Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 27
Текст из файла (страница 27)
В общем случае применение методов численного интегрирования сводится к различному выбору коэффициентов д[Ь]. Это относится и к методу прямоугольников, для которого согласно (3.9) с[Ь]=Мсог[Ь], с,'[Ь]='„1, 1, „1, 1, О, т. е. все со[Ь], кроме последнего, равны единице; последний коэффициент равен нулю. В задачах, не требующих большой точности решения, удобно использовать формулу прямоугольников как наиболее простую. Погрешность интерполяции систем по способу прямоугольников будет оценена ниже.
Как было показано в $ 2.2, и. 2, аппроксимация по способу прямоугольников не сопровождается погрешностью, если функции и(1) и Ь(г) имеют спектры, ограниченные часто!то той гоо=п~ЯИ, что соответствует случаю, когда спектр входного сигнала и полоса пропускания системы строго ограничены частотой го„ а шаг дискретизации Л( выбран в соответствии с теоремой Котельникова. Следует заметить, что если подынтегральиая функция на концах интервала интегрирования обращается в нуль, например при Ь[0]=Ь!Ьг]=0, формула прямоугольников и формула трапеций дают совершенно одинаковый результат. Такой вывод с очевидностью следует из формул (3.9) и (3.11). Формулы (3.9) — (3.13) описывают поведение некоторых дискретных линейных фильтров (см.
$2.1). Передаточные функции этих фильтров, определяемые как отношение з-преобразования дискретного выходного сигнала с„[п] к з-преобразованию дискретного входного сигнала и[п] имеют вид [85]: ОЗ оэ К (з)= !„'„1)= с [Ь] Ь [Ь] во= а[Ь]зо (3.14) О(а (п)) о=о о о при одностороннем ограничении, К (з) гг Ео,„~~~)=Ч с [Ь] Ь [Ь]го= ~1 а [Ь] зо (3.15) лм' ' ! о=о о —.о при двустороннем ограничении по времени импульсной переходной характеристики системы.
Формулы (3.14), (3,15) непосредственно получаются из формул (3.9) — (3.13), если ао рассматривать как оператор задержки последовательности и(п] на Ь периодов. Отсюда следует, что передаточные функции К,(а) являются з-преобразованием от весовой функции аЯ, представляющей собой последовательность значений импульсной переходной характеристики системы с весом с[Ь]. Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.15) изображена на рис. 2.1 (если заменить х[п], фг], Цп] на и[п], а[гг[, о.[п] соответственно).
Согласно этой схеме последовательность дискретных значений входного сигнала поступает на линию задержки с М отводами, задержка между которыми равна М. К отводам подключены весовые усилители с коэффициентами усиления а[А]=с[Ь]Ь[Ь]. Для образования ди- Пг о[Р] о[1] и[Р] Р „, Р Р' и[1] и[Р] ...
Р Р ° ° а[Р] «[1] и[И] и[И-1] ... и[1] и[с] и[МЗ1] и[М] ... «[2] и [1] скретного сигнала на выходе системы йыходы васоевых усилителей суммируются. Процесс дискретной фильтрации по схеме рис. 2.1 можно легко реализовать на ЦВМ в виде стандартной программы, входными параметрал1и которой являются й1 и а[п), й=[, У. Коэффициенты 4п) должны быть вычислены заранее.
Значения их при выбранном 1~о) определяются дискретной импульсной переходной характеристикой системы и выбранным способом численного интегрирования. В простейшем случае а[й)=ЛЩА). Линию задержки можно имитировать иа ЦВМ, используя операцию пересылки содержимого ячеек оперативной памяти, хранящих текущие значения входного сигнала от и(п) до и(п — )т').
Вычисления по схеме рис. 2,1 можно производить также с помощью готовой стандартной операции перемножения матриц. Действительно, пусть входной дискретный сигнал й[п), п=О, )т', и дискретная импульсная переходная характеристика системы )т(п), п=О, ]т', причем [у+1(Х~+! ограничены во времени. Тогда, очевидно, выходной дискретный сигнал будет последовательностью из Жз=)У,+о[+1 чисел, которая удовлетворяет следующему матричному равенству: чается из предыдущеи строки сдвигом на один элемент вправо. Так, например, если У~=Уз=2, то матричная запись будет иметь вид: Х [1] В изложенной процедуре замены непрерывной системы эквивалентной дискретной системой использован косвенный путь, основанный на применении методов численного интегрирования к интегралам свертки (3.4)— (3.8). Дискретный фильтр, приближенно заменяющий непрерывный фильтр, можно получить также несколько иным путем: непосредственно из рассмотрения импульсной системы, эквивалентной непрерывной системе. 2.
Дискретизация по методу замены непрерывных систем эквивалентными импульсными системами На рис. 3.1 показан пример линейной системы (а) и ее импульсного эквивалента (б). Импульсная система работает следующим образом (85). Входной сигнал и(1) подается на импульсный элемент (ИЭ), который превращает его в последовательность импульсов, следующих с периодом повторения Ь4, равным шагу дискретизации, и промодулированных по амплитуде сигналом и(1], т. е. о [О] о [1] о [2] о [3) о [4) и [О! 0 и[В и[0] и )2] и )1) )Р и )2) 0 0 0 0 и [0) и [1] и [2] и[«1] и[ц 1] ...
«[И-и-1] «[и~-м] Р и[И,] ... «[И;Л-г] «~Ц-И-1] ° ° о[«,+М-1] оЯ+Ю] ... «[М3 и[«; 1] «[лэ] а[У-1] [м] где а(п) =с(п) л4п), п=О, )У. (3.16) Запись матриц для случая л1~<У аналогична. В выражении (3.!6) матрица порядка (й1+!) Х Х (У+У,+1), составленная из элементов и(п), п=О, Л~,, формируется следующим образом: каждая строка полу- 172 где Ао(1] — функция, описываю1цая форму импульса. Импульсный элемент можно представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента, преобразующего сигнал и[1) в модулированнуюпоследовательность мгновенных импульсов (6-функций) вида и,(1)= ~ и(1)3(1 — па1) 173 и илтврполирующего фильтра (ИФ), представляющего собой линейную непрерывную систему с импульсной переходной характеристикой Ь»!г) (рис.
3.1,в). Выбирая шаг дискретизации М и функцию Ьь(!), можно с достаточной точностью аппроксимировать непрерывную функцию и® функцией и»(!) (см. $1.7). На рис. 1.5 показаны примеры ступенчатой аппроксимации функции иИ/ ь(т! «!Р) а! У) т»». зл. и(!) и аппроксимации ее отрезками прямых (линейная интерполяция в точках 1„=пЛ!). В первом случае импульсная переходная характеристика интерполирующего фильтра представляет собой прямоугольный импульс с единичной амплитудой длительностью АУ, а во втором — симметричный импульс треугольной формы с единичной амплитудой длительностью 2Ы. Аналитические выражения импульсных переходных характеристик для этих случаев приведены в табл.
1.1. При других более точных видах интерполяции, например при квадратичной интерполяции, форма импульсной переходной характеристики интерполирующего фильтра будет более сложной [49). Интерполирующий фильтр и система с передаточной функцией К(р) образуют так называемую приведенную непрерывную часть [85) (на рис. 3.1 показана пунктиром). Импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части, как нетрудно видеть, равна свертке функций Ь»!'!) и Й!'!) »о Йь (!) = Ь» (!) -'[с Й (!) = ~ Й» (ч) Ь (! — ч) а!ч, !74 где Й٠— импульсная переходная характеристика непрерывной системы. Поскольку приведенная непрерывная часть находится под воздействием б-импульсов, сигнал о.(!) на выходе импульсной системы можно представить в виде о„(!)= ч'„и[ )'Й,(! Ь!) В дискретных точках !»=вйй выходной сигнал импульсной системы равен »» »О о»[и)= Е и[и)Й,[л — Ц ч, Й,[Ци[а — Ь), (3.17) ь=-о.
ь= — оэ т. е. последовательность дискретных значений выходного сигнала выражается в виде дискретной свертки последовательности значений входного сигнала н дискретной импульсной переходной характеристики Й [Ь) приведенной непрерывной части. Суммирование в формуле (3.17) распространяется на всю область существования дискретных значений, стоящих под знаком суммы.
В частном случае, когда и(!)ми Ьь(!)=Й(!)= — О, !<О, формула (3.!7) запишется в виде (3.18) о [и)=~ч~р Й [Й)и[и — Ц, »=о Если, кроме того, импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части ограничена справа, т.
е. имеет конечную длительность, равную Т, 'то У о» "[и) = ~ Й„[Ь) и [и — Ц, У= —, ° (3.19) «=о Передаточные функции дискретных фильтров, описываемых формулами (3.!8) и (3.19), имеют соответственно вид (3.20) (3.21) 176 Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.20) будет такой же, как и схема фильтра, представленного на рис. 2.1, если в ней заменить коэффициенты с[Ь] иа Ь.[Ь]. Подготовительная работа к моделированию при использовании алгоритмов дискретной свертки рассмотренного типа сложнее подготовительной работы при использовании алгоритмов дискретной свертки, основанных на методах численного интегрирования, так как по заданной импульсной переходной характеристике системы требуется еще находить импульсную переходную характеристику Ь„(Ь] приведенной непрерывной части, задавшись формой импульсной переходной характеристики Ь,Я интерполирующего фильтра. Наиболее просто функция Ь.(4) находится в случае, когда интерполирующий фильтр представляет собой просто безынерционный усилитель с коэффициентом передачи, равным А~1 (непрерывный входной сигнал и(г) заменяется при этом модулированной последовательностью б-функций с огибающей И и[а]), а именно Ь,(1) = =МЬ(1).
Тогда согласно (3.18) . [ ]= 1Е Ь [Ь] [ — ]. м=а (3.22) Сравнивая (3.22) с (3.10), убеждаемся, что такая же дискретная свертка получается из непрерывной свертки при использовании метода прямоугольников. Дискретная аппроксимация непрерывных систем по принципу замены нх эквивалентными импульсными системами имеет самостоятельное значение при получении рекуррентных моделирующих алгоритмов Я З.З). 3, Применение н системам с переменными параметрами Одним из преимуществ метода цифрового моделирования линейных динамических систем, основанного нз дискретизации непрерывной свертки, является возможность простого обобщения его на случай моделирования линейных систем с переменными параметрами (нестационарных во времени систем), Связь вход — выход в системах с переменными параметрами, как известно, можно задать с помощью им- 175 пульсной переходной характеристики Ь(1, т), зависящей от двух переменных и описывающей реакцию системы на б-фупкцию, поданную на вход в момент времени где 1 — текущее время, т — время, прошедшее с момента подачи б-импульса [45].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
