (2;145), и этот алгоритм позволяет формировать дискретные значения поля в,произвольных точках пространства и времени выбранной области. При формировании дискретных'реализаций поля с постоянным шагом по одной или нескольким координатам для сокращенного вычисления тригонометрических функций целесообразно использовать рекуррентный алгоритм вида (1.3). Неограниченные дискретные реализации однородного стационарного случайного поля можно формировать с помощью алгоритмов пространственно-временнбго скользящего суммирования б-поля, аналогичных алгоритмам скользящего суммирования для моделирования случайных процессов.