Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Операторы дискретного интегрирования, полученные различными методами для звеньев с передаточными функциями Ц(рЫ) ь= И«(", даны в табл. 3.2. При таком расчленении системы на отдельные звенья не требуется знать полюсы передаточной функции. Ниже описываются методы дискретной аппроксимации, использующие принцип замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования. 5. Метод Тастииа [1111 Вто один нз первых методов дискретного представления операторов интегрирования.
'Метал Тасгииа в конечном счете соответствует повторному применению формулы трапеций для вычисления интеграла. Возьмем интегрирующее звено «-м порядка. Сигнал я(«) преобразуется этим звеиом,в сигнал а(«) по формуле а («) = ) и (с) ос о В дискретные моменты времеви «»-лб«значения сигнала равны аа| «» — «)ы »Ы о[и[ ~ и(ч)««с= ~ и(т)««с+ ~ и(ч)««с= о «» — «! ы =а [г««1+» [л[ Вычисляя ннтеграл а« «, [л) = ~ и(ч) ас «я-«! ы по формуле трапеций с шагом д«, получим Такам образом, для вычисления последовйтсльности а[я[ имеем рекурревтное уравнение и в[п1= 2 (и[п1+и[л — «1)+о[и — «1, которому соответствует дискретная передаточная функция К««)(г) а«!+г (3.6!) Интегрирующее звено й-го порядка можно представить кок последовательное соединение из й интегрирующих звеньев «-го порядка. Заменяя в этой цепочке интегрнрующие звенья первого порядка дискретными звеньями с передаточными функциями (3.6!), получим следующую дисхрегиую аппроксимацию интегрирующего звена й.го порядка: «! 1д««+'1' (3.62) Операторы (3.62) аамещсиы в табл.
3.2. 6. Метод Мадведа — Траксела [102, 1101 7. Метод Боксера — Талера [941 Этот метод аппрокснмации передаточной функции К(р) непрерывной динамической системы дискретной передаточной функции К.(г) па своей идее отличается от описанных выше методов. * Переход от К(р) и К.(г) по этому методу осуществляется пз следующих соображений. По методу г-преобразования, как ~показано выше, передаточная функция вквпваленгнай импульсной системы имеет вид »» К» (г) = К (е-ч) й« ~ й [л[ е-ч 1 я о гдв й[я) — дискретные значения импульсной переходной харакгери. стнки й(«) непрерывной системы.
Поскольку Метод сводится к замене непрерывной системы с передаточной функцией ![ра импульсной системой по схеме Рис. 3.2 с нитерполирующим филнаром, имеющим треугольную импульсную пе сход. иую характеристику ~(линейная интерполяция входного сигнала . Поэтому дмсярегиия аппроксимация операторов интегрирования в методе Мадведа — Траксела в точности совпадает с дискретной аппроксимацией этих операторов по методу Раоазэиии — Бергена (табл. 32). (3.63) «94 К (р) $ й («) е- вз«э«, е то, вычисляя интеграл ~(3.63) по методу прямоугольников с шагом 81, получим чо К(Р) ~~бе ~~~ Ь [л] е Рыч. ' (3.64) а=о При малом Ы формулы (3.63) и (364) дают близкий результаг.
С аанквая (3.64) и (3.25), видим, что передаточная функция К'. —. . (е — ') при малом шаге М приблизительно равна передаточной функции К(р), если в ней переменную р заменить на о)убий К, (е-ч) ~К ( — ) нли К„(з) К ~ — — "„') 1пз 'у Функция К ( — 1,! ) — трансцендентная функция от з.
Требуется же получить дробно-рациональную функцию от г. Для етого авторами метода предложено выразить операторы вида '1/да, входящие в пе- редаточную функцию К(угу), через е — ч, используя известное [25] разложение 1пее в ряд 1 1 1печ=а=2 х-]- —,хв+ — х'+ ..) 3 5 (3.65) где 1 — е-ч 1 — з х= 1+с-ч 1+з Согласно (3.65) 1 Р .1 1 — =!/2~х + — ха ]- — х'+ ...).
3 5 (3.66) Выполняя деление в (3.66), получим 1 1/1 1 4 44 — — — — х — — ха — — ха — ) (3,67) 2 ! х 3 45 945 Ввиду быстрой сходимости ряда (3.67) можно пренебречь членами с положительными степенями х, тогда 1 1 1 1 1 + з = ]ч (2). д 2 х 2 1 — х Приближенные выражения Ка(з) для 1/дв получаются путем возведения ряда (3.67) в й-ю степень и отбрасывапня в результирующем ряде членов с положительными степенями х. Эти выражения для й=!,5 приведены в табл. 6.2.
Заметим, чта зппроксиыация в данном методе производится, по существу, в частотной области, а ие во временной, как зта было в ошюапных вирше методах дисюретиой аппроксимации. Итак, для получения дискретной передаточной функция по методу Боксера — Талера цужна заменить в передаточной функции К(р), представленной в виде (3.60), операторы интегрирования 1чра операторами Боксера — Талера пз табл. 3.2. 196 8. Примеры Пусть задана линейная свстйма с передаточной функцией К,Кз (1+ РТ,) К(Р)= о Р Такую передаточную функцию имеет разомкнутая следящая система радиолокационного автодальиомера с двумя интеграторами, коэффициент передачи которых Кз [сею-'], и корректирующей цепью с постоянной врепеии Та[2]; Кч — безразмерный коэффициент усиления.
Найдем для пее зквнваленгиые дискретные передаточные функции и рекуррентные моделирующие алгоритмы, кспользуя различные методы дисюретной апцроксимации. Передаточная функция К(р) кмеет только нулевой полюс краткости го=2. По методу х-преобразования пахождение дискретной передаточной фунмцпи К,(з) сводится к применению формулы ~(3.30) при з=б, г,=2 с учетом формулы ~(328) и табл.
3.1. Согласно 1(3.28) получаем б ~К,К'„(!+РТ.) 1 [ ее б ~ Ра С,о= КоК„[1+ РТа]]я=о = КвКа ° По формуле (3.30) находим К (з) = СовКаа (з) + Сво Кое (з) (3.69) где в соатветствви с табл. 3.1 1 з Кев(х)=1 о Ко(з)= (3.70) Подсвавляя (3.68) и (3.70) в (6.69) н производя элементарные преобразования, окончательно получим Отсюда согласно общей формуле ~(3.24) непосредственно получаем ракуррентное уравнение, связывающее дискретный сигнал а,[л] на выходе системы с дискретным сигналом и я[л] па входе системы - о [л] а,и [л]+а,и [л — 1]+2а [л — !] — о [л — 2]. (3.72) Совершенно аналогично, используя формула (3.42) н 1(3.46) с учетом формул (3.41), ~(3.45) и табл. 3.1, найдем дискретные передаточные функции по методу Пыпкпна — Тольденбергз: а,в + а,з' Кв(з)о 1 2з+хв а ав —— КоК~ (Ь(в+ Т,й!), ав К,Кз (й(в — Т,Ь() (3.73) 197 и по методу Рагаззини — Бергена аз+ п,г+ а,г' 1 — 2г+гв а = 6 КвКв(И +ЗТвИ), л, = — К Кз Ив (3.74) 1 з 2 1 а, — к,к,'(и — зт.и).
Передаточным функциям ((3.73) н (3.74) соответствуют следующие рекуррентные алгоритмы: о [л] =а,и [л — Ц+ а и [и — 2]+ 2о [л — Ц вЂ” ов [а — 2], (3.78) о [л] =л,и [л]+л,и [л — 1]+а,и [и — 2]+2и [л — Ц вЂ” и [л — 2]. (3.76) Для использования метода Боксера — Талера поделим числитель и знаменатель передаточной функции К(р) иа р'. КвКв КвКз Т, КвКзйи КвКэТвИ чг где д=)ва!. Заменив операторы интегрирования !/д и 1/дв соответствующими дисцретными операторами интегрирования нз табл.
3.2, запишем КвК„И* 1,+ Рзг [.гв К,К„Т,И) 12 (1 — г)' .2 1 — г После элементарных преобрчзований получим аз+ а,г+ а,г' 1 К.(г)= 1 2,+,, а.= 2 К.К.(И'+6Т.И), (377) 10 1 и,= 12 К,К„а!в, ов = 12 КвК„(И' — 6Т,И). (3.78) Отсюда находим рекуррентиый моделирующий алгоритм (3.76) Если рассматривать замкнутую следующую систему автодальномера, то ее передаточная функция н линейном режиме имеет вид К(р) Кв (Р) = 1 [ К ( Аналогичной формулой выражается дискретная передаточная функция импульсной системы, эквивалентной замкнутой непрерывной системе, К, (г) () в (3.79) где К.(г) — дискретная передаточная функция разомкнутой сн- !93 Подставляя в формулу,(3.79) выражения для К.
(г), определяемые формуламн (3.71), (3.73), (3.74) и (3.77), легко найдем ди. скретные передаточные функции замхнутой системы автодальиомера при различных методах дискретной аппроксимации н соответствующие им рехуррентяые алгоритмы. Приведенные примеры показывают, что для линейных систем невысокого порндка, таких, как следящие системы радиоустройств, могут быть получены весьма простые рекуррентные цифровые модели. Действительно, согласно алгоритмам (3.72), (3.75), (3.76) и (3.78) для вычисления одного дискретного значения сигнала на выходе следящей системы автодальномера с двумя интеграторами требуется произвести всего лишь 6 — 8 элементарных операций. При этом количество операций не зависит от выбранного шага моделирования. Использование дискретной свертки в качестве алгоритма цифровой модели в данном случае потребовало бы 2л элементарных операций на одну дискрету, где и †ном дискреты.
Б самом деле, импульсная переходная характеристика разомкнутой системы согласно формуле ~(3!27) имеет вид л (0 =с„+ с„г = к,к'„(т, + О. 17ь О, (3.80) гхе Свв и Свв определяются формулой (3.68). Импульсную переходную характеристику (3.80) нельзя заменить ограниченной во вре. мени. Поэтому вычисление выходного сигнала о.[л] по методу дискретной свертки нужно производить согласна алгорвтму [см., на. пример, (3.12П о,[л) = ~~~ С[а[а [й] и [и — й], где Ь [и] = КвКвгвХ э=о Х (1+ а Гл/Тв). Отсюда следует, что в рассматриваемом случае для получения цифровой модели системы на основе дискретной свертки объем вычислений значительно больше, чем при моделировании с помощью рекурреитных цифровых моделей.
9. Сравнительная характеристика методов дискретной аппроксимации Приведенные методы не охватывают всех известных к настоящему времени методов. Сюда не вошли методы, которые можно использовать только при типовых воздействиях на входе системы, такие, как метод Красовского — Поспелова [44], требующий, чтобы изображение по Лапласу входного сигнала было дробно-рациональной функцией; метод Андерсона — Болла — Босса (93], в котором входной сигнал аппроксимируется полиномом; метод оптимального цифрового моделирования Сейджа и Барта [108] и другие методы, нашедшие ограниченное применение.
199 Рассмотренные выше методы являются универсальными в том смысле, что онн могут'быть применены при произвольных входных сигналах и к любым линейным системам с постоянными сосредоточенными параметрами. : Независимо от метода дискретной аппроксимации (иснлючение составляет лишь метод автора при использовании формул численного интегрирования повышенной точности) рекуррентные алгоритмы при моделировании одной и той же системы получаются одинаковыми по сложнрсти: порядок рекуррентного уравнения инда (3.24) совпадает с порядком моделируемой системы (см.
п. 8). Различные методы дискретизации дают лишь различные значения коэффициентов аь и Ьг в формуле (3.24), при этом будет различной точность аппроксимации при выбранном шаге дискретизации. Изложенные методы различаются еще и по объему подготовительной работы. Выбор того или иного метода дискретной аппроксимации в конкретной задаче должен производиться с учетом указанных соображений.
Подготовительная работа при всех методах дискретной аппроксимации упрощается и имеет практически одинаковый объем, если дискретизация осуществляется по принципу замены операторов непрерывного интегрирования операторами дискретного интегрирования, так как при этом не требуется отыскивать полюсы передаточной функции моделируемой системы. Методы Тастина, Мадведа — Траксела и Боксера †Тале могут быть использованы только таким образом.
Однако в этих случаях снижается точность аппроксимации. Действительно, при дискретной аппроксимации с использованием полюсов всей системы, погрешность выходного сигнала возникает только в результате неточной интерполяции входного сигнала импульсным элементам, включенным на входе системы (см. рис. 3.1).
Дискретная аппроксимация по принципу замены операторов непрерывного интегрирования Операторами дискретного интегрирования означает, по существу, замену непрерывной системы импульсной системой с многими импульсными элементами, по одному на каждое интегрирующее звено, подвергаемое дискретизации (49, 631. Такое многократное прерывание и сглаживание входного сигнала при прохождении его через систему увеличивает погрешность выходного сигнала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
