Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике (1971) (1186206), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Представляя выходной комплексный .сигнал УЯ и импульсную переходную характеристику НО(() комплексного фильтра в виде квадратурных компонент, запишем формулу (3.83) в виде 00 У (1) = У, (() + ]УО (1) = ] [Н, (О) +)Н, (0)] [(3, (1 — О) + — ОО +](3, (г — ч)] с(0. Отсюда У,(()= ~Н,()(3,(( —.) (.— ~Н,(.)(3,(~ —.) (., 206 00 00 ~Н (,,)(3 (( ч)Лт ] ~Н,(т)(3,(К вЂ” 0)а:0 '(3.86) или в операторной форме У,(р) =К,(р) и,(р) — К,(р)(3. (р), У,(р) =К, (р) (3, (р)+К,(р) (3, (р), (3 87) где (3,(р) (30(р) $1,(р), У,(р) — изображения по Лапласу квадратурных компонент входного и выходного сигналов соответственно; К1(р) и Кз(р) — передаточные функции линейных фильтров с импульсными переходными характеристиками Н~Я и НОЯ соответственно. Огибающая и фаза колебания и(4) выражаются через его квадратурные компоненты известными формулами У(О=У'У'В+У'(() .
М) =- 8'— "" Система уравнений (3.87) легко приводится к матричной форме ~~~з (Р) ~~ ~1 л1 (Р) ~О (Р) ~~~11~1 (Р) )~ (3 88) Из соотношений (3,86) — (3.88) следует, что комплексный фильтр является частным случаем двумерного линейного вещественного фильтра (см. $ 2.8). Если в общем случае элементы передаточной матрицы ~1 ли (Р) Ки (Р) ~~ двумерного линейного фильтра могут быть произвольными, то элементы передаточной матрицы .комплексного фильтра обладают свойством симметрии: К„ (р) = К„ (р) = К,(р) К„ (р) = — К„ (р) = К.(р).
Структурная схема двумерного фильтра, эквивалентного комплексному фильтру, показана на рис, 3.4. Такой двумерный фильтр называется фильтром с антнснмметричными прямыми перекрестными связями [43]. В дальнейшем мы будем пользоваться,в основном комплексной формой записи, ~переходя к вещественной лишь на последних этапах. Комплексная форма записи 207 узкополосной фильтрации по методу огибающих предпочтительнее, чем матричная форма записи, так как первая,полностью совпадает с обычной формой записи одномерной вещественной фильтрации.
Использование ее Рис 3.4. позволяет обобщить данные выше методы цифрового моделирования линейных динамических систем на случай моделирования узкополосных линейных систем, описываемых по методу огибающих. 2, Цифровые модели узкополосных линейных систем, основанные на дискретной комплексной свертке Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда импульсная переходная характеристика системы имеет одностороннее или двустороннее ограничение. Подвергнув формулы (3.84), (3.85) дискретизации, используя при этом, как и ранее, методы численного интегрирования,,получим следующие алгоритмы вычисления дискретных значений комплексной огибающей на выходе системы: Ч„ [и] = 2 ~)~1 с, [й] Н [й] () [п — й] = ~~)~ ~а [й] () [и — й], о=о о=о (3.89) Ч„ [п] = †, ~~~ ~с, [и] Н [и] Н [и — и] = ~ а [й] 1) [и — й], о=о о=о (3.90) 20З где ь~ — шаг дискретизации; и= тЮ; со[й] — коэффициенты, зависящие от метода численного интегрирования; НЯ= Н (Мо) — дискретные значения комплексной огибающей импульсной переходной характеристики системы; Щп] †дискретн значения комплексной огибаюат щей входного сигнала; а[й]= — С,[й] Н [й].
Величина шага М в формулах (3.89), (3.90) определяется величиной верхней частоты в спектре модуляции высокочастотных колебаний, а не в спектре самих высокочастотных колебаний, как это было бы без привлечения метода огибающих, Это обычно дает возможность значительно увеличить шаг дискретизации и тем самым сократить вычислительные затраты.
Замена непрерывных сверток (3.84) и (3.85) дискретными свертками (3.89) и (3.90) соответственно означает замену непрерывных комплексных фильтров эквивалентными дискретными комплексными фильтрами с передаточными функциями К, (з) = ~, а [й] го, (3.91) =3 К„(г) = ч~' а ]й] з'. (3.92) о=о Отличие формул (3.91) и (3.92) от формул (3.14) и (3.15) состоит лишь в том, что коэффициенты ~перед яо и формулах (3.91) и (3.92) являются, вообще говоря, ,комплексными. Структурные схемы фильтров с передаточными функциями (3.15) и (3.92) одинаковы (см.
рис. 2.1). Процесс дискретной комплексной фильтрации дискретного сигнала Щп] фильтром с передаточной функцией (3.92) в соответствии с рнс. 21 состоит в следующем. Последовательность комплексных чисел Щп], порождаемая непре-- рывной комплексной огибающей входного сигнала, поступает на линию задержки с Ч отводами, задержка между которыми равна М.
Отводы линии задержки,подключены к весовым усилителям с коььплексными коэффициентами усиления а[й]. Выходы весовых усилителей суммируются, в результате чего образуется последовательность комплексных чисел Ч(п], представляющая собой дискретные значения комплексной огибающей выи — гво 209 ходного сигнала. Такая схема вычислений может быть реализована в виде стандартной программы. Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются на ЦВМ по стандартной .подпрограмме. Вычисления в соответствии с алгоритмом (3.90) можно проводить и без,привлечения операций над комплексными числами, Для этого нужно выразить дискретные комплексные огибающие через дискретные квадратурные компоненты л виде и Ф У„[п] = ~ а, [Й] У, [и — Й] — ч~'„а, [Й] У, [и — Й], а=о а=о и и 'т'„, [п] = ~ а, [Й] У, [и — - Й] + ~; а, [Й] У, [и' — Й], м=о к=а (3.93) где У, и [и] = У,, (иб(), Ъг„., [и] = 1'„, (иЫ) — дискретные значения квадратурных составляющих входного и выходного сигналов соответственно; а„, [Й] =(51/2) с, [Й] Н,, [Й1', НьИ=Ньэ(МГ) — дискретные кладратурные составляю-' щие импульсной переходной характеристики.
Последнее означает замену дискретного комплексного фильтра двумерным вещественным дискретным фильтром с передаточной матрицей (3.94) Рис. Зск имеет, как известно, линейную фазовую характеристи- ку), то аз[Й]=— О, К,э(г) =0 и, следовательно, У„, [и] = ~ а, [Й] У,[и — Й], У„,[п] = ~ а, [Й] У,[п — Й], а=в а=а а, [Й] = ]Й] = 2 с,[Й] Н [Й].
При этом в двумерном .дискретном фильтре на рис. 3.5 отсутствуют перекрестные связи. Операций здесь только вдвое больше по сравнению с вещественной сяерткой. где К„,(г)=~а,[Й]аь, К„,(г)=~а, [Й]Й'. Структурная схема этого двумерного дискретного фильтра показана на рис. 3.5. Она является эквивалентом схемы рис. 3.4 так же, как и формулы (3.93) являются дискретным эквивалентом формул (3.86). Из (3.93) видно, что осуществление дискретной комплексной свертки прн прочих равных условиях требует в общем случае в четыре раза больше операций, чем осуществление вещественной дискретной свертки.
В частных случаях количество операций может быть меньшим. Так, если чм(1) =0 (в этом случае узкополосная система 210 Столько же операций требуется, если входной сигнал промодулирован лишь по амплитуде н не имеет расстройки (~р (г) =— О): )Г„,[п]=~ а,[Й]У,[и — Й], (г„[п]= а=о =')'„а, [Й]У, [п — Й], У, [п]=У[п]. (3.95) В этом случае сигнал Уэ[п] на,втором входе двумерного фильтра на рис. 3.5 равен нулю. Если одновременно выполняются два указанных условия, то 'г' ,[п] = У [п] = ~ а [Й] У [и — Й].
(3.96) м=а 211 В этом случае свертка огибающих является веществен. ной, и двумерный фильтр, превращается в одномерный. В некоторых случаях для вычислений удобна тригонометрическая форма записи комплексной свертки (3.90) в виде Ч,,* [а] = ~)~ ~а [й] (7 [а[ — й] "'И ь [а]+у. 1а — й]).
(3.97) 5!П я=О Если использовать метод дискретизации комплексной свертки, основанный на принципе замены непрерывного комплексного фильтра эквивалентным импульсным фильтром, то по аналогии с дискретизацией вещественной свертки (5 3.2) получим алгоритмы вида (3.89)— (3.90) с той лишь разницей, что вместо весовой функции а[у] будет использоваться весовая функция Н[А] — дискретная импульсная переходная характеристика приведенной непрерывной части комплексного фильтра.
Тогда Ч [а]=~ Н„[А]1)[а — й], [а]=~~~~~ Н, [А] () 1а — А]. (3.99) ь=э Из формул (3.98), (3.99) можно легко получить алгоритмы, аналогичные алгоритмам (393) — (3.97), заменив в последних а,[А], а,[й] и а[к] на Н„, [й]=)хеН„[й], Н„[А]= =1ш Н„[й] и Й„[А] =]Н„[А]] соответственно. 3. Моделирование узкополосных линейных систем с помощью комплексных рекуррентны.. разностных уравнений Оказывается, что алгоритмы вида (3.98~ ирп определенных условиях можно заменить более экопомичнымн рекуррентными алгоритмами (!7], т. е. рази стные методы, описанные в 5 3.3, допускают обобщение на случай цифрового моделирования комплексных лпн;.йных фильтров,, к которым по методу огибающих свод ~тся узкополосные линейные системы, 212 Такое обобщение возможно, если передаточная функция комплексного фильтра является дробно-рациональной функцией вида Аа+А1р+ "+Ааи (р] в,+вр+...+в р где Аа 1=1, 1, В,, 1'= 1, гл — в общем случае комплексные коэффициенты.
Последнее имеет место в целом ряде практически важных случаев. Действительно, передаточная функция К(р) есть не что иное, как укороченная передаточная функция узкополосной системы, которая является операторной записью укороченного диф4еренциального .уравнения, связывающего комплексные огибающие 11(() и Ч(1) и приближенно заменяющего полное дифференциальной уравнение узкополосной системы 131]. Укороченную передаточную функцию узкополосной системы можно получить 131], зная комплексный коэффициент передачи системы К(]И), записанный как функция сравнительно небольших расстроек 11=хе †, где ьт — частота входного гармонического сигнала, аь — средняя (резонансная) частота системы„ путем простой замены аргумента ](г' на р, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
