Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Р Ясли полюсы р„, «=1,т, пе()сдаточной функции простые ч ни олин из них не равен нулю, то формула (3.38) принимает вид сигнал о('1) согласно (3.37) можно записать в виде в! о(1)=К(О)+Е С„е ", в=! где с =~ — 'к(,)(Р— р,)~~ г-преобразование от этой функции имеет вид щ (~))=!11"!+~'Све 4М 1 — е'е в=! Следовательно, дискретная передаточная функция К.(г) по методу Цыпкнна — Гольденберга в этом случае равна КФ(г) =К(0)+ЕС 1, (3.43) в=! 3.
Метод Рагазэини — Бергена В основу метода (104) положена линейная интерполяция входного сигнала с помощью интерполирующего фильтра с импульсной переходной характеристикой вида (рис. 1.Б,в) Для нахождения передаточной функции К,1'з) эквивалентной импульсной системы пойдем таким же путем, как и при получении передаточной функции К.1'г) в предыдущем методе.
Возьмем в качестве входного сигнала и('1) линейную функцию и(1)= 1 1 О, г ~. О. Интерполяция ее по дискретным точкам и(п)=Юп, п)0, 186 с помощью интерполирующего фильтра с импульсной переходной характеристикой (3.44) осуществляется точно. Изображения входного сигнала в смысле преобразования Лапласа и дискретного преобразования Лапласа соответственно равны Ь(и(1)) =Д(1 (1) г) = — '„ 0 (и [п)) = ДЮ (1 (и) и) = Д1 1, Изображение по Лапласу выходного сигнала о(1) в этом случае где К(р) — передаточная функция непрерывной системы. Отсюда при известных полюсах передаточной функции К(р) общий вид функции в(1) будет определяться формулой (3.27), если число нулевых полюсов в ней положить на два больше (за счет множителя 1!Рт), т.
е. в в~~в о (1) = ~~) ~ ~~)~~ С"„, — 1 е ", .=о э=о где !' г„+2, э=о, ~ г„, т=),э„д) тп — степень полинома К, (Р); 1 в С" „„,„„,, „,х в !1Р Х[ —,', К(Р) (Р Р,)™1 ! в; (3.45) где р,, я=1;г, — полюсы передаточной функции К(Р) кратности т; каждый, причем Р,=О. Теперь, аналогично тому, как это было сделано при рассмотрении предыдущего метода, можно сразу записать окончательную общую формулу для дискретной передаточной функции К. (г) эквивалентной импульс- 187 ной системы при линейной интерполяции входного сиг- нала сРФ Ко (г) = ~11 ~~1~ ~и .=о о=а (! — г)' К (г) =— д"" ! с!о 1 — о "г (3.46) Выражения для К „(г) при о=0,5 помещены в табл. 3.1.
4. Метод, предложенный автором [1?] г=о где коэффициенты Ссо определяются формулой (3.34). Разложению (3.48) соответствует разложение выходного сигнала в виде о (с)= ~ о„(с), о„(т) =~ и (г) Ь„(г — г) ого. (3.49) .=о Экспоненциальная форма весовой функции Ь,(1) в формуле (ЗА8) позволяет найти простое рекуррентное уравнение для вычисления дискретных значений сигнала о, (с) (см. $2.3, 188 Метод основан на замене формулы свертки рекуррентным уравнением. Сущность его состоит в следующем.
Выразим сигнал о(с) на выходе системы с помощью формулы свертки с о (Е) = и (г) Ь (Š— т) с(о, (3.47) где и(с) — сигнал на входе системы. Предположим сначала, что полюсы р„, о=0, т+1, передаточной функции системы простые, тогда импульсная переходная характеристика системы является суперпозицней экспонент (формула (3.33)]: т — 1 Ь(1)= ~„'Ь„(1), Ь„(1)=С, е ", (3.48) п. 2). Действительно, дискретные значения сигнала о„(!) в точках 1 =пйг равны ын „[п] = С„, ~ и ( ) е г с(т о или, после замены с на хй1, л о„[п]=С„] и(х)е ' с!сх, (3.
50) о где С„а= С„ой(, с1„= р„д(. Значение сигнала о,[п] на Ь шагов вперед, т. е, в точке и+Ь равно о+И о [п+Ь]=С ~ и(х)е " ' с(х. (351) о Производя интегрирование в формуле (3.51) в два этапа: сначала по промежутку (О, п), а затем по промежутку (и, и+А), придем к рекуррентной фоомуле: о„[п+Ь]=С„о ~~и(х).е" с(х+ 1о я+о и + ~ и(х)е" с(х =С„о~е" ~и(х)е" ссх+ и о с 1 ° и! 1-~-с;[„, с1, свлс л где о+о ?, [п+ Ь] = Сса ~ и (х) е '" о(х. о Положив, в частности, Ь=1 и применив к интегралу 1,[п + Ц формулу трапеций с шагом 1, получим о„[и+ Ц= — "'(и[п]е'"+и[и+ Ц)+е "о,[п] о [п] = ~~(и[и]+и [п — Це ")+е"" о„[п — Ц.
(3.53) 189 Дискретные значения о[и) сигнала о(1) согласно (3.49) являются суммой дискретных значений его составляющих о„(!), следовательно, «» — ! [и[= ~[~ ~ 2 (и[и!+е "и [и — 1))+е *о,[и — 1)1' ~.а »=О (3.54) Уравнение (3.53) описывает поведение дискретного фильтра с передаточной функцией бо1+е 'г » 2 1 — е "г Уравнению (3.54) соответствует, очевидно, дискретный фильтр с передаточной функцией в виде суммы передаточных функций К (г). Поэтому окончательно дискретная передаточная функция К„(г), аппроксимирующая непрерывную передаточную функцию, имеющую простые полюсы р„, т = =О, т — 1, в рассматриваемом случае дается следующей общей формулой: Данный метод допускает обобщение на случай кратных полюсов, когда импульсную переходную характеристику системы согласно (3.27) можно представить как суперпозицию составляющих вида !«! г»' .
й„(!)=С,„— 1е' . (3.59) Можно показать, что при использовании втого метода в сочетании со способом трапеций для нахождения передаточных функций К„„(г), соответствующих непрерывным фильтрам с импульсной переходной характеристикой вида (3.59), получаются результаты, совпадающие при 1с>0 с результатами применения угетода г-преобразования. Поэтому рассматриваемый метод при наличии «» — ! ~«()=~~)~ ~—, 2 »=О (3.56) ! ! 1 ! 1 ! где 6„1,=С 1, С =[К(р)(р — р)[[„,„, !7„=рЫ, (357) Если в формуле (3.52) положить 1=2 и для вычисления интеграла 7„[и+2) использовать метод »/, Симпсона [3], то по аналогии с предыдущим получим передаточную функцию К (а) в виде »« — ! «»-! К (г)=~!'К (г)='Р ""+4""'+' "'* (358) Е1 3 О!» »=О »=О 1 — е г' Увелячивая значение й в формуле (3,52) н используя для вычисления интеграла 7„[а+ г) более сложные и более точные алгоритмы численного интегрирования, например способ О/О Симпсона при Й=З, легко можно продолжить отыскание ряда дискретных передаточных функций К„(г), начатого формулами (3.56) и (3.58), 190 %:-У Рис.
3.3. 191 Ае . А, Аг рт» рг»-т рт»-г + +'"+ — В. В, )рт» рн\ г аг е 1 г (3.60) к,(г) К, (а) Метод в-нреобрааованяя Метод Рата»авив-Бергена ( Мадведв-Тра ко ела) Метод Боксера — Талера Метод Таствна 1 1+г ! рд( 1 1+г 2 1 — 2 1 1+г 1 ! — г 2 1 — 2 2 1 — г ! 1+ 102+2» 1 р'д(' 1 !+4г+г' (! — 2) в 6 (1 — 2)' 12 (1 — 2) а 1 2(1 — г') ! 1+ 1!г+!12'+ га 1 ради 1 2(1+г) 24, (1 — 2)а 2 (1 — г)в 2 (! — 2)в ! г (1+42+ г') 1 1 1+262+662'+262'+г» ! р»ш» 1 2 (2+ 4г+ гт) Г20 (1 — ) 6 (1 — г)» 720 6 (! — 2)» 1 г(1+!1г+1!ге+21) (1 1+г )в 1 1+672+302га+302га+67г»+гв ! 2 (!+112+112т+ге) 1 т»д(в 24 (1 — г)в 720 (1 — 2) в (1 — 2) ' 193 13 — ! 60 192 кратных полюсов можно применять совместно с методом г-преобразования, находя К, (2) по формулам (3.55) или (3.58), а К.р. (2), )(=1, 2,,— по формуле (3.31) или по табл.
3.1. В заключение заметим, что изложенный метод несколько расширен по сравнению с [17). Прежде чем переходить к характеристике других методов дискретной аппроксимации, необходимо сделать некоторые замечания к перечисленным методам. Все описанные методы требуют отыскания полюсов передаточной функции К(р), после чего дискретная передаточная функция К.(2) находится непосредственно по соответствующим формулам. Преобразование ее к дробно»рациональному виду (3.23) осуществляется с помощью простых алгебраических операций (приведение суммы рациональных функций К.„(2) к общему знаменателю и приведение подобных членов). Полюсы передаточных функций систем невысокого порядка отыскиваются легко.
При нахождении полюсов для систем высокого порядка встречаются большие трудности. В этих случаях дискретную передаточную функцию К,(2) всей системы можно найти по дискретным передаточным функциям ее отдельных звеньев, полюсы которых легко определяются, пользуясь прн этом обычными правилами получения, передаточной функции системы для различного соединения ее звеньев [851. В качестве элементарных звеньев системы удобно использовать интегрирующие звенья Й-го порядка. Для этого передаточную функцию (43.26) путем деления числителя и знаменателя на р' нужно привести к виду Это преобразование эквивалентно замене системы с передаточной функцией К(р) системой с такой же передаточной функцией, но с другой структурой, включающей лишь интегрирующие звенья различного порядка с различными коэффициентами передачи, соединенные Таблица 3.2 по схеме, которая показана на рис.
3.3. Звенья с передаточными функциями вида 1/рь имеют только нулевые полюсы кратности гз — — А. Дискретные передаточные функции зтих звеньев можно легко найти по формулам (3.30), (342) и (346), положив з=О, го=А, К(р)=1/рз. Этим самым операторы непрерывного интегрирования заменя,ются операторами дискретного интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
