Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 28
Текст из файла (страница 28)
На рнс. 3.2 дап пример реакции и16! и(б Зй,с) Рис. 3.2, системы с переменными параметрами на импульсное воздействие, поданное в моменты времени 1~ и 1з)Гь При таком определении импульсной переходной харак- теристики нестационарной системы реакция ее на сиг- нал и(1) запишется в виде «о о (1) = ~ и (с)'Ь (т, 1 — ч).Ах, В дискретной форме о, [п] = ч~~ й[Ь] Ь [Ь, и — Ь] с [и — Ь], или о,. [и] = т~~~ и [Ь] Ь, [Ь, и — Ь], где с[Ь) — коэффициенты, зависящие от метода численного интегрирования; Ь.(1, т) — импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части нестационарной системы.
Таким образом, цифровые модели иестационарных линейных систем, основанные на дискретной свертке, представляют собой формулы скользящего суммирования с переменным весом (весом, зависящим от текущего значения дискретного времени). 12 — 160 177 4. Заключительные замечания Рассмотренные выше методы моделирования, использующие дискретную свертку, удобны в тех случаях, когда известна (нли легко находится) импульсная переходная характеристика линейной системы (функцня Грина дифференциального уравнения, связывающего входной н выходной процессы).
Метод дискретной свертки одинаково успешно может быть применен для цифрового моделирования линейных систем как с постоянными (сосредоточенными и распределенными), таки с переменными параметрами. Недостатком метода дискретной свертки является относительно большой объем вычислений. Действительно,если импульсная переходная характеристика системы имеет ограниченную длительность (или допускает ограничение), то для получения одного значения выходного сигнала требуется произвести, как это следует, например, из (3.9), 2й! элементарных операций: й! умножений и У сложений, не считая операций пересылки. Прн большом отношении длительности импульсной переходной характеристики к шагу дискретизации число 1т' велико, что и приводит к большим вычислительным затратам.
Если же импульсную переходную характеристику нельзя аппроксимировать ограниченной, то объем вычислений на одну дискрету выходного сигнала растет пропорционально ее номеру и (см. формулу (3.18)). Другим распространенным методом описания радиосистем является частотный метод (метод Фурье). При использовании этого метода для цифрового моделирования линейных систем требуется произвести три основные операции: 1) численное преобразование Фурье входного сигнала (задание входного сигнала в виде суперпозиции гармоник; 2) умножение спектра входного сигнала на частотную характеристику системы К(1ы) (изменение амплитуд и фаз входных гармоник в соответствии с амплитудно- и фазо-частотной характеристиками системы); 3) обратное преобразование Фурье спектра выходного сигнала (суммирование выходных гармоник).
Частотный метод цифрового моделирования обычно требует значительных вычислений. Однако в последнее 178 время Кули и Таки (100) предложили алгоритм так называемого «быстрого» преобразования Фурье на ЦВМ, Применение этого алгоритма позволяет существенно сократить объем вычислений при прямом и обратном преобразованиях Фурье дискретного сигнала, что в некоторых случаях делает частотный метод цифрового моделирования более экономичным, чем метод дискретной свертки. На практике широкое распространение имеют линейные системы, которые можно считать системами с постоянными сосредоточенными параметрами. При цифровом моделировании систем этого класса значительную (для систем невысокого порядка весьма значительную) экономию вычислительных затрат дает применение разностных рекуррентиых методов.
Эти методы являются усовершгнгтвованньиии методами численного интегрирования дифференциальных уравнений (29). Вначале этн ~методы, используемые в основном для исследования дискретных линейных систем, были применены для численного анализа переходных процессов в непрерывных системах автоматического регулирования. Впоследствии оии оказались эффективными методами цифрового моделирования динамических систем и были подвергнуты некоторой модернизации; вчастностн, автором эти методы были распространены на случай цифрового моделирования избирательных высокочастотных радиосистем, описываемых по методу огибающих [17]. Разностные методы цифрового моделирования динамических систем рассмотрены ниже.
3.3. Моделирование линейных непрерывных динамических систем с помощью рекуррентиых ревностных уравнений Сущность разностных методов (85) состоит в замене процессов в непрерывных линейных системах процессами в эквивалентных импульсных линейных системах, поведение которых можно описать довольно простыми рекуррентными соотношениями (уравнениями в конечных разностях). Математическим аппаратом при этом служит дискретное преобразование Лапласа (г-преобразование).
Как было показано в $3.2 (см. формулы (3.20), (3.2!)), передаточная функция К.(г) эквивалентной им- 12« 179 пульсной системы в смысле дискретного преобразова. ния Лапласа является г-преобразованием от импульсной переходной характеристики й,(4) приведенной непрерывной части, т. е. К (е) = х) (Ь [и]) = Е Ь [и] з". а=в Для линейных систем с постоянными сосредоточенными параметрами дискретные передаточные функции эквивалентных импульсных систем обычно удается найти в замкнутой форме в виде дробно-рациональной функции [85] л„а" К, (г) = 1+к Ь.е +л'а+ "'+ л а' ° (3.23) 1 + Ь|г + ...
+ Ь а~~ Структурная схема дискретного фильтра с передаточной функцией (3.23) показана на рис. 2.2. Производя идентификацию передаточной функции (3.23), приходим к следующему рекуррентному алгоритму формирования дискретных значений выходного сигнала; оа [и] = а,и [и] + ... + а,и [и — 1!— — ЬР„[и — 1] — ... — Ь и [и — ги]. (3.24) Полученное уравнение во многих случаях значительно сокращает вычисления по сравнению с формулами дискретного свертывания, что показано на приведенных ниже примерах.
К настоящему времени предложено большое количество методов аппроксимации передаточной функции К(р) непрерывной динамической системы дробно-рациональной дискретной передаточной функцией К,(з). Выражения для К.(г) в этих методах получаются непосредственно из рассмотрения различных способов интерполяции входного сигнала, а также другими путями, Описания методов дискретной аппроксимации непрерывных систем в том илн ином виде приводятся, кроме первоисточников, также в работах [49, 63, 85, 109].
180 Ниже дается сйстематйзпройанное ийложенйе оспойпых методов дискретной аппроксимации в принятых в данной книге обозначениях и с рациональными выводами формул. Менее перспективные методы вынесены в петит: Сравнительная характеристика методов дана в заклю-. чительном пункте этого параграфа. (. Метод г-преобразования Входной сигнал л(!), действующий на линейную систему с пе. редаточной функцией К!(р), при достаточно малом щаге дискретизапии можно приближенно заменить модулированной последовательностью Ь-функций с огибающей л!и(л) и периодом лй это в схеме рис. 3.1 соответствует выбору в качесгве интерполирующего фильтра безынерционного усилителя с коэффициентом усиления де=8!, т.
е. выбору для аппроксимации входного сигнала и(1) функции и,йй =Ыи[л)Ь (1 — ло!). (отсюда и название метода), Импульсную переходную характеркстику непрерывной системы с постоянными озсредсточенными параметрами, у которой переда- точная функция К! (р) Ае+ А!р+ .. + А!р! К(Р) К (р) В,+В,р+ +В р (3.28) имеет в общем случае з+! различных полюсов дм т = О,з (корня уравнения Кз (р) = О) кратности г„каждый, так что г,+ ...
+г,=лг, согласно известной теореме разложения (см., например, [Е!)), можно прслставить в викс г„— ! й (1) = ~~ ~~)~~ С„г ег"! ' (3.27) .=о и=о где г à — и — ! С (г — р. — 1)1 г„— и — ! У В дальнейшем положим р, = О. [К (р) (р —,о„) ") [„ (3.28) 18! При таком виде интерполации импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части, каи уже отмечалось в $2.3, с точностью до множителя 8! совпадает с импульсной переходной характеристикой непрерывной системы.
Следовательно, дискретная передаточная функции К.(г) эквивалентной импульсной системы равна а-преобразованию дискретной импульсной переходной характеристики непрерывной системы, умноженному на Лг! Кч (з) = ЬЮ (6 [л)) =йг ~ Ь [л] а", а = с ч, (3.28) л=е Из (3.27) следует й(л)=~)~ ~й' С д!и — ",'"", вы' "" Р! (3.29) -О и=О =О !=О (3.33) где (3.34) Сто= (К(Р) (Р— Ра))л=р (3.35) г-преобразования по па- где РΠ— С„О31, р,=е" (3.31) (3.36) — е г Оа К„„(г) приведены в Таблица 3.1 «ав!Ю аа — ! й(Р) = К. (О) + ~ С„.
л' (3,37) 1/(1 — р„г), р„ = е "= ела «а-! К, (О) %-( С.О К„(г) = —,' + р ра р„г!(1 — р„г) а (3.38) р„(1 + р„г) I(! — р„г) ° р„г(1+ 4р„г+ рзга)т(1 — р„г)а »=! аа м К» (г) = ~ ( С ОК О (г) = ~~)~ ~! а ! а=! 183 182 где О»=Р„Д!. Подстав.чаи разложение (3.29) в формулу (3.25) и используя свойство линейности г.преобразования, получим г„— ! С„,д! +' К„(г) =Я ))' ! !1(ли+ е " ) = а=е !»=0 га -Е С„вб!и+ ! К„(г). (з.зо) =О в=о Передаточную функцию К„„(г) (г.преобразование от лис " ) можно найти по табтщцам дискретйого преобразовании Лапласа (85] или же„ поскольку ,, О„п тти р„а и'е" = — е", бра то на осчовании теоремы дифференцироиаиия раметру (85) можно зависать а(и у" К„(г) = — 77(е " ) =— В частности, при !ь= 0,5 выражения для табл.
3.1. р„г (1+ 1!р г -)- 1!реза ! рзга)7(! р г)а р г (1 + 26р г+ 66!Рга.+ 26рзга .( раза)7(! р г)а Итак, окончательное выражение дли К»(г) по методу г-преобразования дается следующей обшей формулой: С„М +' аР' К. (г) = ~), '~ — "'-„,—,— „„', (3.32) а 1 е "г где ара = раб! — нормированные значения полюсов передаточной функции системы, а козффициенты С определяются по (3.28). !При отсутствии кратных полюсов у передаточной функции си. стены формула (3.27) для импульсной переходной характеристики ивлкется суперпозицией экспонент: м-! ~() = Е С„"". .=о В соответствви с зтим формула (3.32) переходит в формулу аа — ! «а — ! 1 К» (г) = Я С»ОК»О(г) Я сае а=е »=О Иу вой полюс перелаточной функции с простыми полюсами (если такой имеется) можно выделить особо, тогда 1 К(Р) = Ка(Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
